第4章 一元一次方程 知识清单 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第4章 一元一次方程 知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2026年版新教材）编写，供同步复习与查漏补缺使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章从天平平衡与实际问题中的等量关系出发，先认识等式与方程，再学习一元一次方程的概念、解法，最后运用一元一次方程解决实际问题。核心主线为：等量关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 作答。解方程的基本思路是利用等式的基本性质，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，把方程逐步化为x=c（c为常数）的形式。 【考点地位】本章是小学算术法到初中方程思想的转折点，既是第2章有理数运算、第3章整式加减的综合运用，也是后续学习二元一次方程组、一元一次不等式、分式方程的基础。 【学习目标】①理解等式的基本性质，认识方程、方程的解与解方程的概念；②掌握一元一次方程的概念，会按一般步骤解一元一次方程；③能根据实际问题中的等量关系列一元一次方程并求解、检验作答；④体会方程建模思想，感受从算术法到方程思想的转变。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现本章全貌，如下表。 节次 核心内容 4.1 等式与方程 等式与方程的概念；等式的基本性质；方程的解与解方程 4.2 一元一次方程及其解法 一元一次方程的概念；移项、去括号、去分母；解一元一次方程的一般步骤 4.3 用一元一次方程解决问题 设未知数、找等量关系列方程；常见实际问题模型；检验与作答 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章必须熟记的概念、性质与易错提示，复习时逐条对照教材。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 等式 用等号连接，表示相等关系的式子叫作等式。 等式两边必须同时进行同一种运算；除数不能为0。 方程 含有未知数的等式叫作方程。 含有未知数的等式才是方程，先判断是否为等式。 方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。 把数代入方程，左右两边相等才是解。 解方程 求方程的解的过程叫作解方程。 解方程是过程，方程的解是结果，二者不可混淆。 一元一次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程。 三要素：一个未知数、次数为1、两边为整式。 移项 把方程中的某些项改变符号后，从一边移到另一边的变形。 移动的项必须改变符号，未移动的项不变号。 解方程一般步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 去分母勿漏乘无分母项；分子为多项式要添括号。 三、考点知识梳理 （一）等式与方程（4.1） 1. 等式的基本性质 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。即若a=b，则a±c=b±c。 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。即若a=b，则ac=bc；若a=b，且c≠0，则a÷c=b÷c。 【注意】运用性质2时，除数（或乘数）不能为0；等式两边必须同时进行同一种运算。 2. 方程、方程的解与解方程 含有未知数的等式叫作方程；能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解；求方程的解的过程叫作解方程。判断一个数是否为方程的解，只需把这个数代入方程，看左右两边是否相等。 （二）一元一次方程及其解法（4.2） 1. 一元一次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程。判断时看三点：只含一个未知数、未知数次数为1、两边都是整式。 2. 移项 方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。移项的目的是把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边。移项必须变号，未移动的项不变号。 3. 去括号 方程中有括号时，先按去括号法则去括号：括号前是“+”，去掉括号后各项不变号；括号前是“-”，去掉括号后各项都变号；括号前的系数要乘进括号内每一项，不要漏乘。 4. 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母。注意：不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分母后要给分子添括号。 5. 解一元一次方程的一般步骤 ①去分母（两边同乘各分母最小公倍数）；②去括号；③移项（变号）；④合并同类项；⑤系数化为1（两边同除以未知数系数）。最终化为x=c的形式。 （三）用一元一次方程解决问题（4.3） 列方程解应用题的一般过程：①根据题意设一个合适的未知数；②根据问题中的等量关系列出方程；③解方程求出未知数的值；④写出问题的答案（带单位）。 【常见模型】年龄问题（若干年后两人年龄的倍数关系）；销售利润问题（售价-进价=利润，利润率=）；行程追及问题（快者路程=慢者路程或路程差=相距距离）；配套问题（按配套比列等量关系）；和差倍分问题。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】去分母别漏乘，去括号不漏项；移项先变号，合并再化1；结果代回去，两边再核对。 【对比记忆】相关易混概念对比如下表。 对比项 区别与联系 等式性质1 vs 等式性质2 性质1：两边加（减）同一个数（式）；性质2：两边乘同一个数，或除以同一个非0数。 移项 vs 合并同类项 移项：改变位置并变号；合并同类项：同类项系数相加，位置不动。 【易混对比】方程的解是使等式成立的数值（结果），解方程是求这个值的变形过程；移项改变位置并变号，合并同类项只加系数、不动位置，二者作用不同，不可混用。 五、解题方法总结 题型一：判断一元一次方程与方程的解 【解题方法】先看是否只含一个未知数且次数为1、两边为整式；判断解则代入验证左右两边是否相等。 【数学思想】定义辨析思想：紧扣一个未知数、次数为1、两边为整式三要素，代入验证解。 题型二：解方程 【解题方法】按一般步骤逐步变形，含分母先去分母，含括号先去括号；每一步只做一种变形，避免跳步出错。 【数学思想】化归思想：把方程逐步化归为x=c的最简形式，每步只做一种变形。 题型三：列方程解应用题 【解题方法】先抓等量关系，再设未知数、列方程；结果要回到实际情境检验是否合理，最后作答带单位。 【数学思想】方程建模思想：把实际等量关系翻译为方程，解后回到情境检验。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 易错点 正确做法 移项不变号 移到等号另一侧的项必须改变符号，没移动的项不变号。 去分母漏乘常数项 两边同乘最小公倍数时，每一项（含无分母项）都要乘，不能漏乘。 去括号漏乘或符号错 系数要乘进括号内每一项；括号前为负号时各项都变号。 去分母后分子忘添括号 分子为多项式时，去分母后整体添括号，避免符号错误。 方程两边除以0 除数不能为0，性质2中除数必须非0。 应用题结果不检验、不带单位 解出后代回题意检验合理性，答句写清单位。 七、高频考点速记 ①一元一次方程三要素：一个未知数、次数为1、两边为整式。 ②解方程五步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 ③列方程四步：设未知数、列方程、解方程、检验作答。 八、学情自测 （一）选择题 1．在方程3x-y=2，4x+2(x-1)=3，·x=，x²-3x-4=0中，一元一次方程的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若a=b，有下列等式：①a+2=b+2；②a-2=b-2；③3a=3b；④ac=bc；⑤=；⑥a²=b²。其中一定成立的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．解方程-1=时，去分母正确的是（ ） A．3x-3=2x-2 B．3x-6=2x-2 C．3x-6=2x-1 D．3x-3=2x-1 4．方程(3x+2)+2[(x-1)-(2x+1)]=6的解为（ ） A．x=2 B．x=4 C．x=6 D．x=8 5．关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．1或2 6．班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ） A．45元 B．90元 C．10元 D．100元 7．若方程6x+3a=22与方程5(x+1)=4x+7的解相同，则a的值是（ ） A． B． C．- D．- 8．若1-(2-x)=1-x，则代数式2x²-7的值是（ ） A．-5 B．5 C．1 D．-1 9．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%。若该书的进价为21元，则标价为（ ） A．26元 B．27元 C．28元 D．29元 10．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，两数字之和为12，则这个两位数是（ ） A．26 B．39 C．48 D．52 11．某校七(1)班男生比女生多2人，女生占全班人数的48%，这个班男生、女生人数分别是（ ） A．24人、26人 B．26人、24人 C．25人、25人 D．28人、22人 12．从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7h，开通高速公路后，车速平均每小时增加20km，只需5h即可到达，则甲、乙两地的路程是（ ） A．300km B．350km C．400km D．420km 13．某商店销售一批服装，每件标价150元，打8折后出售，仍可获利20元。设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是（ ） A．150×80%-x=20 B．150-x=20 C．150×80=20-x D．150(1-80%)=20 （二）填空题 14．已知关于x的方程3x-2m=4的解是x=m，则m=________。 15．若单项式3·与单项式−·是同类项，则x+y=________。 （三）解答题 16．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有280张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】B 解题步骤： ①4x+2(x-1)=3只含一个未知数且次数为1，是一元一次方程；3x-y=2含两个未知数，x²-3x-4=0未知数次数为2，都不是；故共2个。 【知识点睛】判断一元一次方程看三点：一个未知数、次数为1、两边为整式，含两个未知数或未知数次数为2的直接排除。 2．【答案】D 解题步骤： ①②③⑤⑥由等式性质1、2一定成立；④两边同乘c总成立，a²=b²也成立，故6个都成立。 【知识点睛】等式两边同加同减、同乘同除（除数非0）结果仍为等式，注意同乘一个数不需要额外限制。 3．【答案】B 解题步骤： 两边同乘6去分母，得3(x-2)=2(x-1)，即3x-6=2x-2。 【知识点睛】去分母时两边每一项都乘最小公倍数6，分子为多项式要整体处理。 4．【答案】D 解题步骤： 先化简中括号：(x-1)-(2x+1)=-x-2；原式=3x+2+2(-x-2)=x-2=6，解得x=8。 【知识点睛】多层括号由内向外逐层化简，合并同类项后再系数化为1。 5．【答案】C 解题步骤： 整理得(a-4)x=-2，x=2÷(4-a)为正整数；a为整数，试得a=2时x=1，a=3时x=2，故a=2或3。 【知识点睛】把方程整理为x=常数÷系数，再按正整数条件逐一试值。 6．【答案】B 解题步骤： 50×2×90%=100×0.9=90元。 【知识点睛】九折即按标价的90%付款，总价=数量×单价×折扣。 7．【答案】A 解题步骤： 先解5(x+1)=4x+7得x=2；代入6x+3a=22，12+3a=22，解得a=。 【知识点睛】同解问题先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。 8．【答案】A 解题步骤： 由1-(2-x)=1-x去括号得-1+x=1-x，2x=2，x=1；代入2x²-7=2-7=-5。 【知识点睛】先解方程求出x，再代入代数式求值，不要把方程与代数式混淆。 9．【答案】C 解题步骤： 设标价为y元，0.9y=21×(1+20%)=25.2，解得y=28元。 【知识点睛】九折出售仍获利20%，即售价=进价×(1+利润率)，再反求标价。 10．【答案】B 解题步骤： 设十位数字为a，则个位为3a，a+3a=12，a=3，个位9，两位数为39。 【知识点睛】两位数问题先设数位数字，按数字和列方程，再组合成两位数。 11．【答案】B 解题步骤： 设女生x人，男生x+2，由女生占全班48%列方程x=0.48(2x+2)，解得x=24，男生26人。 【知识点睛】按女生占全班比例列方程，注意男生比女生多2人这一条件。 12．【答案】B 解题步骤： 设路程s km，由高速速度减原速等于20列方程s÷5-s÷7=20，解得s=350km。 【知识点睛】提速问题按“高速速度-原速=每小时增加20km”列方程。 13．【答案】A 解题步骤： 售价-成本=利润，即150×80%-x=20。 【知识点睛】利润问题的核心等量关系是售价减进价等于利润，据此列方程。 （二）填空题 14．【答案】4 解题步骤： 把x=m代入3m-2m=4，m=4。 【知识点睛】已知方程的解求参数，把解代回原方程得到关于参数的方程。 15．【答案】-1 解题步骤： 同类项要求相同字母指数相同，x+7=4得x=-3，2y=4得y=2，故x+y=-1。 【知识点睛】同类项只看相同字母的指数，分别求出x、y后再求和。 （三）解答题 16．【答案】用160张制盒身、120张制盒底 解题步骤： 设用x张制盒身，则用(280-x)张制盒底。 由一个盒身配两个盒底，列方程：2×15x=40(280-x)。 解得30x=11200-40x，70x=11200，x=160；280-x=120。 答：用160张制盒身、120张制盒底，可以正好制成整套罐头盒。 【知识点睛】配套问题按配套比列等量关系：盒底总数=2×盒身总数，再结合铁皮张数列方程。 学科网（北京）股份有限公司 $