第三章代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材苏科版

第三章 代数式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 字母表示数 1.1 用字母表示数的意义 用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。 示例：三角形的面积公式 ，无论三角形大小如何，面积都可用同一个式子表示。 2. 代数式的概念 2.1 代数式的定义 像 ，，， 这样，用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 示例：，， 是代数式；， 不是代数式。 2.2 代数式的书写规范 数与字母、字母与字母相乘，乘号”ד通常用”·“表示或省略不写，并且把数写在字母的前面，如将 写成 ；除法运算通常写成分数的形式，如将 写成 。 示例： 应写作 ； 应写作 。 2.3 代数式的值 代数式中的字母表示的是数，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。 示例：当 ， 时，代数式 的值是 。 3. 整式 3.1 单项式的定义 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。 示例：，，，， 都是单项式。 3.2 单项式的系数与次数 单项式中的数字因数叫作单项式的系数。单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数。 单项式 系数 次数 示例：单项式 的系数是 ，次数是 。 注意：如果一个单项式不含字母，就称它的次数是 。 示例： 是单项式，它的次数是 。 3.3 多项式的定义 可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式。 示例： 可以看作单项式 ，， 的和，是多项式。 3.4 多项式的项、次数与常数项 多项式中，每个单项式叫作多项式的项；其中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数，不含字母的项叫作常数项。 示例：多项式 的次数是 ，其中 是常数项；多项式 的次数是 。 3.5 整式 单项式和多项式统称整式。 示例：， 都是整式。 4. 合并同类项 4.1 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。 示例： 和 是同类项； 和 是同类项； 和 是同类项。 4.2 合并同类项与合并同类项法则 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式。根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项。 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示例：。 注意：通过合并同类项，可以将多项式化简。求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再进行计算。 示例：求 的值，先合并同类项得 ，再代入求值。 5. 去括号 5.1 去括号法则 去括号法则： · 括号前面是”+“号，把括号和它前面的”+“号去掉，括号里各项的符号都不改变； · 括号前面是”-“号，把括号和它前面的”-“号去掉，括号里各项的符号都要改变。 即 ，。 示例：；。 6. 整式的加减运算 6.1 整式的加减运算 利用合并同类项与去括号法则，我们可以进行整式的加减运算。整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号先去括号，再合并同类项。 示例：。 7. 一元多项式的恒等关系 7.1 一元多项式与恒等 如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式。对于两个含字母 的一元多项式，当 任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的。 示例： 与 恒等，因为它们都能化为 。 7.2 恒等多项式的系数对应相等 如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等。 示例：已知 与 恒等，比较同类项系数得 ，，，，即 ，，，。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 偶数、奇数与连续整数的字母表示 设 为整数，则偶数表示为 ，奇数表示为 （或 ）；与 相邻的两个奇数为 和 ；三个连续整数可表示为 ，，。 1.2 连续整数的和 三个连续整数 ，， 的和为 ，能被 整除；两个连续奇数 与 的和为 ，是 的倍数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用代数式表示数量关系的步骤 先设字母表示相关量，再按”先找数量关系，后翻译成运算符号与字母”的顺序列式；注意”的几倍”“和”“差”“积”“商”分别对应乘、加、减、乘、除。如”某数与 的差的 倍”表示为 。 2.2 求代数式值的规范步骤 先观察代数式是否含同类项、能否去括号化简（含同类项通常先合并同类项、先去括号），再把字母的数值代入计算，代入负数或分数时要加括号。如求 在 时的值，先化简为 ，再代入得 。 2.3 合并同类项的步骤 找出同类项 → 把同类项放到一起（移动时连同符号）→ 系数相加、字母和字母的指数不变。如 。 2.4 整式加减的步骤 有括号先去括号（注意括号前系数的分配与符号变化），再合并同类项，结果常按降幂排列。如 。 2.5 整体代换 同一代数式在式子中重复出现时，把它看成一个整体，用一个字母表示后再合并同类项、化简求值，常可化繁为简。如 中把 看成一个整体，系数相加得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 判断同类项”两同” 看两项是否”所含字母相同”且”相同字母的指数也相同”，与系数大小、字母顺序无关；常数项都是同类项 与 是同类项； 与 不是同类项 去括号带系数 括号前有系数时，先把系数与括号内每一项相乘，负系数注意变号 降幂排列 化简结果按次数从高到低排列，便于观察各项与次数 写成 作差比较大小 比较两个代数式大小，作差化简后判断差的符号 ，当 时 4. 常见考试模型 4.1 图形规律模型（搭小鱼 / 火柴棒 / 线段计数） 公式：从特殊情形入手，找”每增加一个图形所增加的个数”的规律，用含 的代数式表示第 个图形的数量。搭 条”小鱼”需火柴棒 根；线段上共 个点时，总线段条数为从 一直加到 的和。 限定： 为正整数。 示例：搭 条”小鱼”需 根火柴棒。 4.2 数字问题模型 公式：两位数 十位数字 个位数字；由数字 ， 组成的两个两位数为 与 ，其和为 ，差为 。 限定：十位数字不能为 ，， 均为 的整数。 示例：从 中任取 ， 组成两个两位数，其和 能被 整除。 4.3 恒等关系求参数模型 公式：若两个多项式恒等，合并同类项后对应项系数相等，据此列方程求参数。 限定：先分别合并同类项、把两个多项式化为标准形式，再逐项比较系数。 示例：若 与 恒等，则 ，，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把含”＝““＞”等关系符号的式子误当成代数式 典例：判断下列式子哪些是代数式：，，，。 错解：，，， 都是代数式。 正解：， 是代数式；， 不是代数式。代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式，其中不能含有”““”“”等关系符号。 原因：概念理解不清。学生把”含字母的式子”与”代数式”混为一谈，认为只要出现字母就是代数式。代数式的本质是”用运算符号连接而成的式子”，等式、不等式里出现的关系符号不属于运算符号，因此 、 都不是代数式。判断时先看式子中是否出现了关系符号。 易错点 2：单项式的系数、次数判断错误 典例：填空：单项式 的系数是_，次数是_；单项式 的次数是____。 错解： 的系数是 ，次数是 ； 的次数是 。 正解： 即 ，系数是 ，次数是 ； 的次数是 （只看字母 的指数，数字因数 不算入次数）。 原因：概念记忆错误。系数是”数字因数”，，数字因数是 而不是 ；次数是”所有字母的指数的和”，只统计字母的指数，系数（数字因数）不参与次数的计算， 中的 不能加到次数里。 易错点 3：多项式的次数误判为各项次数的总和 典例：写出多项式 的次数。 错解：次数是 。 正解：把多项式写成 ，次数最高的项 的次数是 ，所以这个多项式的次数是 。 原因：概念混淆。学生把”多项式的次数”（次数最高的项的次数）与”单项式的次数”（所有字母指数的和）相混淆，误把各项的次数相加。多项式的次数看的是”最高次项”的次数，不是各项次数的总和。 易错点 4：同类项判断只看字母相同，忽略”相同字母的指数也要相同” 典例：判断 与 是否为同类项，并化简 。 错解： 与 所含字母相同，是同类项，所以 。 正解： 中字母 的指数是 、 的指数是 ； 中 的指数是 、 的指数是 ，相同字母的指数不相同，不是同类项，不能合并。 已经是最简形式。 原因：概念理解片面。同类项要同时满足”所含字母相同”和”相同字母的指数也相同”两个条件，学生只记住了”字母相同”这一半。 与 虽然字母一样，但对应字母的指数不同，不是同类项，不能合并成 。 易错点 5：去括号时括号前是负号，忘记变号 典例：化简 。 错解：。 正解：。括号前是”-“号，去掉括号后括号里各项的符号都要改变， 变为 ， 变为 。 原因：符号处理失误。学生去括号时只把负号与第一项结合，忽略了负号要”分配给括号内每一项”。去括号法则的本质是 ，括号内每一项都要乘 、改变符号。 易错点 6：代入负数求值时漏加括号 典例：当 ， 时，求代数式 的值。 错解：把 算成 ，最终算错。 正解：。代入时负数必须用括号括起来：，。 原因：代入时未加括号导致符号错误。学生把 代入 时误写成 ，得 ；而正确写法是 。凡把负数代入含乘方的代数式，负数都要先加括号再算乘方。 学科网（北京）股份有限公司 $