第1章 数学与我们同行 知识清单 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第1章　数学与我们同行　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2026年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章是初中数学的起始章，共三节：1.1生活观察；1.2活动思考；1.3交流表达。本章从生活中的数学现象（河图洛书、身份证、图案、估算、围篱笆）入手，通过折纸剪拼、月历探究、数据调查、分割图形、水温变化、搭火柴棒、条形码与二维码等活动，引导同学们用数学的眼光观察生活、用数学的方式思考问题，并把发现的规律清楚地表达出来。 【考点地位】本章不计入单一运算考点，重在建立“数学就在身边”的观念，培养观察、归纳、类比、推理与表达能力，是后续数与代数、图形与几何学习的兴趣与方法铺垫；规律探究类、数据表格分析类问题在各类检测中常以选择、填空形式出现。 【学习目标】①能从生活情境中发现数学信息并提出数学问题；②经历观察、操作、归纳的活动过程，发现数字、图形中的简单规律；③能读懂简单的数据表格并用语言描述数量关系；④学会设计简单的调查方案，与同学交流自己的发现。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心内容”三层呈现。 节次 核心内容 1.1　生活观察 河图洛书点阵的数字规律；身份证号码所含信息；生活图案的特征；估算树高树粗；周长一定时围长方形（正方形面积最大） 1.2　活动思考 折纸与剪拼；月历中的数量关系；设计调查表收集数据 1.3　交流表达 分割三角形中的涂色规律；水温随时间变化的表格分析；火柴棒搭正方形；条形码与二维码 二、核心公式定理 【速查表】本章以活动和探究为主，集中列出常用的观察方法与可直接使用的结论，复习时逐条对照教材。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 周长一定围图形 用长度固定的篱笆围封闭图形，围成正方形时面积最大 周长相等时，越接近圆形面积越大；长方形长、宽越接近面积越大 月历2×2方框 框住的4个数，对角两数之和相等（左上＋右下＝右上＋左下） 上下相邻两数相差7，左右相邻两数相差1 月历3×3方框 9个数之和＝中间数×9，9个数关于中心对称分布 先找中心数，再向四周推 搭正方形 并排搭n个正方形需（3n＋1）根火柴棒 第1个用4根，以后每增加1个正方形增加3根 等面积分割 过长方形中心（对角线交点）的任意一条直线都把长方形分成面积相等的两部分 剪两个、四个等面积图形可借助对折 估算 结合参照物估计长度、高度、粗细，再用测量验证 估算不是乱猜，要有参照标准 三、考点知识梳理 （一）1.1　生活观察 【知识定位】从生活情境中提取数学信息、发现规律，是本节的核心活动，也是规律探究题的起点。 【河图洛书】“河图洛书”用实心点、空心点的个数表示数字。观察点阵可以发现每行、每列、每条对角线上点子所代表的数字之间的关系（洛书即三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）。观察点阵时先按顺序点数，再横向、纵向、斜向比较。 图1 河图与洛书点阵 【生活中的编码】身份证号码由若干位数字组成，分别表示地址码、出生日期码、顺序码和校验码，从中可以读出持有人的籍贯、出生年月日等信息。生活中的门牌号、学号、条形码、二维码都承载着特定信息。 【估算与测量】在校园或家附近找一棵树，可借助已知长度的参照物（如自己的身高、一步的长度）估计树高、树粗，再用尺测量验证。估计要有参照标准，不能凭空判断。 【围生物园】用16m长的篱笆围成长方形生物园，也就是周长固定为16m（长＋宽＝8m）。长和宽相差越小，面积越大；当长＝宽＝4m，即围成正方形时，小兔的活动范围最大。 （二）1.2　活动思考 【折纸与剪拼】把长方形纸片按一定方式折叠、剪开，可以得到三角形、正方形等图形。过长方形两条对角线交点（中心）的任意一条直线，都能把长方形分成面积相等的两部分；利用对折可以把长方形剪成两个、四个面积相等的图形。长方形四个内角都等于90°，内角和为360°，由此可推想一般四边形的内角和也是360°。 【月历中的数量关系】观察月历可知：左右相邻两数相差1，上下相邻两数相差7。2×2方框中对角两数之和相等；3×3方框中9个数之和等于中间数的9倍。若连续外出旅游5天，这5天日期是连续自然数，日期之和除以5就是中间一天的日期。 图2 月历中的方框规律 【设计调查表】要了解“学校应开设哪些体育社团”，应先明确调查目的，再列出备选项目（如啦啦操、篮球、羽毛球、乒乓球、足球、跳绳），设计可多选的调查表，收集各班同学的选择后统计，最后为课外活动开展提出合理建议。调查要目的明确、项目齐全、记录清楚。 （三）1.3　交流表达 【分割三角形】先画1个等边三角形，连接三条边的中点得到4个相同的小三角形，把中间1个涂色，再对其余3个三角形重复同样操作。每操作一次，新涂色的三角形个数是上一次涂色个数的3倍，操作后要把发现的规律用语言清楚地表达给同学。 图3 等边三角形的分割涂色 【水温的变化】记录一杯开水在室温下随时间变化的温度：开始降温快，后来降温越来越慢，最后水温趋近室温保持不变。读表格时先看时间顺序，再看温度变化趋势，据此可估计等待到适宜冲泡温度所需的时间。 【搭正方形】按图示方式并排用火柴棒搭正方形：搭1个用4根，搭2个用7根，搭3个用10根……以后每增加1个正方形增加3根，搭n个正方形需（3n＋1）根。先列表记录个数与根数，再归纳两者关系。 图4 并排搭正方形的火柴棒 【条形码与二维码】条形码只在一个方向（一般是水平方向）表达信息，由数字和字母组成；二维码在水平和竖直两个方向同时存储信息，用若干几何形体对应二进制数据，信息容量大、形式丰富，可实现移动支付、网址解析、登录等功能。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】生活处处有数学，点阵编码藏信息；周长固定围正方，长靠近宽面积大；月历左右差1上下7，对角之和中心九；搭正方形3n加1，观察归纳再表达。 【对比记忆】“观察”与“思考”、“发现”与“表达”是本章的四个关键词，对比如下。 环节 做什么 举例 观察 按顺序看清数字、图形、表格的排列 点数五角星个数、看月历排列 思考 比较相邻项，找不变与变化 相邻图形多了几个、多了几根 归纳 把发现写成一般规律 第n个图形的个数或根数 表达 用语言、式子把规律说清楚 与同学交流并记录规律 【易混对比】周长相等的长方形与正方形：正方形面积更大；不要把“周长固定”当成“面积固定”。月历中上下差7、左右差1，不要记成上下差1。 五、解题方法总结 题型1　数字与图形规律探究 【解题方法】①按顺序列出前几项的数量（个数、根数、数值）；②比较相邻两项的差或倍数关系；③归纳出第n项的表达式；④把n代回验证前几项。 【数学思想】由特殊到一般的归纳思想：从具体前几项抽象出第n项规律，再代回验证前几项。 题型2　逻辑推理与游戏取胜 【解题方法】①把每个人的猜测逐条列出；②按“每人只猜对一半”逐条假设、排除；③结合选项逐一检验，排除自相矛盾的名次。 【数学思想】逻辑推理与排除思想：逐条假设、排除自相矛盾的名次。 题型3　数据表格分析与最小公倍数 【解题方法】①读清表格各行各列的含义；②同时发生的再次间隔，取各间隔时间的最小公倍数；③单位换算（min与h）写清。 【数学思想】最小公倍数思想与表格信息提取：先读清行列含义，再取公共周期。 题型4　行程与整体把握 【解题方法】①相遇时间＝总路程÷速度和；②往返跑动的动物，不必逐段算，用“总时间×速度”求总路程；③读折线图先看横、纵轴含义，再看升降与水平段。 【数学思想】整体思想与数形结合：往返路程只算总时间乘速度，读折线图先看坐标轴。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 周长固定时误认围长方形面积相同 周长固定，长、宽越接近面积越大，正方形面积最大 月历上下相邻数误记为相差1 月历上下相邻相差7，左右相邻相差1 搭正方形误按4n根计算 并排搭，相邻正方形共用一条边，n个需（3n＋1）根 往返跑的狗逐段累加出错 只算相遇总时间，再乘狗的速度得总路程 规律题只列前三项不验证 归纳第n项后必须代回验证前几项是否吻合 游戏取胜只凭感觉 抓关键数（如3的倍数），控制自己占到关键点 七、高频考点速记 ①数学就在生活中：编码、图案、估算、围场地都含数学信息。 ②周长固定围封闭图形，正方形面积最大。 ③月历：左右差1、上下差7；2×2对角和相等；3×3九数和＝中心数×9。 ④并排搭n个正方形需（3n＋1）根火柴棒。 ⑤过长方形中心的直线把长方形分成面积相等的两部分。 ⑥规律探究：列前几项→找差或倍数→归纳第n项→代回验证。 ⑦同时发车的再次间隔，取各间隔时间的最小公倍数。 八、学情自测 （一）选择题 1．下列图形由同样大小的五角星按一定规律组成，其中第①个图形共有2个五角星，第②个图形共有8个五角星，第③个图形共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ） A．50 B．64 C．68 D．72 2．七年级（1）班四位同学参加数学知识竞赛，分获第一、二、三、四名。明明说：“甲得第一，乙得第二。”文文说：“甲得第二，丁得第四。”凡凡说：“丙得第二，丁得第三。”名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为（ ） A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、乙、丁 C．甲、丁、乙、丙 D．甲、丙、丁、乙 3．在下边的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，这三个数之和不可能为（ ） A．60 B．40 C．36 D．27 4．用火柴棒按如图所示方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需火柴棒的根数是（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 5．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ） A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的左上角 D．第505个正方形的右下角 6．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（ ） A．671 B．672 C．673 D．674 7．观察下列数字的填写规律，1，1，2，3，5，8，13，…，下一个数是（ ） A．17 B．19 C．21 D．23 8．奥林匹克五环旗上五个大小相同的圆环环环相扣，相邻两圆环相交于2点，则五环共有交点（ ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 9．用火柴棒按图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要火柴棒（ ） A．6n根 B．(6n+6)根 C．(6n-6)根 D．12n根 10．在2×2方格图案中，所含正方形的个数为（ ） A．4个 B．5个 C．9个 D．14个 11．已知一根长80cm、底面积是30cm²的圆柱形钢材，若把它截成相等的两段，则表面积增加了（ ） A．30cm² B．60cm² C．90cm² D．120cm² 12．用48m长的竹篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：围成正方形或围成圆形，则围成场地面积较大的是（ ） A．正方形 B．圆形 C．一样大 D．无法比较 （二）填空题 13．有一种“抢30”的游戏：甲先说“1”或“1，2”，乙接着按次序往下说一个或两个数，两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到30谁获胜。采取适当策略，其结果是________胜。（填“甲”或“乙”） 14．观察下列数字宝塔：第1层1＋2＝3；第2层4＋5＋6＝7＋8；第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；……。从上往下数，2020在第________层。 （三）解答题 15．某汽车站有三条路线通往不同的地方，第一条路线每隔15min发车一次，第二条路线每隔20min发车一次，第三条路线每隔50min发车一次。三条路线的汽车在同一时间发车后，试问至少再经过多长时间又同时发车？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】D 解题步骤： ①第①个2＝2×1，第②个8＝2×4，第③个18＝2×9，即第n个图形有2×n²个五角星；②第⑥个为2×6²＝2×36＝72。 【知识点睛】图形规律题先列出前几项个数，找平方关系再归纳第n项，代回验证前三项即可。 2．【答案】B 解题步骤： ①甲、丙、乙、丁时，明明“甲第一”对、“乙第二”错；文文“甲第二”错、“丁第四”对；凡凡“丙第二”对、“丁第三”错，每人恰好猜对一半；②其余选项均出现某人两句全对或全错，矛盾。 【知识点睛】逻辑推理按“每人只猜对一半”逐条假设、排除，结合选项检验，避免主观猜测。 3．【答案】B 解题步骤： ①月历竖列相邻三数，中间数为a，则三数为a−7、a、a＋7，和为3a，必是3的倍数；②60、36、27都是3的倍数，只有40不是3的倍数，故不可能为40。 【知识点睛】月历竖列三数之和等于中间数的3倍，先判断能否被3整除再排除。 4．【答案】D 解题步骤： ①第1个12根，以后每增加一个增加6根，第n个为12＋6（n−1）＝6n＋6；②第8个为6×8＋6＝54根。 【知识点睛】递增型规律先算首项与每次增量，写成“首项＋增量×（n−1）”，再代入。 5．【答案】D 解题步骤： ①每个正方形标4个数，2016＝4×504，恰好是第505个正方形的第1个数；②第1个数标在右下角，故2016在第505个正方形的右下角。 【知识点睛】每4个数一组循环，先用2016÷4判断落在第几个正方形、第几个顶点，再对照起点位置。 6．【答案】B 解题步骤： ①白色纸片数为3n＋1，由3n＋1＝2017得3n＝2016，n＝672。 【知识点睛】把图案规律写成含n的式子，再令其等于已知数量用除法求n。 7．【答案】C 解题步骤： ①从第3项起每一项等于前两项之和：2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，13＝5＋8；②下一项为8＋13＝21。 【知识点睛】斐波那契数列的特征是“后项＝前两项之和”，连续写出相邻两项相加即可。 8．【答案】B 解题步骤： ①五个环环环相扣，相邻两个圆环相交于2点，共有4处相邻；②交点总数为4×2＝8。 【知识点睛】先数相邻环的对数，再乘每对的交点数，注意不重复计数。 9．【答案】B 解题步骤： ①第1个12根，每次增加6根，第n个为12＋6（n−1）＝6n＋6。 【知识点睛】首项12、增量6的线性规律，写成6n＋6并代回n＝1检验得12。 10．【答案】B 解题步骤： ①2×2方格：4个小正方形＋1个大正方形＝5个。 【知识点睛】数方格中正方形要按边长分类：1×1、2×2分别计数再相加。 11．【答案】B 解题步骤： ①截成两段增加2个底面；②增加的表面积为2×30＝60cm²。 【知识点睛】圆柱横截一次增加两个底面，与钢材长度无关，只乘底面积。 12．【答案】B 解题步骤： ①周长相等时，围成圆形的面积比正方形大，故圆形场地面积较大。 【知识点睛】周长固定，图形越接近圆形面积越大，这是等周问题的直观结论。 （二）填空题 13．【答案】乙 解题步骤： ①乙只要每次抢到3的倍数（3、6、9、…、30）即可获胜，后报者可控制落点。 【知识点睛】抢数游戏争取抢到关键数（3的倍数），让对方始终无法占到关键点。 14．【答案】44 解题步骤： ①第n层从n²开始，因44²＝1936，45²＝2025，1936≤2020＜2025；②故2020在第44层。 【知识点睛】数字宝塔第n层首项为n²，找2020落在哪两个相邻平方数之间即可定位层数。 （三）解答题 15．【答案】至少再经过300min（即5h）同时发车 解题步骤： ①求15、20、50的最小公倍数：15＝3×5，20＝2²×5，50＝2×5²； ②最小公倍数为2²×3×5²＝300，即300min＝5h。 【知识点睛】再次同时发车的间隔是各间隔时间的最小公倍数，分解质因数后取各质因数最高次幂相乘。 学科网（北京）股份有限公司 $