第二章有理数 2.1正数与负数（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上学期

该初中数学资料系统梳理了有理数章节中正数与负数的知识体系。从正数负数的概念及0的分界作用出发，通过相反意义的量理解正负数的实际应用，进而抽象出有理数的定义，最终掌握有理数按正负和性质的分类方法。 知识链路以概念建构、实际应用到分类整合的逻辑递进，每个知识点配有精选例题、变式练习及分层检测。通过生活实例培养模型意识，借助分类训练提升抽象能力，助力学生形成从数学角度观察现实世界、用数学语言表达问题的思维习惯。

有理数 2.1 正数与负数 知识点1 正数与负数的概念 正数的概念：大于0的数叫做正数。 负数的概念：小于0的数叫做负数。 0是正数与负数的分界点，即0既不是正数也不是负数 注：①一般地，在小学阶段我们研究的数（0除外）基本都是正数，比如3、0.5、¹⁄₃等，初中阶段则会出现+3.5、+2等带有“+”号的数，这两种均是正数的表示方法，即“+”号可以省略。 ②负数在正数数字前面添加“−”号，例如“−3、−π”等，“−3”读作“负三”。 ③虽然我们使用“+”“−”符号表示正负数，但不能将是否带有“−”号作为区分正数负数的标准，即“带有‘−’的数是负数”这句话是错误的，原因我们会在后续学习内容中进行说明。 【精选例题】下列数中−1、−π、⅛、0.221、+9、0，正数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】−1、−π均为负数，0既不是正数也不是负数，剩下的三个数均为正数，所以选C。 【变式练习1】在−3、−6.2、+¼、0、0.1010010001、2中，负数的个数是________个。 知识点2 相反意义的量 在生活中我们通常会设置一个分界点，并使用正负数描述一组具有相反意义的量。 例如某山山脚的温度为6℃，我们记作6℃；此时山顶的温度为零下9摄氏度，则记作−9℃。 生活中常见的具有相反意义的量有很多，如下： 温度 山脚4℃记作+4℃ 山顶−6℃记作−6℃ 以0℃为分界点 收支 收入4000元记作+4000元 支出2000元记作−2000元 记收入为正，则支出为负 位置 高于海平面记作正 低于海平面记作负 以海平面为分界点 方向 向东走3米记作+3米 向西走6米记作−6米 记向东为正，则向西为负 注：一般地，我们会把“0”当作是分界点，但并非所有题目都是如此，在解决此类问题之前，需要明确分界点。 【精选例题】《九章算术》中世界数学史上首次引入负数的概念，如果收入200元记作+200元，则−90元表示__________。 【解析】收入和支出是一对相反意义的量，所以−90元表示支出90元。 【变式练习2】比赛用乒乓球的标准直径规定为40mm，允许误差为±0.04mm，现在随机抽取3个乒乓球进行检测，测得直径分别为①38.200mm、②39.000mm、③40.020mm，其中符合标准的是______（填序号）。 【变式练习3】跳远比赛中，小明的成绩为2.0m，小红的成绩为1.8m，芳芳的成绩为2.1m，若以小明的成绩为标准，则小红的成绩记作__________，芳芳的成绩记作__________。 题型 与正负数相关的实际问题 【精选例题】小壮是一名网约车司机，他从家出发，在一条东西方向的大街上运营，规定向东为正，向西为负，按照接送顺序记录如下（单位：千米）：−2、+8、−3、−9、+3、+1、+4、−5、−1 （1）小壮将最后一名乘客送至目的地后，汽车在自己家什么方向，距离家多少千米？ （2）小壮这一天开车一共行驶了多少路程？ （3）汽车每千米耗油0.1升，油价为每升7元，小壮这一天共需要多少油费？ 【解析】（1）+8、+3、+1、+4向东一共走了16千米；−2、−3、−9、−5、−1向西一共走了20千米，所以最后一名乘客送至目的地后在家正西方向，距离为20−16=4千米。 （2）2+8+3+9+3+1+4+5+1=36（千米） （3）36×0.1×7=25.2（元） 【变式练习4】某股票上周五收盘价为20.00元。本周每天的涨跌情况如下（单位：元）：+0.50，−0.30，+0.80，−0.20，+0.60。求本周五的收盘价。 【变式练习5】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路。规定向东为正，一天的行驶记录如下（单位：km）：+15，−8，+12，−6，−10，+4，−3。 （1）检修结束时，小组在A地的东边还是西边？距A地多远？ （2）若汽车每千米耗油0.3L，这天共耗油多少升？ 知识点3 有理数 正整数：符号为正的整数，例如“8、+899”等； 负整数：符号为负的整数，例如“−3、−45”等； 正整数、0、负整数统称为整数。其中0和正整数称为自然数。 我们在小学里，已经知道有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如2.5=⁵⁄₂，0.3̇=⅓，所以在初中阶段，有限小数和循环小数都是分数。注意，无限不循环小数不是有理数，例如0.1010010001……我们引入有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 知识点4 数的分类 按照正负来分 按照性质来分 有理数： 正有理数（正整数、正分数） 0 负有理数（负整数、负分数） 有理数： 整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 常见的数分类名词 非负数：正数和0 非正数：负数和0 非负整数：正整数和0 非正整数：负整数和0 非负有理数：正有理数和0 非正有理数：负有理数和0 【精选例题1】下列说法中正确的是（ ） A．正整数和负整数统称为整数 B．0表示不存在，所以0不是有理数 C．非正整数就是0和负数 D．有理数按性质分是分数和整数的统称 【解析】A选项，整数包含正整数、0和负整数，故A错，注意0的特殊性；B选项，0是整数，所以也属于有理数，故B错；C选项非正整数包含0和负整数，而不是负数，故C错，选择D。 【精选例题2】请把下面的数填在相应的集合内： 1，0.5，−200，−2.45，0，3.1415，−⁷⁄₂₃，0.33，π 正有理数集合：{________________________________……}． 负整数集合：{________________________________……}． 正分数集合：{________________________________……}． 非负整数集合：{________________________________……}． 【解析】 正有理数集合：{1、0.5、3.1415、0.33}． 负整数集合：{−200}． 正分数集合：{0.5、3.1415、0.33}． 非负整数集合：{1、0}． 【变式练习6】在−2，−½，0，0.2222这四个有理数中，非负数有________个。 【变式练习7】请把下列各数填入相应集合内： −⁵⁄₇，0.6999，12，⅑，−0.5，2，−18，0，π （1）正整数集合：{ ……} （2）非负数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）有理数集合：{ ……} 【知识点掌握情况自我检测】 ①能说清正负数的概念以及和0的关系 ②知道如何使用正负数表示生活中一组具有相反意义的量 ③清楚有理数的概念，会对有理数进行正确分类 ④掌握非负数、非负整数、非正数、非正整数、非正分数、非正有理数、非负有理数等概念 【课后练习】 1．如果收入500元记作+500元，那么支出300元记作________元。 2．某地一天的最高气温是6℃，最低气温是−4℃，则这天的温差是________℃。 3．一艘潜艇在海平面下50米处（记为−50米），一条鲨鱼在潜艇上方20米处，则鲨鱼的位置是________米。 4．某商店四个季度的盈亏情况为（单位：万元）：+5，−3，+4，−2。该商店全年是盈利还是亏损？金额是多少？ 5．某零件标准质量为500g，检验记录如下（单位：g）：+3，−2，+1，0，−4，+2。求这6个零件的平均质量。 6．一辆出租车从A站出发，东西方向行驶，记录如下（单位：km，向东为正）：+10，−6，+8，−12，+4。求出租车最终在A站的哪个方向，距离多远？若每千米耗油0.2L，共耗油多少升？ 7．以90分为基准，4名同学的成绩分别记为+3，−5，0，+8。求这4名同学的平均成绩。 8．某次竞赛共15道题，答对一题得4分，答错一题扣1分，不答得0分。小红答对了10题，答错了3题，有2题未答。求小红的得分。 【分层检测】 A1．下列各组数中，全部属于正数的是（ ） A．0，3，+5 B．−2，−5，−0.3 C．+1，0.5，⅔ D．−0.1，0，3.14 A2．在−5，0，+2.5，−⅓，3.14，2024，−0.618中，负数有________个，正数有________个，既不是正数也不是负数的有________个。 A3．判断正误： （1）0表示没有，所以它不是有理数。（ ） （2）整数就是正整数和负整数。（ ） （3）非负数就是正数。（ ） （4）有限小数和循环小数都属于分数。（ ） A4．下列说法中正确的是（ ） A．整数包含正整数和负整数 B．0不是有理数 C．非正整数包含0和负数 D．有理数按性质分是分数和整数的统称 A5．将下列数填入对应的集合：−5，0，+3.5，−⅔，7，−0.8，4.2，−12，½ 正整数集合：{__________________} 负整数集合：{__________________} 正分数集合：{__________________} 负分数集合：{__________________} A6．已知一组数：3.14，−5，0，+8，−0.25，⅖，−3.6，1。 （1）非负数集合：{__________________} （2）非正整数集合：{__________________} （3）非负整数集合：{__________________} A7．比较大小（用“>”或“<”连接）：（1）0____−3 （2）−5____−2 （3）−1.5____−0.5 （4）−100____+1 B1．若向东走100米记作+100米，则向西走60米记作________米。 B2．某天北京的气温为−5℃，南京的气温为3℃，北京比南京低________℃。 B3．某潜艇在海平面下80米处，记为−80米；一架直升机在潜艇上方120米处，直升机的位置是________米。 B4．某仓库第一天运进80吨货物，第二天运出50吨，第三天运进60吨，第四天运出30吨。若仓库原有200吨货物，第四天结束时货物为________吨。 B5．某零件的标准直径为10.00mm，抽查4个零件的记录如下（单位：mm）：+0.03，−0.02，+0.01，−0.04。这4个零件的平均直径是________mm。 B6．某商店下半年的盈亏情况如下（盈利记为正，单位：万元）：七月+2.5，八月−0.8，九月+3.1，十月−1.2，十一月−0.6，十二月+2.8。 （1）下半年是盈利还是亏损？金额是多少？ （2）盈利最多的月份比亏损最多的月份多盈利多少万元？ B7．某学生小组进行体育测试，以10秒为基准，超过基准的秒数记为正数，不足的记为负数。6名同学的成绩记录如下（单位：秒）：+0.8，−1.2，−0.5，0，+1.5，−0.3。 （1）求这6名同学的实际成绩。 （2）学生达标标准是不超过10.5秒，问有几名同学达标？ B8．某电梯从1楼到5楼的运行记录如下（上升为正，下降为负，单位：层）：+4，−2，+3，−1，+2，−5。求电梯最终停在第几层？ 练习答案 【变式练习1】2 【变式练习2】③ 【变式练习3】−0.2m、+0.1m 【变式练习4】本周五收盘价20.00+0.50−0.30+0.80−0.20+0.60=21.40（元） 【变式练习5】①最终位置=15−8+12−6−10+4−3=4（km），∴在A地东边4km处。 ②总路程=15+8+12+6+10+4+3=58（km） 总耗油=58×0.3=17.4（L） 【变式练习6】2 【变式练习7】−⁵⁄₇，0.6999，12，⅑，−0.5，2，−18，0，π （1）正整数集合：{12、2} （2）非负数集合：{0.6999、12、⅑、2、0、π} （3）负分数集合：{−⁵⁄₇、−0.5} （4）有理数集合：{−⁵⁄₇、0.6999、12、⅑、−0.5、2、−18、0} 【课后练习】 1．−300元 2．10℃（6−(−4)=10） 3．−30米（−50+20=−30，即海平面下30米） 4．总盈亏=5−3+4−2=4（万元），全年盈利4万元。 5．偏差之和=3−2+1+0−4+2=0，平均偏差=0，平均质量=500+0=500（g）。 6．最终位置=10−6+8−12+4=4（km），在A站东方4km处。 总路程=10+6+8+12+4=40（km），共耗油40×0.2=8（L）。 7．偏差之和=3−5+0+8=6，平均偏差=6/4=1.5，平均成绩=90+1.5=91.5（分）。 8．得分=10×4+3×(−1)=40−3=37（分）。 【分层检测】 A1．C（A中0不是正数，B全是负数，D中有负数和0） A2．负数3个（−5、−⅓、−0.618），正数3个（+2.5、3.14、2024），既不是正数也不是负数1个（0） A3．（1）× （2）× （3）× （4）√。解析：（1）0是有理数；（2）整数包含0；（3）非负数包含0；（4）正确，有限小数和循环小数都可化为分数。 A4．D（A漏0；B错误；C非正整数是负整数和0，错误；D为最佳答案，有理数=整数+分数） A5．正整数：{7}；负整数：{−5、−12}；正分数：{+3.5、4.2、½}；负分数：{−⅔、−0.8} A6．（1）非负数：{3.14、0、+8、⅖、1} （2）非正整数：{−5、0} （3）非负整数：{0、+8、1} A7．（1）0>−3 （2）−5<−2 （3）−1.5<−0.5 （4）−100<+1 B1．−60 B2．8℃（3−(−5)=3+5=8） B3．−80+120=+40（米），即海平面上40米 B4．变化量=80−50+60−30=60（吨），结束时=200+60=260（吨） B5．偏差之和=0.03−0.02+0.01−0.04=−0.02，平均偏差=−0.02/4=−0.005，平均直径=10.00−0.005=9.995（mm） B6．（1）总盈亏=2.5−0.8+3.1−1.2−0.6+2.8=(2.5+3.1+2.8)−(0.8+1.2+0.6)=8.4−2.6=5.8（万元），下半年盈利5.8万元。 （2）盈利最多九月+3.1，亏损最多十月−1.2，多盈利3.1−(−1.2)=4.3（万元） B7．（1）实际成绩：10.8、8.8、9.5、10.0、11.5、9.7（秒） （2）达标要求≤10.5秒：10.8、不达标；8.8、达标；9.5、达标；10.0、达标；11.5、不达标；9.7、达标。共4名同学达标。 B8．终点=1+4−2+3−1+2−5=2，停在第2层。 学科网（北京）股份有限公司 $