期中复习压轴专题02 解答题分类训练（7种类型35道）（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02解答题分类训练 (新人教版七年级，7种类型35道) 范围：第一章一第四章 知识点一 绝对值的几何意义 x-a+y-a=t 1.对于有理数x,y,a,t,若 ,则称x和y关于a的“美好关联数”为t,例如： 2-1+3-1=3 则2和3关于1的“美好关联数”为3. (1)3和5关于2的“美好关联数”为_： (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值： (3)若和”关于1的“美好关联数”为1，而和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好 x39 X40 关联数”为1，…，”和关于40的“美好关联数”为1，…. 的最小值为_； 1+x2+3+..+x40 ②求 的最小值 2-5 2.数轴上表示2和5的两点之间的距离可以表示为 ;数轴上表示3和一的两点之间的距离可以表示 为B-(明 (1)请尝试在草稿纸上继续举例后，归纳结论： 数轴上表示m和n的两点之间的距离可以表示为 (2)应用(1)中归纳的结论解决下列问题： ①如果x+2=3,则x的值为 1126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②代数式x++r+3+k-2 的最小值为 (3)将数轴上的点A(表示数a)向左移动m个单位长度(m是正数)，再向右移动2个单位长度，最终到 达点B.求A,B两点之间的距离。（结果用含m的代数式表示，不含绝对值符号） 3材料例医已知点人B在最轴上分别表示有理数a6,口-A表示8两点之同的距离，如：1-2习 1-2=1 表示数轴上1与2两点之间的距离，所以数轴上1与2两点之间的距离是 ，式子-到 的几何意义 x-4 是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理 也可理解为x与4两数在数轴上所 对应的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_， ②数辅上表示和一1的两点4和B之间的距离是，如果M=2,那么x为 (3)同理 x-1+x+2=5 表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的两点距离之和为5，则所有符合 条件的x是 (4若点P表示的数为x, x-1+x+3 是否有最小值？如果有，直接写出最小值是多少？ 4.如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、C,且满足 a+24+6+10+(c-10=0,d、B之间的距离记为1=a-A或h-d 请回答问题： A B C 0 10+ (1)直接写出a,b,c的值，a= b= C= (2)设动点M在数轴上对应的数为x x-10=5 ①若 则术= x+24+x+10=2 ②若 ,则x= (3)动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动.当点P运动到B点时，点O从点A出发，以每 秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.设点Q运动 2/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时间为t秒，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由. 5.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要 思想方法.例如，代数式x-2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离.因为 |x+1日x-（-)川，所以x+川的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离.回答下列 问题： AP B 南4方2012345→ 5-4-3-21012345→ A 0 (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ②在①的情况下，如果AB=3,那么x为」 (②)探究问题：代数式x+1川+x-2的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数-12、xAB=3, x++|x-2的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴.当点P在线段AB上时，PA+PB=3: 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>3, x+l川+|x-2 的最小值是3. 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子+川x-+x-2的最小值是 ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、CDE,一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 米： (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是-2、12.动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终 点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的 运动时间为秒.当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求的值. 3126 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点二 有理数加减的应用 6.外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量 超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“一”，下表是该外卖小哥一 周的送餐量： 星期 四 日 送餐量/单 -5 +3 -6 +12 +9 +8 14 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单， (②)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的 部分，每单补贴4元：超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元. 求外卖小哥这一周工资收入多少元. 7.综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲.某风景区在黄金 周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）· 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化万 1.2 -0.2 0.8 -0.4 0.6 0.2 -1.2 人 (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差 多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平. ①a= ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费.若在此风 景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 8.平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 B B式 (1)平移运动 4/26 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的 位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 A、(4)+(+)=5B.(4)+(-)=+3 c、（4)-(+)=-5D.（4)+()=-3 ②一机器人从原点0开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位， 第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示 的点重合； ②若数轴上AB两点之间的距离为2024(A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且AB两点经折叠后 重合，则A点表示一，B点表示一. (3)一条数轴上有点A、B、C,其中点AB表示的数分别是-17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折， 若点A对应的点落在数轴上，并且AB=2,求点C表示的数， 9.如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的 位置所对应的数分别是-5,5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）· 65-43-210123456→ 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀， 剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局)，移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度： ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度： ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度. 前四局的部分情况如下表所示. 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 ()从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是 白棋在数轴上的位置所对应的数是 (2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第 三局结束时获胜的是谁？请说明理由。 5/26 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是 什么？ 10.一名快递员从快递站点0(0)出发，派送四个包裹，路线如下： ·先向北行驶6千米到客户A家： ·然后向南行驶9千米到客户B家： ·接着向北行驶4千米到客户C家： ·再向北行驶4.5千米到客户D家； •最后返回快递站点0. (规定向北为正方向，单位长度1千米，电动车每千米耗电0.2度.) 【问题1】画出数轴，并在数轴上标出0，A,B,C,D的位置，并写出它们对应的数. 【问题2】在派送过程中，快递员离站点最远是 _千米，此时离客户B家有」 km, 【问题3】出发时电量满格(10度电)，全程能否不充电完成？计算总耗电量. 【探究一】如果出发时电量只剩4.5度，按原路线派送，他最远能派送完前几家客户就必须返回？（回程 走直线) 【探究二】如果快递员可以自由安排拜访A,B,C,D四个客户的顺序（从O出发最后回到O),但每个 客户必须去一次，能否在只剩4.5度电的情况下完成全部派送？如能，请给出一种顺序及总路程；如不能， 请说明理由. 知识点三 数轴上的动点问题 11.如图，相距5km的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于AB两地之间且距A地2km.小明同学 骑自行车从A地出发沿马路以每小时5km的速度向B地匀速运动，到达B地后以每小时4km的速度返回， 到达A地停止运动.设运动时间为t(小时)，小明的位置为点P.若把点C记为原点，从A到B为正方 向，用1个单位长度表示km画数轴，则请你回答下列问题： A C P B (1)指出点A所表示的有理数 (2)当t=0.5时，则点P表示的有理数 (3)在小明行驶过程中，当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值， 6/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）· 12.七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”. 探索“折线数轴” 如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折 线数轴”.图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点 D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单 AD=45 位长度，并表示为 素材1 B 12 A→P -9 24 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数 轴”向其正方向运动.当运动到点0与点B之间时速度变为初始速 素材2 度的一半.当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍， 经过点C后立刻恢复初始速度. 问题解决 探索1 动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的 探索2 数（用含t的代数式表示）： 13.数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的 内在联系，它是“数形结合”的基础.一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右 移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B;最后将数轴展开. -5-4-3-2-1012345 (1)直接写出A,B,C三点所表示的数A:一，B:一，C: (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x,当点P在0到3之间时（即0≤x≤3时），请化简式子： 7/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-2-x+1++4(请写出化简过程)： (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数一： ②点A,B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后， 记A与B两点之间的距离为AB,B与C两点之间的距离为BC.这三个点在运动过程中，请问： 3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值， 14.如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a,b(b>a),则线段AB的长（点A到点B的距离） 可表示为b-a,请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A,再向左移动2个单位长度到达点 B,然后再向右移动3个单位长度到达点C A B a b 65-4-3-2102345678→ 图1 图2 (I)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (②)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别 以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动.设移动时间为t秒(>0)， ①BC两点间的距离BC= ②用含的代数式表示：秒时，点P表示的数为一，点Q表示的数为一，点R表示的数为一： ③探究：在移动的过程中，4№R-PR的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求 其值. 15.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要 x-2 思想方法.例如，代数式 的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离.因为 x+Hx-(),所以x+川的几何意义就是数轴上x所对应的点与一1所对应的点之间的距离.回答下列问 题 8126 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 4房211克34 5-4-3-2-1012345分 C (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是-： ②在①的情况下，如果AB=3,那么x为： (②探究问题：代数式比+14x-2的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数-1、2、x,AB=3, k+1Hx-2的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴.当点P在线段AB上时，PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB>3, :k+14x-2的最小值是3. 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子+-4x-2的最小值是一， ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E,一只配件箱应该放在工 作台一处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是米. (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数-1、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1 个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， 假设秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问： BC-AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 知识点四 乘方的应用 16.我们规定：若一个正整数M能写成a-b,其中a与b都是两位数，且a与b的十位数字相同，个位数 字之和为6，则称M为“平方减数”，并把M分解成a-b的过程，称为“平方减数分解”.例如：因为 554=242-22 24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解 9126 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 成554=242-22的过程就是“平方减数分解”. ()下列正整数中，“平方减数”的是一； (填写序号) ①600②604③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是一，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为一 (3)把一个“平方减数”M进行“平方减数分解”，即M=a2-b,若将a放在b的左边组成一个新的四位 数N,恰好N能被9整除，且3a+b是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数M. 17.综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年 在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素， 以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文 化的博大精深其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算， (提示：八卦中 称为阳爻，对应数字1； ■称为阴爻，对应数字 0,这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为 (012) IcmE-14 三三王三 图1 图2 (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为 (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为 2°，2,22,2 ,依此类推)，然后相加 (011)2=0×22+1×2+1×2°=0+2+1=3 例如： （任何不等于零的数的零次幂都等于1，即2°=1 ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为一（提示：类似于十进制的计 10/26 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 算方法，逢二进一进行计算) ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出 2021),+(2021) 的结果。 18.【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积 a°=1(a≠0)： 相加，就可得到与其相等的十进制数.规定： (1302),=1×53+3×52+0×5+2×5°=202：(110）2=1×2+1×22+0×2+1×2°=13 如： 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以n,直到商为0，将所得 的余数按倒序从低位到高位排序即可.例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法.即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数 即可得到二进制数，简称除二取余法.同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法 余数 余数 46÷2=23…0 低位 532÷8=66◆●●●4 低位 23÷2=11●1 66÷8=8●●●●2 11÷2=5 ●eeee。1 8÷8=1 ●eee0e0 5÷2=2 ●●●e●01 1÷8=0 高位 高位 2÷2=1…0 1÷2=0…1 46=(101110)2 532=(1024)8 【类比应用】 (1)十进制数36改写成二进制数是多少？ (2)类比二进制数的算法，试求八进制数3749所表示的十进制数： 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇 3-x 数时，破解公式为2，当x为偶数时，破解公式为2x+5·按上述规定，请将二进制明码“101101101” 译成密码， 19.密室闯关 小明一行人国庆假期去益智密室闯关，在最后的环节遇见了一个9颗亮红灯的密码箱（这9颗灯的材质完 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 全相同，如图1)，密码箱边上有一张解码规则说明 密码箱解码规则 ①每颗灯都能独立的切换为红 ④ ⑧ © 光或绿光： ②每次同时切换相同数量灯的 @ ⑥ 颜色（即由红光切换为绿光， © ① ① 或由绿光切换为红光)，可多 次操作； ③当9颗灯都亮绿光时，解码 成功！ 图1 图2 【数学抽象】聪明的小伙伴们打算用数学知识解决问题，他们记每次同时切换m颗灯的颜色，9颗灯分别 记为A,B,C,D,E,F,G,H,I(如图2)，探究得出可以用“+1”和“-1”分别表示一颗 灯“亮红光”和“亮绿光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的日标是将乘积从(+ヅ变为 9 【初步探究】 (1)当m=3时，最少经过 次操作后，所有的灯都能亮绿光： (2)当m=4时，经过一次操作后，有4颗灯切换颜色，可以用算式+×少=表示，因为（少， 所以经过一次操作后不能使所有的灯都亮绿光，因此解码失败；如果经过两次操作，能否使所有的灯都亮 绿光？请仿照上述说理过程，列出算式说明； (3)当m=4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮绿光？若能，最少需要几次操作？若不能，请说 明理由； 【深入思考】 (4)当m=5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮绿光.小明他们判断出了最少的操作次数，并写 出了第一次的操作过程：“第一次：切换A,B,C,D,E的颜色”，请参照小明的书写格式、写全他 们剩下的操作步骤， 20.曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明.他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称 得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重，曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题 12/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量.转变就是化归的实质，化归不仅是 一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.从字面上看，化归就 是转化和归结的意思.例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法 就化归为己经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正 负数的乘法了. 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 111 数学问题，计算g+g+g++g(其中n是正整数，且n≥2，). 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方 形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究 1111 探究一：计算2+2+2++ 2"· 1 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为2： 11 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为22： 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…： 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 1,11 1 1 22+2++ ,最后空白部分的面积是2”. 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第4次分割 个y 2 2 2 2 1 23 1 23 22 22 1 2” 2 111 1 根据第”次分割图可得等式：22+2+ 2分1 2 111 1 探究二：计算3+++ 3n· 13/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为3； 22 第2次分制，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为3+子： 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…， 222 2 第”次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为3+京+分++ 3n, 1 最后空白部分的面积是3， 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 2 2 2 2 3 3 3 3 2 33 33 32 2111 3力 3” 222 2 根据第”次分制图可得等式：3+子+分++ 11 3n, 111111 两边同除2，得3子++…+ 3n22×3n, 111 1 探究三：计算4+4尔+4年++ 4”· (仿照上述方法，在图①中只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 第n次分割 第n次分割 图① 图② 1,1,1 解决问题.计算9十g+g+…+g. (在图②中只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空). 14/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据第n次分割图可得等式： 1.11 1 (2)所以，9+g2+g+…+。 十 十 9” 9-1,92-1,93-1, 9"-1 (3)拓广应用：计算9+9+9 +…+ 知识点五 含乘方有理数的混合运算的应用 21.综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 2÷22(3列(-3列(-3列(-3)等，类比有理数的乘方，我们充2*2÷2写作2，读作“2的圈3次方”， (3列*(3到(-3)：(-3)写作(3)°，读作(3到的图4次方” 一般地宁a÷a÷÷ga0写作a,读作“a的圜”次方”. n个a (1)【初步探究】直接写出计算结果：2®= 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理 数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算. 除方 20 =2÷2÷2÷2=2× 1、1、1 乘方 222 形式 (②)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：(-3)= 22.【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2， 15/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （-3)*(-3)*(3列(-3到等，类比有理数的乘方，我们3)*(-3列*(-3列*(-3列写作（3)，读作（3)的圈 a÷a÷a÷…÷a 4次方”，一般地把个a (a≠0)写作。D,读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 0直接写出计算结果：2°=（-3)°= (2)下列关于除方说法中，不正确的是()· A.任何非零数的圈2次方都等于1； B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数： c.(-2)>(4) D.1和-l的圈n次方都等于它本身. (3)算一算： 2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) 23.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2读作2的3次商”，（3列(3)*(3列+-3)记作(-3， 读作“-3的4次商”，一般地，把n个(a≠0 记作”读作“a的n次商”. 【初步探究】 0直接写出计算结果：2，= （-3)4= (2)关于除方，下列说法错误的是一： ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数， ()。=-1,③3=4。④负数的奇数次商结果是 :③ 负数，负数的偶数次商结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 111 2 例如： 24=2÷2÷2÷2=2××X 222 2: (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式。 16/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 来3+好 24.背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制. 即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.在十进制中，使用09十个数字进行记 数，基数是10.如十进制数3721表示为： 3×103+7×102+2×10+1×10°（规定当a≠0时，a°=1）. 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为3245)。 任务一：六进制数与十进制数的转换 (1) (204)转化为十进制数为 (2)7转化为六进制数为 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 1×1=1, 1×2=2,2×2=4, 1×3=3,2×3=10,3×3=13, 1×4=4,2×4=12,3×4=20,4×4=24, 1×5=5,2×5=14,3×5=23,4×5=32,5×5=41. 根据乘法表，计算： 1)（152.12.:2)13÷(3) 任务三：探究六进制数的整除规律 设”位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为： ap0,a4（其中9 an≠0，n≥2 ).试 17/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 探究该”位六进制数能被 6整除所要满足的条件，并说明理由， 25.综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制， 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标 明基数，十进制数一般不标注基数， 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了 下面的式子（规定当a≠0时，a°=1）： 3721=3×103+7×102+2×10+1×10° 1011)2 例如，二进制数 转换为十进制数为：1x2°+0×2+1x2+1x2°=1 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式 如图： 2 25 余数 低位 2 州 12 2 6 0 2 3 0 21 0 1 高位 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可 25=(110012. 此方法可推广为把十进制数转换为k进制 数的算法（除k取余法）· 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 (1)十进制数13对应的二进制数为 【任务二】 (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用.十二进制使用0,1,2,3， 4,5,6,7,8,9,X,Y来记数，其中X代表10，Y代表11.请结合以上材料计算十进制数982对应的十 二进制数为一· 【任务三】 (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时， 18/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3- 破解公式为2，当x为偶数时，破解公式为2x+3·试破解二进制明码(101101101，表示的密码. 知识点六 整式的加减运算 26.“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的 过程，请仔细阅读，并解答问题， 【知识背景】 当a>0时，a=a:当a=0时，4=0，当a<0时，4=-0. a b ()已知a,b是有理数，当a=-2,b=3时，求回b的值； a b (2)已知ab<0,求ab的值： 【类比探究】 (3)已知m= 3b+d 2atd la+b a b 且a+b+c=0:求m的最小值. 27.有这样一类题：代数式ax-y+2+3x-5y的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x,y 看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式 =(k+3)x-6y+2 所以k+3=0,即k=-3 B S S2 图1 图2 (1)若关于x的多项式3mx+2m2-m-4x+1的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形 19/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S2 4BCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为8，左下角的面积为”，一 当AB S1-S2 的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 28.定义一种新运算，观察下列各式： 1⑧3=1×5+3=8： 3⑧(-1)=3×5-1=14 6⑧5=6×5+5=35： 4⑧(-3)=4×5-3=17 (1)用代数式表示a⑧b的结果为_： (2)若a≠b,则a⑧bb⑧a(填“=”或“+”)： 3)若m-3)®(4+10x)】 (m-2)⑧(2m+3) 的值与x无关，求 的值 29.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式r-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”. 通常的解题方法是：把x,y看作字母，α看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0，即原式(a+3)r6y+5 ，所以a+3=0,则a=-3 【理解应用】 A=2x2+5xy-7y-3B=x2-xy+2 已知代数式 4A-(3A+2B) (1)化简： (2)若A-2B的值与y的取值无关，求x的值. 【能力提升】 (3)有7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大 长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴 20/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 影都面积为，周长为，设B=× ①当*=10 S+S2 时，求 ②当AB的长变化时，下列代数式值不变的是( A.8+8B.G+Cc.8-8D.G-C S S2 D 图1 图2 30.综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 20 20 ⑦ ⑧ 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 (只填写序号). 【制作纸盒】 (②)综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子.如图⑦，先在纸板 四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子.如 图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3Cm的小正方形和两个同样大小的小长方形.再沿虚线折合 21/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 起来，可制作一个有盖的长方体形盒子.则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍. 【拓展探究】 (3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5,2,15，将它的表面沿某些棱剪开.展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开 条棱： ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长 为 知识点七 探索与表达规律 1 1111111 =1 31.观察下列各式：1x2-2,2×323,3x434,… (1)请根据以上式子填空： 1 ①8x9- ②n(n+1) (n是正整数) 11111 1 (②由以上几个式子及你所找到的规律计算：2+6+12+20+30 9900· 1 1 1 1 (3)计算：2×44×6'6×8 十十 2024×2026 32.在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题-1+2-3+4.-2017+2018的计算思路为：将两个 加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为+1009.根据这个思路学生改编了下列问 题： (1)计算： ①1-2+3-4++2023-2024=_： ②1-3+5-7+.+2025-2027=- (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向左爬行1个单位，第二次向左爬行2个单位，第三次向右爬行3个单 位，第四次向右爬行4个单位，第五次向左爬行5个单位，第六次向左爬行6个单位，第七次向右爬行7 个单位…按照这个规律，第2026次爬行后蚂蚁在数轴上对应的数是什么？ 33.完成以下小题 22/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (n-1)×n 3×4 4×5 1×2 2×3 B 3 4 5 图1 图2 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示， 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为： 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5, AB .这样，图1中所有空白部分的面积之和为一，粗线 上方 阴影部分面积是空白部分面积的倍：像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为 (2)【解决问题】如图2，粗线AB上方的阴影图形和空白图形的面积和为一·（结果用含的代数式表 示)·根据图2中粗线AB上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：+2+32++n2. (结果用含n的代数式表示) 1×2+2×3+…+2025×2026 3)【拓展应用】根据以上发现，计算：P+22+32++2026 34.《庄子天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半， 永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想 研究下列问题.“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想 解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； ++=1- 248-2 1+++=1- 24816 11,1,1,, 猜想：2+48+16 … 21 (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充 完整. 23126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 12 1 1 1 4 4 4 16 设四好6 1 +.+ 2 即2S=2 1 2+2×4+2 2x 1 16 +…+2 2 化0阳25=1时安右 1 ++2 ②-①得： 2s-s6)64+ 即S= (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法. 111 1 ①计算2可+2亚+2西++2的值. 2.2.2..2 ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：3++++3，（只选一种解法，若 选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形) 35.观察下列等式：1×2 -1-11=11111 1 1-2,2×323,3×434, 将以上三个等式两边分别相加得：1×22×33×422334 113 44· 24/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1.11 1 一十 归纳猜想计算： 1×22x33x4n(n+)） 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 1 1 ①把6拆成两个分子为1的真分数之差，即6=一： 2 2 2 ②1x2+2×33×4 9×10 ②深入探究：定义“◆“是一种新的运算，若2=)3=+5+.◆4=++1+1 26,261220,4 20304256 1 则3◆9计算的结果是 (3)拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k,记2个数的和为；第二次将 1 两个半圆都分成4圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两数和的2，记4个数的和为42；第三次将四个 1 1 4圆分成8圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的3，记8个数的和为4，：第四次将八个8 1 1 圆分成16圆，在新产生的分点标上相邻的己标的两个数的和的4，记16个数的和为a,:…如此进行了n 次. ①a”= (用含k、n的代数式表示)； 111 ②若a,=420,水云+云十2+…+。的值。 25/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26/26 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新人教版七年级，7种类型35道） 范围：第一章—第四章 知识点一 绝对值的几何意义 1．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：， ∴3和5关于2的“美好关联数”为4． （2） ∵x和1关于0的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得：或． （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值1． ②由题意可知：， 同理可得：的最小值； ， 同理可得：的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； ∴的最小值： ． 2．数轴上表示2和5的两点之间的距离可以表示为；数轴上表示3和的两点之间的距离可以表示为． (1)请尝试在草稿纸上继续举例后，归纳结论： 数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为__________； (2)应用（1）中归纳的结论解决下列问题： ①如果，则的值为__________； ②代数式的最小值为__________； (3)将数轴上的点（表示数）向左移动个单位长度（是正数），再向右移动2个单位长度，最终到达点．求两点之间的距离．（结果用含的代数式表示，不含绝对值符号） 【答案】(1) (2)①1或；②7 (3)当等于2或小于2的正数时，两点间的距离是；当是大于2时，两点间的距离是 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据数轴两点距离，结合绝对值的几何意义可进行求解； （2）①根据数轴两点距离，结合绝对值的意义可进行求解； ②根据数轴两点距离，结合绝对值的意义可进行求解； （3）先表示点B对应的数，根据数轴上两点的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和6的两点之间的距离可以表示为； 数轴上表示3和的两点之间的距离可以表示为． 数轴上表示2和1的两点之间的距离是， 故数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为， 故答案为： （2）解：①表示数轴上表示与的两点之间的距离， 若，则的值为或， 故答案为：1或； ②表示数轴上表示的点与表示和2的两点的距离的和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，代数式取得最小值，最小值是， 故答案为：7； （3）解：点向左移动个单位长度，再向右移动2个单位长度，到达点．则终点表示的数是． 所以两点间的距离可含的代数式表示为： ． 当等于2或小于2的正数时，两点间的距离是； 当是大于2时，两点间的距离是． 3．材料阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，表示A、B两点之间的距离，如：表示数轴上1与2两点之间的距离，所以数轴上1与2两点之间的距离是，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到1和所对应的两点距离之和为5，则所有符合条件的x是 ． (4)若点P表示的数为x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值是多少？ 【答案】(1)3 (2)，或 (3)或 (4)有最小值，最小值为4 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离的求法计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离意义表示，再去绝对值求解； （3）根据绝对值的几何意义，分三种情况，化简绝对值，计算即可； （4）根据绝对值的几何意义，分三种情况，化简绝对值，可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：3． （2）数轴上表示和的两点A和B之间的距离是； 如果， 则， 解得：或； 故答案为：，或． （3）∵， ∴当时，，解得， 当时，，故此时不存在x所对应的点到1和所对应的两点距离之和为5， 当时，，解得， 故符合条件的x是或． 故答案为：或． （4）表示数轴上有理数所对应的点到1和所对应的两点距离之和 当时，； 当时，； 当时，； ∴当点P在表示1和的点之间连接的线段上时，有最小值4． 4．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，c的值，______，______，______； (2)设动点M在数轴上对应的数为x ①若，则______； ②若，则______； (3)动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动．当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．设点Q运动时间为t秒，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①5或15；②或 (3)在点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间的距离为4 【分析】本题考查数轴的应用、绝对值的性质与方程求解、动点问题，掌握绝对值的几何意义，用含的式子表示动点位置是解题关键． （1）利用“绝对值、平方数均为非负数，若和为 0则每一项都为0”，求a，b，c的值． （2）根据绝对值的性质，分类讨论去掉绝对值号，然后解方程． （3）用含t的式子表示动点位置，再根据“距离为4”分情况列方程求解． 【详解】（1）解：，且，，， 可得， 解得． 答：；；． （2）①解：若， 根据绝对值的定义，可得或， 解得：或． 答：或． ②解：若, 当，可得，解得（满足）； 当，可得，无解； 当，可得，解得（满足）． 综上，或． 答：或． （3）解：根据题意得，点P的运动路程为，点Q的运动路程为， 可能出现的情况有4种，故分类讨论． ①当Q在P左侧时， 可得， 解得； ②当Q追上P后在P右侧时， 可得， 解得； ③当Q到达C后，返回过程中位于P右侧时， 可知P、Q两点的路程之和加4为、两点距离的2倍， 可得， 解得； ④当Q到达C后，返回过程中位于P左侧时， 可知P、Q两点的路程之和减去4为、两点距离的2倍， 可得， 解得． 综上所述，的可能取值为、、、． 答：在点Q开始运动后第秒或秒或秒或秒时，P、Q两点之间的距离为4． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 知识点二 有理数加减的应用 6．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 7．综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲．某风景区在黄金周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化/万人 a (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平． ①________； ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．若在此风景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 【答案】(1)人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人 (2)①；②“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是5360万元 【分析】（1）设9月28日的旅客人数为b万人，且，再表示出每一天的游客人数，问题随之得解； （2）①根据（1）中的代数式，结合若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平，可得，问题得解；②根据，，可得出每一天的旅游人数，问题随之得解． 【详解】（1）解：设9月28日的旅客人数为b万人，且， 则9月29日的旅客人数为：人， 9月30日的旅客人数为：万人， 10月1日的旅客人数为：万人， 10月2日的旅客人数为：万人， 10月3日的旅客人数为：万人， 10月4日的旅客人数为：万人， 10月5日的旅客人数为：万人， 10月6日的旅客人数为：万人， ∵，（万人）， ∴人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人； （2）解：①在（1）中有：设9月28日的旅客人数为b万人，10月6日的旅客人数为：人， ∵若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平， ∴， ∴， ②∵，， ∴则9月29日的旅客人数为：人，9月30日的旅客人数为：万人，10月1日的旅客人数为：万人，10月2日的旅客人数为：万人，10月3日的旅客人数为：万人，10月4日的旅客人数为：万人，10月5日的旅客人数为：万人，10月6日的旅客人数为：万人， ∴八天总的游客人数为：（万人）， 即总消费为：（万元）， 答：8天假期所有游客的总消费是5360万元． 【点睛】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 8．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局的部分情况如下表所示． 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是_____，白棋在数轴上的位置所对应的数是_____； (2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是谁？请说明理由． (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是什么？ 【答案】(1)，4 (2)第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． (3)石头或剪刀 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数、数轴上动点问题，有理数的加减的应用等知识点，理解题意、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可解答； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）由（2）可得第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6；然后分甲赢、乙赢、平局三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和4． 故答案为：，4． （2）解：∵第一局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵第二局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． （3）解：由（2）可得，第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度， ①若甲赢（甲出布，乙出石头），则黑棋表示的数2，白棋表示的数7，则，符合题意；即乙出石头； ②若乙赢（甲出布，乙出剪刀），则黑棋表示的数，白棋表示的数4，则，符合题意；即乙出剪刀； ③若平局（甲出布，乙出布），则黑棋表示的数1，白棋表示的数5，则，不符合题意． 综上，乙第四局的手势是石头或剪刀． 10．一名快递员从快递站点出发，派送四个包裹，路线如下： 先向北行驶6千米到客户A家； 然后向南行驶9千米到客户B家； 接着向北行驶4千米到客户C家； 再向北行驶千米到客户D家； 最后返回快递站点0． （规定向北为正方向，单位长度1千米，电动车每千米耗电度．） 【问题1】画出数轴，并在数轴上标出0，A，B，C，D的位置，并写出它们对应的数． 【问题2】在派送过程中，快递员离站点最远是___________千米，此时离客户B家有___________， 【问题3】出发时电量满格（度电），全程能否不充电完成？计算总耗电量． 【探究一】如果出发时电量只剩度，按原路线派送，他最远能派送完前几家客户就必须返回？（回程走直线） 【探究二】如果快递员可以自由安排拜访A，B，C，D四个客户的顺序（从0出发最后回到0），但每个客户必须去一次，能否在只剩度电的情况下完成全部派送？如能，请给出一种顺序及总路程；如不能，请说明理由． 【答案】【问题1】， 【问题2】6，9 【问题3】能不充电完成，总耗电量度 【探究一】最远能派送前三家就必须返回 【探究二】能，顺序是，总路程为 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． 【问题1】根据题意可确定各点对应的数据，在数轴上标出即可； 【问题2】由数轴可知，离站点最远是A点距离，此时离客户B家； 【问题3】先计算出总路程，可求得总耗电量，可知总耗电量小于度，则答案可求； 【探究一】由【问题3】可知，送完全部4家再返回电量不够，计算度电最远可走的距离，与送完前三家就返回的路程比较即可； 【探究二】选取一种总路程尽量小的派送方式，沿数轴从左至右依次派送，即，通过计算可得度电能够派送完所有客户． 【详解】解：【问题1】 由题意知： ，，，，， 则； 【问题2】 由数轴可知，离站点最远是A点，距离站点， 此时离客户B家， 故答案为：6，9； 【问题3】 ， ， ， ， ， 总路程：， 耗电：度， ∵， ∴ 能不充电完成，总耗电量度； 【探究一】由【问题3】可知，送完全部4家再返回需度电，故度电不能送完全程， 度电可行驶路程：， 送完前三家就返回的总路程为：， ∵， ∴最远能派送 A、B、C 三家就必须返回； 【探究二】 沿以下路线派送：， 总路程：， 耗电：度 ， ∴存在顺序可以完成全部派送，，总路程． 知识点三 数轴上的动点问题 11．如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 12．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为：秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为：秒， ∴， ∴P表示的数为：． 13．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______； (2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动： ①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______； ②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，2； (2) ∵， ∴当时，； 当时，． (3)①点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，；②不变，6 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键： （1）根据点的移动规则，求出，折叠求出点表示的数即可； （2）分两种情况，根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）①根据点的移动规则，求出点表示的数即可；②先求出，进而求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为； （2）略 （3）①； 故点在原点左侧，距离原点34个单位长度的位置，表示的数为； ②不变，理由如下： 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； 故的值不随着时间t的变化而变化． 14．如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) A、B、C三点的位置如图所示： ； (2)不变，值为11 【分析】本题考查了数轴上点的运动，整式加减的应用等知识﹒ （1）先根据题意得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再在数轴上表示即可； （2）①根据题意即可得到两点间的距离； ②根据三个点的运动方向和速度，结合数轴特点即可求解； （3）先根据②结论求出，，进而求出，从而得到在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 【详解】（1）解：由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． （2）解：①两点间的距离﹒ 故答案为：3； ②由题意得t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为﹒ 故答案为：，，； ③因为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 所以， ， 所以， 所以在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 15．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②5或 (2)①2；②；12； (3)其值不随时间变化，恒为2 【分析】本题考查绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及动点问题，解题的关键是利用＂绝对值表示数轴上两点距离＂的几何意义，结合数轴分析最值或动点的距离变化． （1）①根据绝对值的几何意义求两点距离； ②结合距离列方程求； （2）①利用绝对值的几何意义，分析点在线段上时的距离和最小值； ②利用绝对值的几何意义，求解工作流水线的最短路径问题； （3）表示出动点运动秒后的位置，计算和的长度，再求差值判断是否变化． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点距离，根据绝对值的几何意义，为， ②若，则，解得或，即或， 故答案为：①；②5或； （2）解：①代数式的几何意义是数轴上点到0、1、2的距离之和． 当时，距离和为，此时和最小． 故答案为：2； ②5个工作台、、、、依次间隔2米，相当于数轴上的点，最短路径是将配件箱放在中间位置（即处）． 最短路程为：到的距离到的距离到的距离到的距离米． 故答案为：，12； （3）解：秒后，点的位置：，点的位置：，点的位置：， ， ， 因此， 其值不随时间变化，恒为2． 知识点四 乘方的应用 16．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称为“平方减数”，并把分解成的过程，称为“平方减数分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解成的过程就是“平方减数分解”． (1)下列正整数中，“平方减数”的是______；（填写序号） ①600    ②604    ③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是______，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为______； (3)把一个“平方减数”进行“平方减数分解”，即，若将放在的左边组成一个新的四位数，恰好能被9整除，且是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数． 【答案】(1)② (2)， (3) 【分析】本题考查了新定义运算． （1）由得到，，，进而根据“平方减数”的定义判断即可； （2）由最小的“平方减数”可知，进而根据“平方减数”及“平方减数分解”作答即可； （3）设(t为十位，u为个位，），，则，由能被9整除得到能被9整除，可得，此时，，根据是一个正整数的平方，求出，可得，，根据计算即可． 【详解】（1）解：， ①，十位数字相同，个位数字之和不为6，不是“平方减数”； ②，十位数字相同，个位数字之和为6，是“平方减数”； ③，十位数字不相同，不是“平方减数”； 故答案为：②； （2）解：∵是最小的“平方减数”， ∴， ∴， ∵与的十位数字相同，个位数字之和为6， ∴， 即， ∴最小的“平方减数”是，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为； 故答案为：，； （3）解：设(t为十位，u为个位，），， ∵将放在的左边组成一个新的四位数， ∴ ∵能被9整除， ∴能被9整除， 当时，（不是整数，舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， ∴， 此时，， ∵是一个正整数的平方， ∴， ∴， ∴，， ∴． 17．综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______； (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），然后相加． 例如：.（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算） ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出的结果． 【答案】(1)；，； (2)①；②12； (3)198 【分析】（1）根据阳爻对应1、阴爻对应0的规则，结合二进制数的高位到低位顺序，分析卦象的爻组合得到二进制数； （2）①直接对两个二进制数进行加法运算； ②利用位权展开法，将二进制数的每一位乘以2的对应次方后相加，转换为十进制数． （3）分别将五进制和八进制数通过位权展开法转换为十进制数，再进行加法运算得到最终结果． 【详解】（1）解：左起第二个卦象为上阳爻、中阳爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第三个卦象为上阳爻、中阴爻、下阴爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第四个卦象为上阳爻、中阴爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 故答案为：；，； （2）解：①， 故答案为：； ②； （3）解：先将三进制数转十进制： ， 再将四进制数转十进制： ， 最后相加：． 18．【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 19．密室闯关 小明一行人国庆假期去益智密室闯关，在最后的环节遇见了一个9颗亮红灯的密码箱（这9颗灯的材质完全相同，如图1），密码箱边上有一张解码规则说明 【数学抽象】聪明的小伙伴们打算用数学知识解决问题，他们记每次同时切换颗灯的颜色，9颗灯分别记为，，，，，，，，（如图2），探究得出可以用“”和“”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮绿光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从变为． 【初步探究】 （1）当时，最少经过___________次操作后，所有的灯都能亮绿光； （2）当时，经过一次操作后，有4颗灯切换颜色，可以用算式表示，因为，所以经过一次操作后不能使所有的灯都亮绿光，因此解码失败；如果经过两次操作，能否使所有的灯都亮绿光？请仿照上述说理过程，列出算式说明； （3）当时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮绿光？若能，最少需要几次操作？若不能，请说明理由； 【深入思考】 （4）当时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮绿光．小明他们判断出了最少的操作次数，并写出了第一次的操作过程：“第一次：切换，，，，的颜色”，请参照小明的书写格式、写全他们剩下的操作步骤． 【答案】（1）3； （2）不能，理由如下， 列式为：； （3）经过多次操作后，不能使所有的灯都亮绿光，理由如下： 当时，每次操作的变化是，无论操作多少次，结果都是， ∴当时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮绿光； （4）最少为3次，第二次：切换C，D，E，F，G的颜色，第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题意． （1）由于有9颗灯，每次同时切换颗灯的颜色，则至少需要3次操作； （2）通过列式即可说理； （3）当时，每次操作的变化是，那么无论操作多少次，结果都是，故不能； （4）根据题意即可列出剩余的操作步骤． 【详解】解：（1）∵有9颗灯，每次同时切换颗灯的颜色， ∴至少经过次操作后，所有的灯都能亮绿光， 故答案为：3； （2）略 （3）略 （4）当时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮绿光，具体步骤如下： 第一次：切换A，B，C，D，E的颜色； 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色； 第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． ∴剩下的操作步骤： 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色，第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 20．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三： 第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1）；（2）； （3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：略 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 知识点五 含乘方有理数的混合运算的应用 21．综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 22．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 24．背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三： 所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 【分析】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键． 任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解； 任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解； 任务三：按六进制数的特征即可求解． 【详解】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：略 25．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【答案】（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为181． 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于365是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为181． 知识点六 整式的加减运算 26．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）将、的取值代入式子，结合绝对值的性质计算； （2）由得异号，分两种情况讨论计算； （3）先利用化简的表达式，再根据的符号分类讨论，比较各情况的值得最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴异号． 当，时，，， ∴． 当，时，，， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：由题意得，，． ∵， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴不可能全正或全负，只能为两正一负或一正两负． ①两正一负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ②一正两负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ∵， ∴的最小值为． 27．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 28．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 29．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 30．综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有_________________________（只填写序号）． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形．再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的_______________倍． 【拓展探究】 (3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开．展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开__________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长为__________． 【答案】(1)①⑤⑥ (2) (3)①；② 【分析】（1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可解答； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； （3）①只要沿着一条侧棱和下底的三条棱剪开即可； ②根据长方体形盒子的长宽高求得其表面展开图的外围周长的代数式，结合代数式的特点再进行计算． 【详解】（1）解：②正方体有个面，但图中却有个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，故③错误； ④正方体有个面，但图中却有个正方形，故④错误； ∴如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）解：方法1：如图⑦， 底边长为，高为， 无盖盒子的体积为：； 方法2：如图⑧， 有盖盒子的长：，宽为：，高为， 有盖盒子的体积为：， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍数为：（倍）； （3）解：①如图， ∵长方体共有条棱，展开后还有条棱没有剪开， ∴剪开了条棱； ②设长方体长为，宽为，高为， 则长方体形盒子展开图的周长为：， 想要周长最小，只需要最大，最小， 此时，，， 则最小周长为：． 知识点七 探索与表达规律 31．观察下列各式：，，，… (1)请根据以上式子填空： ①______； ②______；（n是正整数） (2)由以上几个式子及你所找到的规律计算：． (3)计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出等式模仿归纳直接得到裂项结果； （2）先将原式每一项写成的形式，使用裂项相消，中间项全部抵消，只保留首尾两项进行计算． （3）分母两因数差值为，先提取公因数，再裂项相消消去中间项，剩余首尾部分，通分约分得到最简答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 32． 在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为+1009．根据这个思路学生改编了下列问题： (1)计算： ① ； ② ． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向左爬行1个单位，第二次向左爬行2个单位，第三次向右爬行3个单位，第四次向右爬行4个单位，第五次向左爬行5个单位，第六次向左爬行6个单位，第七次向右爬行7个单位…按照这个规律，第2026次爬行后蚂蚁在数轴上对应的数是什么？ 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）①由每两个数为一组、其和为，共1012组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为，共507组，据此求解可得； （2）剩余两次是2025、2026次，对应周期前两步向左，即，那么第2026次爬行后蚂蚁在数轴上的位置可列式为：，即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意得，，…… ∴剩余两次是2025、2026次，对应周期前两步向左，即 ∴第2026次爬行后蚂蚁在数轴上的位置可列式为： ． 33．完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 【答案】(1)；； (2)； . (3) 【分析】（1）结合图形面积公式直接计算即可； （2）先求解，利用面积差与规律进行计算即可； （3）先推导，进一步计算即可. 【详解】（1）解：图1中所有空白部分的面积之和为： ， 粗线上方阴影部分面积是： ； ∴粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的倍； 如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为： ； （2）解：∵， ∴粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为： ； （3）解：由（2）得：粗线上方的阴影图形面积为： ， ∴， ∴ . 34．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 35．观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：． 归纳猜想计算：______；______． 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 ①把拆成两个分子为1的真分数之差，即______； ②______； (2)深入探究：定义“◆”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_____． (3)拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两数和的，记4个数的和为；第三次将四个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记个数的和为；……如此进行了次． ①=__________（用含k、n的代数式表示）； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】归纳猜想：， ； （1）按照猜想归纳的结果计算即可； （2）寻找等号左边与右边的联系，，共有两项相加，分母是连续整数的乘积，，共有三项相加，首项分母是，，共有四项相加，首项分母是，根据这个规律可知，； （3）根据题意得到，，，，探索规律求出，求出k的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：①，，，， ，，，， 由此归纳可知：， ②， ， ， 是质数， ， 解得：， 将代入得， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $