第7讲 因式分 讲义 -2026-2027 学年人教版八年级上册数学

第7讲 因式分解 题型一：判断是否为因式分解 3 题型二：公因式 4 题型三：提公因式法因式分解 4 题型四：提公因式法的巧妙求值 5 题型五：判断是否能用公式法因式分解 6 题型六：运用平方差公式因式分解 6 题型七：运用完全平方公式因式分解 7 题型八：综合运行公式法因式分解 7 题型九：分组法因式分解 8 题型十：十字相乘法因式分解 9 题型十一：因式分解在化简求值的应用 10 题型十二：因式分解的应用 11 知识点1：因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆的两种变形：整式乘法是把几个整式相乘展开成多项式，因式分解是把多项式拆回几个整式的积。 因式分解必须满足三个要点： 要点 说明 对象是多项式 只能对“多项式（整式）”进行分解，单项式本身无需分解 结果是整式的积 必须写成几个整式相乘的形式，不能含有加减项 分解要彻底 每个因式都必须不能再分解为止，即“分解彻底” 知识点2：提公因式法 公因式：多项式各项中都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定公因式的方法（三要素）： 要素 确定方法 示例（8a³b²−12ab³c） 系数 取各项系数的最大公约数 8 与 12 的最大公约数为 4 字母 取各项都含有的相同字母 都含 a、b 指数 取相同字母的最低次幂 a 取 a²，b 取 b² 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可把公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。即 pa+pb+pc=p(a+b+c)。提公因式的步骤：①确定公因式；②提取公因式，把多项式写成“公因式×另一因式”；③检查是否分解彻底。 知识点3：公式法：利用乘法公式的逆运算把多项式分解因式的方法叫做公式法。 1.平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)识别特征 说明 二项式 多项式恰好是两项 两项符号相反 一正一负，才能用平方差 都能写成平方形式 把两项分别写成某式的平方，如 4x²=(2x)²、9y²=(3y)² 2. 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²形如 a²±2ab+b² 的式子叫做完全平方式，即“两数平方和±两数积的 2 倍”。识别特征 说明 三项式 多项式恰好是三项 首尾两项是平方且同号 两项都是某式的平方，符号相同（均为正或均为负的平方） 中间项是两数积的 2 倍 中间项 = 2×(首项底数)×(尾项底数)，符号决定取“+”还是“−” 3.两公式对比：公式 适用多项式的形状 结果 关键判断 平方差 a²−b² 两项、符号相反、都能写成平方 (a+b)(a−b) 两项 → 找两平方 → 同号相加、异号相减 完全平方 a²±2ab+b² 三项、首尾是平方且同号、中间是积的 2 倍 (a±b)² 三项 → 验中间项 = 2ab → 符号随中间项 知识点4：十字相乘法（拓展） 当二次三项式的二次项系数为 1，且常数项能拆成两个数之积、这两个数之和等于一次项系数时，可用十字相乘法。公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)口诀：“拆常数项，凑一次项系数”。即把常数项 pq 拆成 p 与 q，检验 p+q 是否等于一次项系数。 【例题】分解因式：x²−7x+12【解析】常数项 12 拆成 (−3)×(−4)，且 (−3)+(−4)=−7 恰好等于一次项系数。原式 = (x−3)(x−4)。 知识点五：因式分解的一般步骤（口诀“一提、二套、三查”） 步骤 做法 示例（3x³−12x） 一提 若有公因式，先提公因式 3x³−12x = 3x(x²−4) 二套 再判断能否套用平方差或完全平方公式 3x(x²−4) = 3x(x+2)(x−2) 三查 检查每个因式是否还能再分解、是否彻底 3x、(x+2)、(x−2) 均不能再分解，完成 提醒：先看公因式，再看公式，最后自查是否分解彻底，这是因式分解的通用顺序。 题型一：判断是否为因式分解 【例1】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型二：公因式 【例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【变式1】．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）多项式中各项的公因式是_____． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 题型三：提公因式法因式分解 【例3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·单元测试）用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型四：提公因式法的巧妙求值 【例4】．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 题型五：判断是否能用公式法因式分解 【例5】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022·山西晋中·模拟预测）下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型六：运用平方差公式因式分解 【例6】．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）因式分解：______． 【变式1】．（26-27九年级上·辽宁辽阳·开学考试）因式分解：________． 【变式2】．（2022·陕西西安·模拟预测）分解因式：______． 题型七：运用完全平方公式因式分解 【例7】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）因式分解：____________． 【变式1】．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）__ ． 【变式2】．（2026·山东威海·模拟预测）因式分解：________． 题型八：综合运行公式法因式分解 【例8】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（26-27八年级上·山东东营·阶段检测）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型九：分组法因式分解 【例9】．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 题型十：十字相乘法因式分解 【例10】．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【变式1】．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 题型十一：因式分解在化简求值的应用 【例11】．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【变式1】．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 题型十二：因式分解的应用 【例12】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【变式2】．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式． 【公式推导】 (1)请推导立方和公式：． 【公式应用】 (2)请利用上面的公式进行因式分解： ①； ②． 【拓展应用】 (3)已知，，求的值． 一、单选题 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·浙江台州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（     ） A．20 B．26 C． D． 二、填空题 9．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算：_________． 10．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）设是的三边长，且，则的形状是_________． 11．（26-27八年级上·全国·单元复习）阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 12．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值是________． 13．（26-27八年级上·山东·单元测试）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．的“优点”为，的“优点”为，若，且，则的值为______． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 三、解答题 15．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) (4) 16．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 18．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 19．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 (4)图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． (5)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 20．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 提取公因式法 题型一：判断是否为因式分解 3 题型二：公因式 4 题型三：提公因式法因式分解 5 题型四：提公因式法的巧妙求值 7 题型五：判断是否能用公式法因式分解 9 题型六：运用平方差公式因式分解 10 题型七：运用完全平方公式因式分解 11 题型八：综合运行公式法因式分解 11 题型九：分组法因式分解 12 题型十：十字相乘法因式分解 15 题型十一：因式分解在化简求值的应用 17 题型十二：因式分解的应用 18 知识点1：因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆的两种变形：整式乘法是把几个整式相乘展开成多项式，因式分解是把多项式拆回几个整式的积。 因式分解必须满足三个要点： 要点 说明 对象是多项式 只能对“多项式（整式）”进行分解，单项式本身无需分解 结果是整式的积 必须写成几个整式相乘的形式，不能含有加减项 分解要彻底 每个因式都必须不能再分解为止，即“分解彻底” 知识点2：提公因式法 公因式：多项式各项中都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定公因式的方法（三要素）： 要素 确定方法 示例（8a³b²−12ab³c） 系数 取各项系数的最大公约数 8 与 12 的最大公约数为 4 字母 取各项都含有的相同字母 都含 a、b 指数 取相同字母的最低次幂 a 取 a²，b 取 b² 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可把公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。即 pa+pb+pc=p(a+b+c)。提公因式的步骤：①确定公因式；②提取公因式，把多项式写成“公因式×另一因式”；③检查是否分解彻底。 知识点3：公式法：利用乘法公式的逆运算把多项式分解因式的方法叫做公式法。 1.平方差公式：a²−b²=(a+b)(a−b)识别特征 说明 二项式 多项式恰好是两项 两项符号相反 一正一负，才能用平方差 都能写成平方形式 把两项分别写成某式的平方，如 4x²=(2x)²、9y²=(3y)² 2. 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²形如 a²±2ab+b² 的式子叫做完全平方式，即“两数平方和±两数积的 2 倍”。识别特征 说明 三项式 多项式恰好是三项 首尾两项是平方且同号 两项都是某式的平方，符号相同（均为正或均为负的平方） 中间项是两数积的 2 倍 中间项 = 2×(首项底数)×(尾项底数)，符号决定取“+”还是“−” 3.两公式对比：公式 适用多项式的形状 结果 关键判断 平方差 a²−b² 两项、符号相反、都能写成平方 (a+b)(a−b) 两项 → 找两平方 → 同号相加、异号相减 完全平方 a²±2ab+b² 三项、首尾是平方且同号、中间是积的 2 倍 (a±b)² 三项 → 验中间项 = 2ab → 符号随中间项 知识点4：十字相乘法（拓展） 当二次三项式的二次项系数为 1，且常数项能拆成两个数之积、这两个数之和等于一次项系数时，可用十字相乘法。公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)口诀：“拆常数项，凑一次项系数”。即把常数项 pq 拆成 p 与 q，检验 p+q 是否等于一次项系数。 【例题】分解因式：x²−7x+12【解析】常数项 12 拆成 (−3)×(−4)，且 (−3)+(−4)=−7 恰好等于一次项系数。原式 = (x−3)(x−4)。 知识点五：因式分解的一般步骤（口诀“一提、二套、三查”） 步骤 做法 示例（3x³−12x） 一提 若有公因式，先提公因式 3x³−12x = 3x(x²−4) 二套 再判断能否套用平方差或完全平方公式 3x(x²−4) = 3x(x+2)(x−2) 三查 检查每个因式是否还能再分解、是否彻底 3x、(x+2)、(x−2) 均不能再分解，完成 提醒：先看公因式，再看公式，最后自查是否分解彻底，这是因式分解的通用顺序。 题型一：判断是否为因式分解 【例1】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、等式右边为和的形式，不属于因式分解； B、变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不属于因式分解； C、，符合因式分解的定义； D、等式右边为和的形式，不属于因式分解． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 【变式2】．（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； B、该变形不是恒等变形，且未把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D、该变形不属于将多项式转化为几个整式的积的形式，等式左边是整式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意． 题型二：公因式 【例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 【变式1】．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）多项式中各项的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，先求多项式各项系数的最大公约数，再找各项含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式的两项为和， 系数部分：5和10的最大公约数是5， 字母部分：两项都含有字母m和n，m的最低次幂是1，n的最低次幂是1， ∴公因式为． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 【答案】【详解】解：多项式的各项系数分别为，，，其最大公约数为，各项都含有的相同字母为，，其中的次数分别为，，，最低次数为，的次数分别为，，，最低次数为， 因此提取的公因式为． 题型三：提公因式法因式分解 【例3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式， ． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·单元测试）用提公因式法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四：提公因式法的巧妙求值 【例4】．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 【变式1】．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解，结果是； （3）解： …． 题型五：判断是否能用公式法因式分解 【例5】．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 【变式1】．（2022·山西晋中·模拟预测）下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 【变式2】．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 题型六：运用平方差公式因式分解 【例6】．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】．（26-27九年级上·辽宁辽阳·开学考试）因式分解：________． 【答案】 【详解】解： 【变式2】．（2022·陕西西安·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【详解】解： 题型七：运用完全平方公式因式分解 【例7】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）因式分解：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）__ ． 【答案】1 【详解】解：原式． 【变式2】．（2026·山东威海·模拟预测）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：原式 题型八：综合运行公式法因式分解 【例8】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】．（26-27八年级上·山东东营·阶段检测）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式. 题型九：分组法因式分解 【例9】．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）阅读下列分解因式的过程： ① ② 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知：，，求代数式的值； (3)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：. （2）解：∵，， ∴. (3)解：是等腰三角形；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 题型十：十字相乘法因式分解 【例10】．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 【变式1】．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 【变式2】．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【详解】（1）解：①；②； （2）解：； （3）解： ． 题型十一：因式分解在化简求值的应用 【例11】．（25-26八年级上·山东威海·期末）利用因式分解计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】．（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 题型十二：因式分解的应用 【例12】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非”，这段论述深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式为：_________________； 【拓展应用】 (2)将一张大长方形纸板按图中所示方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为__________． ②若阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白的面积为平方厘米 【详解】（1）解：根据题意可知正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵正方形面积等于个正方形和个长方形面积的和， ∴， ∴， ∴． （2）解：解：根据题意可知长方形的长为，宽为， ∴， ∴． 解：∵大长方形纸板的周长为厘米， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵空白部分面积为， ∴空白部分面积为（平方厘米）． 【变式1】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解． 如图（1）所示的边长为的大正方形是由1张边长为的正方形卡片A，1张边长为的正方形卡片B，2张邻边长分别为的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成或，从而验证． (1)如图（2），用1张正方形卡片A、2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为________________； (2)某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C、开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为________________； ②请你类比上述方法对多项式进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度． 【详解】（1）解：图形（2）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（2）可以验证多项式的因式分解为． （2）解：图形（3）的面积的表示方法：一、，二、， 图形（3）可以验证多项式的因式分解为． (2) ，画图表示如下： 【变式2】．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式． 【公式推导】 (1)请推导立方和公式：． 【公式应用】 (2)请利用上面的公式进行因式分解： ①； ②． 【拓展应用】 (3)已知，，求的值． 【详解】【答案】(1)解：，，， ． （2）解：① ． ② ． （3）解：， ． ． ． 一、单选题 1．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，左边是整式乘积，右边是多项式，不是因式分解． B． ，右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． C． ，与左边不相等，不是因式分解． D． ，左边是多项式，右边是整式乘积的形式且等式成立，是因式分解． 2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．错误，应为； B．右边不是积的形式，不是因式分解，错误； C．，正确； D．错误，应为． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式与添括号将代数式变形，然后把，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 4．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个因数凑成整百数与2的和差，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：． 5．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式换元后为． 6．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，，， 则， 由，， 可得， 故． 8．（25-26七年级下·浙江台州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（     ） A．20 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】解：先对多项式因式分解： ， ∵ ，得到的六位数密码为， ∴ 对应密码前两位，剩余两个因式的值为和． ∴ 得方程组或， 两式相减得或， ∴或， 检验：当时，，解得，符合为正整数的条件； 当时，，解得，符合为正整数的条件. 综上，． 二、填空题 9．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算：_________． 【答案】 【详解】解： 10．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）设是的三边长，且，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【详解】解：∵， ∴， ∴ 或 ∵是的三边长， ∴，即 ∴， ∴是等腰三角形． 11．（26-27八年级上·全国·单元复习）阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 【答案】 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 把看作整体，根据完全平方公式，可得原式． 12．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）已知，，，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， 对所求多项式变形得： 则原式． 13．（26-27八年级上·山东·单元测试）若一个正整数可以表示为，其中为大于3的正整数，则称为“优雅数”，为的“优点”．例如，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．的“优点”为，的“优点”为，若，且，则的值为______． 【答案】25 【详解】解：的“优点”为的“优点”为， ，， ∵， ∴， ∴，则 ， ∴，即． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）约定：对于正整数，若两个正整数，满足，称，是关于的“完美数组”，将这个“完美数组”记为．如： 关于的“完美数组”共有组，分别是，．关于的“完美数组”是________，已知关于正整数的“完美数组”为，其中的，满足，则关于正整数的“完美数组”的组数共有________组． 【答案】 【详解】解：根据“完美数组”定义，对于关于的完美数组，满足，，且，，均为正整数， 对等式因式分解得：， ∴ 或 ， ∵，，，均为正整数， ∴，不可能等于， ∴，整理得． 当时，则有，只有，符合条件， ∴关于的完美数组为； ∵关于正整数的“完美数组”为， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即， ∴，解得， ∵是正整数， ∴可取，共种取值，每种对应唯一符合条件的，因此共有组． 三、解答题 15．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 17．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解： ． (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 18．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由图可知长方形的宽为，长为， 长方形的面积为， 多项式分解因式为； （4）解：由图可知正方形的边长为， 正方形的面积为， ， ， 或， 图形的边长不能为负数， 舍去负值， ． 19．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【问题探究】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式进行因式分解．例如：由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的多项式的因式分解为______． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【知识迁移】 (4)图4中某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a、b均为整数，请分别求出a、b的长． (5)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图5表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请根据图5中图形的变化关系，写出一个数学公式______． 【答案】(1) (2)36 (3) (4) (5) 【详解】（1）解：大正方形边长为，整体面积为， 分割面积和为， ； （2）解：由(1)得：， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解：由图4，长方形长：，宽：， ， 为正整数，，且都是正整数，都是45的因数， ， ∴①， 解得（边长不能负，舍去） ②， 解得（边长不能负，舍去） ③， 解得，符合条件． 综上所述，； （5）解：原正方体体积：，挖去小长方体体积：，剩余体积， 重组后的新长方体：长，宽，高，体积， ． 20．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1)解： ； （2）解： ， ∵， ∴当时，， ∴由乘法运算法则可得或， 解方程得， 解方程得， ∴使成立的x的值为或； （3）解： ， ∵， ∴，当且仅当时取得等号， ∴当，，即时，原式取得最小值5． 2 学科网（北京）股份有限公司 $