第7讲·等腰三角形·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第7讲·等腰三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等腰三角形的性质定理 · 掌握等腰三角形的判定定理 · 理解三线合一的应用 · 掌握含30°角直角三角形性质 · 解决折叠与综合应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质 等腰三角形两底角相等（等边对等角） 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形 周长与边长分类讨论 概念辨析例题：等腰三角形一个角为70°，求另外两个角。 答案：70°和40°，或55°和55° 解析：70°若为顶角，底角=(180-70)/2=55°；若为底角，另一底角=70°，顶角=40°。需分类讨论。 ☆ 2.等腰三角形的判定 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 判定与性质互逆 常与全等三角形结合证明 注意与线段垂直平分线的判定结合 概念辨析例题：△ABC中∠B=∠C，求证AB=AC。 答案：见解析 解析：作AD⊥BC于D，由AAS证△ABD≌△ACD，得AB=AC。这是等角对等边的基本证明。 ☆ 3.含30°角的直角三角形 在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半 常用于求边长 常与等边三角形、折叠问题综合 需构造直角三角形使用 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8，则BC=？ 答案：4 解析：30°所对直角边BC=AB/2=4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形 有两边相等 等边对等角 三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 必须在等腰三角形中 判定 等角对等边 注意两角对应 30°直角三角形 30°对边=斜边一半 必须直角三角形 折叠 折痕是对称轴 对应边对应角相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质（等边对等角与三线合一）（第1-30题） · 作底边上的高用三线合一 · 分类讨论顶角/底角 · 内角和180°列方程 · 周长问题分类讨论腰与底 1．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（   ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的高所在的直线 D．腰上的高所在的直线 3．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）斗拱是中国古代建筑中特有的一种结构．斗拱由多个小木块组成，通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若顶角，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北孝感·模拟预测）如图，等腰三角形的底边在轴上，．将等腰三角形向下平移1个单位长度后，点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的中垂线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则_______． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，为顶角平分线，则________．    10．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段检测）等腰三角形的底角为，顶角的度数为___________． 11．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，，．若，则的度数为____________． 13．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为___________． 14．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则_____________°． 15．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是______． 17．（21-22九年级上·云南文山·期末）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 19．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，是的中线，．求证： ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由． (1)等腰三角形的底角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗？ (2)等腰三角形的顶角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗？ 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是．求的度数． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 23．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 24．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 25．（20-21八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 【考点2】等腰三角形的判定（等角对等边）（第31-40题） · 证两角相等得两边相等 · 结合全等三角形 · 注意线段垂直平分线 · 注意平行线中的等角 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 27．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（12-13八年级上·安徽·期末）把两个一样的直角三角板的角重合，其两对边交于点（如图），连接．下列说法错误的是（   ） A．整个图形是轴对称图形 B．周长大于 C．有对全等三角形（不添线） D． 29．（26-27八年级上·北京·课后作业）已知如图：在中，和的角平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E． (1)请问：之间的数量关系为 ； (2)若，求的周长为 ． 30．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 31．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为___________． 32．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是_____（填写正确的序号） 33．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 34．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O作，分别交，于点D，E．试猜想线段，，的数量关系，并说明你的猜想理由． 36．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，，是的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：是等腰三角形． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，在中，，BD平分，CD平分．过点D作，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有_______个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是_______． （2）如图②，若将（1）中“在中，”改为“若为不等边三角形”，其余条件不变，则图中共有_______个等腰三角形；试猜想EF与BE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想． 【考点3】含30°角直角三角形与折叠综合（第41-52题） · 30°对边=斜边一半 · 折叠前后对应边相等 · 作垂线构造直角三角形 · 结合坐标与轴对称 38．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 39．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 40．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 42．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，，垂足为D，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，于D，，下列结论正确的有（    ） ① ；② ；③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为________． 45．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 __________． 46．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，________． 47．（24-25七年级上·山东东营·期中）受2022年9月最强台风“梅花”的影响，某广场一棵大树在台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面所成夹角为，则这棵树在折断前的高度为_____米． 48．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为____________度． 49．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 50．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 51．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 52．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边对等角是性质 · 等角对等边是判定 · 三线合一知一得二 · 30°对边=斜边一半 · 折叠找对应边对应角 【作业1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【作业4】．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为___________． 【作业7】．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，，，则的长度为__________． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是_________． 【作业9】．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是_______． 【作业11】．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，是的中线，点E在边上，，则等于______． 【作业12】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【作业13】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【作业14】．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【作业15】．（25-26八年级上·广西柳州·期末）已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【作业16】．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【作业17】．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【作业18】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲·等腰三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等腰三角形的性质定理 · 掌握等腰三角形的判定定理 · 理解三线合一的应用 · 掌握含30°角直角三角形性质 · 解决折叠与综合应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质 等腰三角形两底角相等（等边对等角） 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形 周长与边长分类讨论 概念辨析例题：等腰三角形一个角为70°，求另外两个角。 答案：70°和40°，或55°和55° 解析：70°若为顶角，底角=(180-70)/2=55°；若为底角，另一底角=70°，顶角=40°。需分类讨论。 ☆ 2.等腰三角形的判定 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 判定与性质互逆 常与全等三角形结合证明 注意与线段垂直平分线的判定结合 概念辨析例题：△ABC中∠B=∠C，求证AB=AC。 答案：见解析 解析：作AD⊥BC于D，由AAS证△ABD≌△ACD，得AB=AC。这是等角对等边的基本证明。 ☆ 3.含30°角的直角三角形 在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半 常用于求边长 常与等边三角形、折叠问题综合 需构造直角三角形使用 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8，则BC=？ 答案：4 解析：30°所对直角边BC=AB/2=4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形 有两边相等 等边对等角 三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 必须在等腰三角形中 判定 等角对等边 注意两角对应 30°直角三角形 30°对边=斜边一半 必须直角三角形 折叠 折痕是对称轴 对应边对应角相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质（等边对等角与三线合一）（第1-30题） · 作底边上的高用三线合一 · 分类讨论顶角/底角 · 内角和180°列方程 · 周长问题分类讨论腰与底 1．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①角是顶角时，底角， 所以，其余两个角是； ②角是底角时，顶角， 所以，其余两个角是； 综上所述，其余两个角是或． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（   ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的高所在的直线 D．腰上的高所在的直线 【答案】C 【知识点】三线合一、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及轴对称图形的性质，根据等腰三角形据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的垂直平分线， 故选：C 3．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）斗拱是中国古代建筑中特有的一种结构．斗拱由多个小木块组成，通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若顶角，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为，先求出两底角和，再计算底角的度数．本题主要考查等腰三角形的性质（两底角相等）与三角形内角和定理（三角形内角和为 ），熟练运用这两个知识，通过“（内角和 顶角）”计算底角是解题关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，且（等腰三角形定义，两腰相等 ）， ∴（等腰三角形两底角相等 ）． 又∵，， ∴． ∵， ∴． 故选： ． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线，点分别在直线和上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等及平行线内错角相等的性质是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】此题考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 6．（2025·湖北孝感·模拟预测）如图，等腰三角形的底边在轴上，．将等腰三角形向下平移1个单位长度后，点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及点在坐标平面中的平移规律．解题关键是利用等腰三角形三线合一求出点坐标，再依据平移规律得出平移后对应点坐标． 用等腰三角形三线合一性质，根据、坐标求出点坐标：因为在垂直平分线上，设，由解得，即．根据点向下平移纵坐标减、横坐标不变的规律，将向下平移个单位，得到对应点坐标为． 【详解】解：∵是等腰三角形，，， ∴点到轴的距离就是点纵坐标的绝对值，在的垂直平分线上． ∵点坐标为，点横坐标为， 设点坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为． ∵将向下平移个单位长度， ∴平移后点对应点的横坐标还是，纵坐标为， ∴B的对应点的坐标是． 故选∶A． 7．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的中垂线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选D． 8．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，已知等腰三角形，，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则_______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和尺规作图，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，可得，再根据作图的步骤可知，从而可得，最后根据三角形外角的性质，计算即可求解． 【详解】解：根据题意，可知，则， 等腰三角形，，， ， ， , ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，为顶角平分线，则________．    【答案】 【知识点】三线合一 【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得答案． 【详解】解：∵，为顶角平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段检测）等腰三角形的底角为，顶角的度数为___________． 【答案】/36度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．已知给出了一个底角为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解答本题． 【详解】解：因为其底角为，所以其顶角为：． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在中，，．若，则的度数为____________． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了直角三角形相关的角度计算，熟练掌握相关计算是解题的关键； 根据等边对等角可得，则可得到的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得的度数． 【详解】解：在中， ∴ ∵， ∴ 则 在中， ∴ 则 故答案为： ． 13．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为___________． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，分与在斜边的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 当与在斜边的两侧时，， ， 当与在斜边的同侧时，， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则_____________°． 【答案】62 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 15．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ， ，是等腰三角形， 分情况讨论：①时，， ，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ； ③时，， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，的垂直平分线分别交和于点D和P，的垂直平分线分别交和于点E和Q，若，则的度数是______． 【答案】/115度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形内角和，等边对等角等知识，掌握线段垂直平分线的性质是关键；由线段垂直平分线的性质可得，进而有，由三角形外角的性质得，，再由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（21-22九年级上·云南文山·期末）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：． 【答案】 证明：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查等边对等角及角的和差计算，结合图形得出，，然后作差即可证明． 【详解】略 18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 19．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，是的中线，．求证： ． 【答案】 证明： 是中线，， 是角平分线，是高， 是直角三角形，， ， ， ． 【知识点】内错角相等两直线平行、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形性质，平行线判定．利用等腰三角形性质得到是角平分线，推出，即可证明． 【详解】略 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由． (1)等腰三角形的底角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗？ (2)等腰三角形的顶角可以是锐角吗？可以是直角或钝角吗？ 【答案】(1) 解：等腰三角形的底角可以是锐角，但不能为直角或钝角， 因为等腰三角形两底角相等，若底角为直角或钝角，则底角的度数和为或大于，不满足三角形内角和定理，， 所以等腰三角形的底角可以是锐角，但不能为直角或钝角； (2) 解：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角 因为三角形内角和等于，而锐角、直角或钝角均是小于的角， 所以等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，即两底角相等，以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． （1）根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理进行分析即可； （2）根据三角形内角和定理进行分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是．求的度数． 【答案】的度数为 【知识点】求一个角的补角、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 由等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，结合已知可得底角的度数，求邻补角即为的度数． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 【答案】 解：如图所示： 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查的是应用与设计作图，熟知等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】略 23．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ (2)证明： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； (3)40 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，，则由等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论； （3）求出的长，由全等三角形的性质得到的长，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长与的周长之和 ． 24．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（1）根据等边对等角三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质可得，则，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长为，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， ， 又，周长为， 即， ． 25．（20-21八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴； (2)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题时注意分类思想的运用． （1）根据题意得出，利用是等腰直角三角形解答； （2）根据题意可得，再根据是等腰直角三角形，，最后根据四边形内角和定理，得出四边形中，；再分三种情况讨论：①若；②若；③若，分别根据等腰三角形两个角相等，列出方程进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形中，； 当时， ∴ ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又 ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述：当α的度数为或或时，是等腰三角形． 【考点2】等腰三角形的判定（等角对等边）（第31-40题） · 证两角相等得两边相等 · 结合全等三角形 · 注意线段垂直平分线 · 注意平行线中的等角 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边等知识．先求出，结合平分，求出，从而，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选B． 27．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．连接，，求出，证明是等边三角形，求出，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵为的直径，与相切于点C ，， ∴，，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 28．（12-13八年级上·安徽·期末）把两个一样的直角三角板的角重合，其两对边交于点（如图），连接．下列说法错误的是（   ） A．整个图形是轴对称图形 B．周长大于 C．有对全等三角形（不添线） D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意得，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴整个图形是轴对称图形，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴周长为，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴有对全等三角形，原选项错误，符合题意； 、由得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 29．（26-27八年级上·北京·课后作业）已知如图：在中，和的角平分线相交于点O，过点O作交于点D，交于点E． (1)请问：之间的数量关系为 ； (2)若，求的周长为 ． 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由角平分线的意义及平行线的性质得，从而得，最后可得之间的数量关系； （2）由（1）的结论得的周长，从而可求得结果． 【详解】（1）解：∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵，交于点D，交于点E． ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）证得， ∵的周长， ∵， ∴的周长． 故答案为：12． 30．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 31．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为___________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查角平分线的对应、平行线的性质及等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，根据等角对等边即可得答案． 【详解】解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 32．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是_____（填写正确的序号） 【答案】①② 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题综合运用了角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明和是等腰三角形，然后根据线段的和差分析其它结论． 【详解】解：①∵的平分线相交于F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得．故②正确； ③根据②得．故③错误； ④和不一定相等，∴和不一定相等．故④错误． 故答案为：①②． 33．（2026·陕西渭南·二模）如图，延长的边至点E，点D在下方，连接、、、、，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】由等角对等边可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 34．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O作，分别交，于点D，E．试猜想线段，，的数量关系，并说明你的猜想理由． 【答案】 ，理由如下： ∵的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识，先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论． 【详解】略 36．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，，是的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题． （2）只要证明即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵，D为的中点， ∴， ∴． （2）略 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，在中，，BD平分，CD平分．过点D作，分别交AB，AC于E，F两点，则图中共有_______个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是_______． （2）如图②，若将（1）中“在中，”改为“若为不等边三角形”，其余条件不变，则图中共有_______个等腰三角形；试猜想EF与BE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）5  ， （2）2 ， 猜想：， 证明：∵是等腰三角形， ∴ ∵是等腰三角形 ∴ 又∵ ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】先根据等腰三角形性质和角平分线定义找等腰三角形，再利用平行线性质和等腰三角形性质推导线段关系； 同理找等腰三角形，再证明线段关系． 【详解】解：①找等腰三角形 ∵ ∴是等腰三角形 ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， 则， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴ ∴，是等腰三角形． 还有（∵） 所以共有个等腰三角形． ②推导与，的关系 是等腰三角形， ∴； 是等腰三角形 ∴． 又∵ ∴． 故答案为：，． ①找等腰三角形 平分 ∴ 又 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 同理平分，，可得 ∴是等腰三角形，共个等腰三角形． ②略 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题关键是利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，进而判定等腰三角形，再结合线段的和差关系得出结论． 【考点3】含30°角直角三角形与折叠综合（第41-52题） · 30°对边=斜边一半 · 折叠前后对应边相等 · 作垂线构造直角三角形 · 结合坐标与轴对称 38．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 39．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理可得，则可得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握相关知识点是解题关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，从而推出，，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：D． 41．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 42．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，，垂足为D，则与的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 由，可得，，由，可得，即，根据，可得，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故选：B． 43．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，于D，，下列结论正确的有（    ） ① ；② ；③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题核心考查含角的直角三角形的性质与三角形内角和定理．利用“角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，结合角度计算，可逐一验证四个结论的正确性．本题需依据含角的直角三角形的性质（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）与三角形内角和定理，对四个结论逐一分析判断． 【详解】解：在中，，． ，故①正确． 在中，由三角形内角和为， ． ，即， 在中，． ， ，故②正确． 在中，，． ，故③正确． ，，在中，，， ，且， ，故④正确． 故选D． 44．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，，若点的横坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了含度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含度角的直角三角形，度角所对的边是斜边的一半．过点作轴的垂线，垂足为点，先得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 __________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 过点A作，在中，根据含直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得，即可得出答案. 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D， 在中，，且， ∴. ∵点， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即点. 故答案为：. 46．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，，，________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：在中，，，， 是所对的直角边， ． 故答案为：． 47．（24-25七年级上·山东东营·期中）受2022年9月最强台风“梅花”的影响，某广场一棵大树在台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面所成夹角为，则这棵树在折断前的高度为_____米． 【答案】12 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】根据角所对直角边等于斜边的一半，得米，树高为米，解答即可． 本题考查了角所对直角边等于斜边的一半的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：米，根据角所对直角边等于斜边的一半， 得米， 故这棵树在折断前的高度为米， 故答案为：12． 48．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为____________度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【分析】由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，角的直角三角形的性质，过点作于点C，根据角的直角三角形的性质求出，然后根据平行四边形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点C， 则， ∴线段所扫过的区域面积是 故答案为：． 50．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【答案】2 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】先根据直角三角形的性质得出，故可得出，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ，， ． ， ． 的垂直平分线交于点， ． 51．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 52．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 【答案】4 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短，过点P作关于的对称点，连接，，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作关于的对称点，连接，， ． ∵平分， ． 在和中， ， ， ， ∴要求的最小值，只要求出的最小值，即的最小值， ∴当时，的值最小，即点Q与点D重合，点与点B重合，最小值为的长． ∵在中，， ， 的最小值为4． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边对等角是性质 · 等角对等边是判定 · 三线合一知一得二 · 30°对边=斜边一半 · 折叠找对应边对应角 【作业1】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 【作业2】．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作线段(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 【作业4】．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【作业5】．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为___________． 【答案】4 【知识点】三线合一 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直接利用三线合一可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，为的角平分线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【作业7】．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，，，则的长度为__________． 【答案】2 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是_________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【作业9】．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，点C 是上一点，连接，，若，则_________． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度直角三角形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键；由已知易得为等腰直角三角形，则有；再由含30度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，且； 在中，， ∴． 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是_______． 【答案】/132度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则， ，，， ， 当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，， ， ，， ， 即最小时，的度数为． 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，是的中线，点E在边上，，则等于______． 【答案】/20度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业12】．（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【知识点】作等腰三角形(尺规作图)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 【作业13】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【作业14】．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即； (2) 证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【作业15】．（25-26八年级上·广西柳州·期末）已知：如图，，，则是什么三角形，请说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴是等腰三角形. 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，利用证明，得到，则可证明，据此可得结论 ． 【详解】略 【作业16】．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【答案】，， 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质。涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解．利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解． 【详解】解：设顶角为x，则底角为． 根据三角形内角和为，可得 ， 解得， ∴底角为． ∴三个角分别是，，． 【作业17】．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【答案】(1) 证明：设、相交于G， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ； (2)证明：过C作于N，连接，则， ∵， ， ∴， 在与中， ， ， ， ∵，, 是的角平分线． (3)2 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】（1）设、相交于G，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一可得出 ，结合已知得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出； （2）过C作于N，连接，证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （3）根据全等三角形的性质得出，，结合已知得出，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的角平分线， ， 又，， ， ， ， 又，， ， 解得. 【作业18】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质“三线合一”，可得，平分，从而可得，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F． ，平分， ， ，， 平分， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $