18.1.1　从分数到分式 （第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.1.1　从分数到分式（第1课时） 一、教材分析 本课是第十八章的起始课，也是整个分式系统的地基。往前看，学生刚在第十六章走完整式的乘法与因式分解，小学六年积累的分数经验还在手边，七年级又有过用字母表示数的经历；往后看，分式的基本性质、约分与通分、四则运算、分式方程，全部压在本课给出的一个定义和三句话上。这一课若只停在“认识一种新写法”，后面的每一步都会踩空。 从知识链条上看，本课要完成两次跨越。第一次是从“数的分母”跨到“式的分母”，凭借与分数的类比，学生接受起来并不困难；第二次是从“算出结果”跨到“先判断能不能算”，这才是真正的坎。小学里只要分母不是零，分数就一定能算出一个值；分式的分母是一个含字母的式子，字母取什么值，直接决定这个分式在此刻“存在”还是“不存在”。教材把“能不能算、算不算得出、结果是不是零”这三层判断紧接在概念之后处理，用意正在这里。 还有一处容易被讲漏的落脚点：判断一个式子是不是分式，依据不是有没有那条横线，而是分母里有没有字母，且这个字母能够表示任意数。π 是最典型的陷阱——它长得像字母，写在分母上，却是一个确定的常数。这一层不点透，学生后面的判断会长期含糊，甚至到分式方程检验增根时还在犯同样的错。 二、学情分析 学生已掌握整式的概念与运算，能熟练进行因式分解，也具备用字母表示数量关系的经验，这为本课的类比提供了支点。但在日常作业和课堂提问中，有四类问题反复出现，必须在课上正面处理，绕不过去。 第一类，见分数线就当分式。(x−1)/3 与 (x−y)/4 这样分母为数字的式子，常被直接划进分式一栏；反过来，2−1/x 这种整式与分式相加减的复合形式，又常被整体判成整式。根子在于把外形当成了定义。 第二类，把 π 当作字母。(2x+y)/π 在不少学生眼里“分母里有字母”，于是判为分式。这里需要教师明确一句：π 是一个固定的数，不能任意取值。 第三类，求值为零时只解分子。(x²−1)/(x²−x) 解出 x = ±1 就收笔，漏掉检验分母，把使分母为零的 x = 1 也写进答案。这类错误的可怕之处在于答案看起来“有过程、有结果”。 第四类，两个条件混着放。学生能背出“分母为零无意义”，可一遇到“当 x 为何值时无意义”就去找分子为零，说明两条判断在头脑里没有分开存放。 基于以上四点，本课不平均用力：概念的形成借类比较快通过，把时间压在三个条件的辨析、尤其是值为零的双条件检验上。 三、教学目标 1. 给出 10 个代数式，能依据分母中是否含有可表示任意数的字母，逐个判断它是整式还是分式，并说出判断依据，答对不少于 9 个。 2. 对给定的分式，能分别写出它有意义时字母的取值范围、无意义时字母的取值、值为零时字母的取值，四问全对，且解答中完整出现“分母不为零”的检验步骤。 3. 能用自己的话向同组同学说清分式与分数至少两点相同、两点不同，并举出一个无论字母取何值都有意义的分式。 四、教学重点与难点 教学重点：分式的概念，以及判断分式何时有意义、何时失去意义、何时结果为零这三条依据。要练到的程度是——给一个式子，三秒内判断类别；给一个分式，能按“分母不为零”“分母为零”“分子为零且分母不为零”三句话各写一行，一步不跳。 教学难点：值为零的双条件同时成立。卡点在于学生习惯“解一个方程得一个答案”，而这里必须解一个方程、再排除一个值，两次判断缺一不可；另一个卡点是分式与整式的边界，尤其是分母写着 π、写着数字的情形。 五、教学方法与教学准备 以类比为主线，用问题串推进，配变式训练固化。教师给情境、给追问，学生动手写、开口说、上台改。全课不出现“大家思考一下”这类空指令，每个问题都指向一个可写在纸上的动作。 教学准备：多媒体课件（呈现问题串与表格）、学习任务单（含表 1、检测题、分层作业）、磁性字母卡片若干（供各组把自编式子贴上黑板分类）、红黄两色粉笔（黄笔标关键词，红笔标易错处）。 六、教学过程 环节一　创设情境，导入新课（约5分钟） 活动：摘果子，写式子 【师】黑板上这片代数式果园里挂着七个果子：t，300，s，n，a−x，0，180(n−2)。每组派一位同学上来摘两个，用加、减、乘、除任意组合，写出一个新式子，写在任务单第一栏。 【生甲】（板演）我摘 t 和 s，写 t÷s，记作 t/s。 【生乙】我摘 a−x 和 n，写成 (a−x)÷n，也就是 (a−x)/n。 【生丙】我摘 300 和 s，写 300/s。 【师追问】这三个式子，和小学写过的 3/4、7/8 站在一起，像不像？和上周写的 2a+3b 站在一起，像不像？ 【生丁】前一组像，都是上下两层加一条横线；后一组不像，2a+3b 没有分母。 【师】外形像分数，分母里装的却不是数，而是字母。这样的式子，从今天起有了自己的名字。 【师】这节课只解决三个问题：它是什么？它什么时候活得下去？它什么时候等于零？板书课题。 环节二　探究新知（约12分钟） 活动一　概念的形成：从分数到分式 【师】翻到教材第127页的思考，两问填空，三十秒完成。 【生】第一问填 10/7，第二问填 S/a；下面一问填 200/33，第三问填 V/S。 【师追问】10/7 与 200/33，这是我们熟悉的分数；S/a 与 V/S，还能叫分数吗？ 【生甲】不能。字母在分母上，字母一变，整个式子的值就跟着变。 【师】把四类式子的骨架抽出来：都由分子、分母、分数线三部分搭成。差别只在分母——一个装确定的数，一个装可以变的字母。 【师追问】那么 2a+3b 的分母在哪里？ 【生乙】没有分母，硬要写就是除以 1。 【师】整式的分母不含字母，分式的分母一定含字母。两类式子就此分开。 （板书定义）一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 叫作分式，A 叫作分式的分子，B 叫作分式的分母。 【师追问】定义里藏着两个关键词，谁能挑出来？ 【生丙】“两个整式”和“含有字母”。 【师】说得准。分子分母都得是整式，这是形式要求；分母含字母，这是身份标记。少一条都不是分式。 活动二　填表求值：分式何时有意义 【师】看表 1。两个分式，把 x 的值一个个代进去，能算出确定结果的填数值，算不出的画一横。 表 1　填表求值 分式 x = −2 x = −1 x = 0 x = 1 x = 2 (x+1)/(x−2) 1/4 0 −1/2 −2 无意义 (x−1)/x 3/2 2 无意义 0 1/2 【师】第一个分式，x 取 2 那一格为什么空着？ 【生甲】代进去分母是 0，0 不能作除数。 【师】第二个分式，x 取 0 那一格为什么也空着？ 【生乙】分母还是 0，一样算不出来。 【师追问】“算不出来”这件事，是 x 的错，还是分式本身的错？ 【生丙】是这个分式在这个取值下没有意义。 【师】好。分式能不能算出结果，全看分母。于是有了前两句话。 （板书）当 B ≠ 0 时，分式 A/B 有意义；当 B = 0 时，分式 A/B 无意义。 【师追问】第三个问题：能不能举一个分式，不管字母取什么值，它都有意义？ 【生丁】(x²+1)/(x²+2)。分母最小也是 2，永远碰不到 0。 【师】判断“永远有意义”，看的是分母能不能取到 0，不是分母长得复杂不复杂。 【师追问】值为零呢？A/B = 0，需要什么条件？先想分子，再想分母。 【生甲】分子等于 0。 【师追问】只这一条够不够？拿 (x−1)/x 试试，x 取 0，分子是 −1，不是 0；再拿 (x+1)/(x−2)，x 取 2，分子是 3，也不是 0。换一个：(x²−1)/(x²−x)，x 取 1，分子确实是 0，这个分式的值是 0 吗？ 【生乙】不是，分母也变成 0 了。 【师】所以第三条得两条腿走路：分子为零，同时分母不为零。 （板书）当 A = 0 且 B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为零。 本环节预设三处错误，教师须当场纠正，不能等到作业里再补。 预设错误一：认为 300/s 的分母是数，理由是横线下面的 s 看不出是字母。纠正办法：把 s 换成 5 与 50，让学生看着结果从 60 变到 6，再回到字母，抽象就有了落点。 预设错误二：认为 (x+1)/(x−2) 在 x = 2 时的值为零。纠正办法：请他实际代入，看 3/0 根本算不出来，再回到“值为零先得有意义”这句判断。 预设错误三：求值为零时只解分子。纠正办法：把答题格式固定成三步——解分子方程、检验分母、下结论，作业批改缺一步不得分。 环节三　例题精讲（约12分钟） 例1　辨析式子的身份 例1　用代数式表示下列数量关系，并指出所列式子中哪些是整式，哪些是分式。 （1）甲每小时做 x 个零件，他做 80 个零件需 ＿＿＿＿ 小时。 （2）轮船在静水中每小时走 a 千米，水流的速度是 b 千米/时，轮船的顺流速度是 ＿＿＿＿ 千米/时，轮船的逆流速度是 ＿＿＿＿ 千米/时。 （3）x 与 y 的差除以 4 的商是 ＿＿＿＿。 【师】第一问先看什么？ 【生甲】先看谁除以谁。工作总量 80 除以每小时做的个数 x。 【师】写出来是 80/x。它算哪一类？ 【生甲】分母是 x，含字母，分式。 【师追问】第二问两个空，速度怎么求？ 【生乙】顺流是船速加水速，a+b；逆流是船速减水速，a−b。 【师】这两个式子的分母在哪？ 【生乙】没有分母。 【师】所以都是整式。第三问，x 与 y 的差除以 4，写作 (x−y)/4，分母是 4，是数不是字母，仍然是整式。 【师追问】有同学要问：(x−y)/4 明明有分数线，凭什么不算分式？ 【生丙】分母是 4，里面没有字母。 【师】这就是判断的口诀：一看形式，分子分母是不是整式；二看分母，里面有没有能表示任意数的字母。 解：（1）80/x，是分式；（2）a+b，a−b，都是整式；（3）(x−y)/4，是整式。 例2　三类问题的同一套动作 例2　当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，下列分式无意义？当 x 取何值时，下列分式的值为零？ （1）(2x−5)/(x²−4)；（2）(x²−1)/(x²−x)。 【师】三问看着是三个问题，其实是同一句话的三个方向。先解决有意义，看谁？ 【生甲】看分母，让分母不等于 0。 【师】第一题分母是 x²−4，令它不为 0。 【生乙】x²−4 ≠ 0，所以 x ≠ 2 且 x ≠ −2，可以写成 x ≠ ±2。 【师追问】为什么不能写成 x ≠ 2 或 x ≠ −2？ 【生乙】两个值都不能取，是同时排除。 【师】对，两个都要排除，用“且”。无意义就是把不等号翻过来：x²−4 = 0，x = ±2。 【师】第三问，值为零。第一步做什么？ 【生丙】让分子等于 0，2x−5 = 0，x = 5/2。 【师追问】写到这里能收笔吗？ 【生丁】不能，还得看 x = 5/2 时分母是不是 0。 【师】代进去，25/4 − 4 = 9/4，不为零，可以取。所以 x = 5/2。 【师】第二题自己做，两分钟后同桌互查。提示一句：x²−x 分解成 x(x−1)，两个因式都可能为零。 【生甲】有意义：x²−x ≠ 0，即 x ≠ 0 且 x ≠ 1。 【生乙】无意义：x²−x = 0，即 x = 0 或 x = 1。 【生丙】值为零：x²−1 = 0，x = ±1；但 x = 1 时分母为零，舍去，所以 x = −1。 【师追问】为什么 x = 1 要舍？ 【生丙】分母为零，分式本身不存在，谈不上值。 【师】记住这句话：谈值为零之前，先得让这个分式站得住，也就是先有意义。 解：（1）有意义：x²−4 ≠ 0，即 x ≠ ±2；无意义：x²−4 = 0，即 x = ±2；值为零：2x−5 = 0 且 x²−4 ≠ 0，即 x = 5/2。（2）有意义：x²−x ≠ 0，即 x ≠ 0 且 x ≠ 1；无意义：x²−x = 0，即 x = 0 或 x = 1；值为零：x²−1 = 0 且 x²−x ≠ 0，即 x = −1。 环节四　变式训练（约5分钟，课内选做） 变式1（由例2 第（2）问改写，课内选做）当 x 取何值时，分式 (x²−9)/(x−3) 的值为零？ 变式2（由例2 第（1）问改写，课内选做）当 x 取何值时，分式 (x+1)/(x²−1) 有意义？ 【师】变式1 与例2 第（2）问只差一个数据，解法一模一样。请你独立完成，写足三步：解分子、验分母、下结论。 【生甲】x²−9 = 0，x = ±3；x = 3 时分母为零，舍去，所以 x = −3。 【生乙】变式2 只看分母：x²−1 ≠ 0，即 x ≠ ±1。 【师追问】变式2 若改问“值为零”，答案是什么？ 【生丙】分子 x+1 = 0 得 x = −1，可这时分母也是 0，无解。这个分式取不到零。 【师】这一问很值钱。它说明分式的值不一定能取到 0，能不能取到，仍由分母说了算。 环节五　交流反思（约4分钟） 【师】合上课本，用一句话告诉同桌：今天学的分式，跟分数到底什么关系？ 【生甲】样子一样，都是分子、分母加一条横线；可分数的分母是数，分式的分母是字母。 【生乙】还有，分数只要分母不是 0 就能算，分式得先看字母取什么值。 【师】补三点。第一，判断是不是分式，只看分母有没有字母，不看有没有横线。第二，三种问法——能不能算、什么情况下算不出、什么时候等于零——各是一句话，答题时各占一行，不要挤在一起。第三，值为零是两条腿：分子为零，分母不为零，少一条就倒。 【师追问】还有没有想问的？π 算不算字母，谁来答？ 【生丙】π 是一个固定的数，不算字母，所以 (2x+y)/π 是整式。 【师】这一点后面判断还会反复用到，请记在教材第127页旁边。 环节六　当堂检测（约8分钟，限时完成，当堂收回） 1. 下列式子是分式的是（　　） A．x/2　　　　B．x/(x+1)　　　　C．x/2+y　　　　D．x/3 2. 使分式 2/(x−3) 有意义的 x 的取值范围是（　　） A．x ≤ 3　　　　B．x ≥ 3 C．x ≠ 3　　　　D．x = 3 3. 当分式 (x−1)/(x+2) 的值为 0 时，x 的值是（　　） A．0　　　　B．1　　　　C．−1　　　　D．−2 4. 下列各式中，分式的个数有（　　） (x−1)/3，b²/(a+1)，(2x+y)/π，−1/(m−2)，1/2+a，(x−y)²/(x+y)²，2−1/x，−5/11。 A．2 个　　　　B．3 个　　　　C．4 个　　　　D．5 个 5. 若分式 (2x−3)/(3x+2) 无意义，则 x 的取值范围是 ＿＿＿＿。 6. 如果分式 (｜x｜−2)/(x−2) 的值为 0，则 x 的值为 ＿＿＿＿；如果分式 (3x²−27)/(x−3) 的值为 0，则 x 的值应为 ＿＿＿＿。 7. 已知分式 (x²−4)/(x+2)。 （1）当 x 为何值时，分式无意义？ （2）当 x 为何值时，分式有意义？ （3）当 x 为何值时，分式的值为 0？ 8. 甲、乙两辆汽车分别从相距 900 千米的 A，B 两地同时出发，相向而行。甲车比乙车每小时多走 10 千米。由于甲车中途出现故障，就地停车修理，结果两车恰好在 A，B 两地的中点相遇。 （1）如果甲车每小时走 a 千米，那么甲车在中途停车多少小时？ （2）当 a = 60 时，求甲车在中途停车多少小时？ 七、板书设计 主板书分三区，从左到右依次为概念区、条件区、例题区。粉笔分工：白笔写正文，黄笔标关键词，红笔标易错处。 概念区：课题居中，下方画方框，框内写“A，B 为整式，B 中含字母，A/B 叫分式”；方框左侧竖排 3/4、7/8，右侧竖排 t/s、300/s，两个箭头指向方框，箭头旁用黄笔写“分母由数变字母”。 条件区：三行并列——B ≠ 0，有意义；B = 0，无意义；A = 0 且 B ≠ 0，值为零。末行用红笔加一句“值为零先要有意义”。 例题区：例1 三小问按“式子—类别”两列排开；例2 第（1）问只写关键三步“令分母不为零—令分母为零—令分子为零并检验”，右侧留出空白，供学生上台补写第（2）问。 八、分层作业设计 A 层（全体必做，约 10 分钟）：教科书第139页练习题；把本课三句话抄在学习本上，每句后面配一个自己写的例子。 B 层（选做，约 8 分钟）：教科书第144页第 1，2，3，4，11 题；再写出一个无论字母取何值都有意义的分式，并说明理由。 C 层（挑战，约 10 分钟）：自编一个分式，使它在 x = 1 时无意义，在 x = −2 时值为零。写出构造过程，并用课上的三步法检验。 九、教学反思 本课上得最不顺的是表 1 的填写环节。原以为代值计算是小学功夫，实际有近三分之一的学生在 x 取负数时把 (−1)/(−4) 算成 −1/4，符号处理白白拖了四分钟。下次先把负号圈出来再动笔，或者干脆让学生用计算器核对一遍，把时间留给后面的辨析。 第二处不顺在值为零的检验。我请一位同学上台写例2 第（2）问，他解出 x = ±1 就停笔，全班没有一个人提醒他要看分母。可见板书上那句“值为零先要有意义”，只是我写过，并没有变成他们的动作。改进办法是把答题格式固化成止步动作：写结论之前必须回头看一眼分母，并在旁边打一个勾表示已检验；批改时缺这个勾即扣分，用外部动作倒逼内部习惯。 第三处是 π。直到交流反思才有学生问“π 算不算字母”，说明这个概念本该在例1 之后立刻澄清，被我推后了近十分钟。下次把 (2x+y)/π 直接放进例1 的备选式子，让学生当场争一争，比我事后补一句更有效。 值得保留的是摘果子的情境。学生自己写出的 300/s 与教材上的 S/a 同时出现在黑板上，概念是长出来的，不是我讲出来的。下次多备几套磁性卡片，让每组都把式子贴到黑板对应区域，比只叫三个人板演更能暴露真实水平。 还有一个待改的细节：变式2 追问“值为零”时，学生答出“取不到零”，这是本课最漂亮的一问，可我只看了一分钟。下次把它提到例题环节，作为“分式的值不一定能取到零”的正式结论写进板书。 【参考答案与解析】 第 1 题：答案 B。解析：分式的分母必须含字母。A 的分母是 2，D 的分母是 3，都是数；C 是 x/2 与 y 的和，两部分分母都是数，整体为整式；B 的分母是 x+1，含字母，是分式。验算：取 x = 1 代入 B 得 1/2，取 x = 2 得 2/3，值随 x 改变；A 虽然值也随 x 改变，但分母始终是数 2，按定义仍是整式。 第 2 题：答案 C。解析：分式有意义的条件是分母不为零，由 x−3 ≠ 0 得 x ≠ 3。验算：取 x = 3，2/0 无法计算，确实无意义；取 x = 4，2/1 = 2，有意义；取 x = 2，2/(−1) = −2，也有意义。 第 3 题：答案 B。解析：值为零需分子为零且分母不为零。由 x−1 = 0 得 x = 1，此时分母 x+2 = 3 ≠ 0，符合条件。验算：把 x = 1 代入原式得 0/3 = 0，成立；把 x = −2 代入，分母为零，无意义，说明它不在解集内。 第 4 题：答案 C。解析：逐个判断。①(x−1)/3 分母为 3，整式；②b²/(a+1) 分母含 a，分式；③(2x+y)/π 中 π 是确定的常数，不是可任意取值的字母，整式；④−1/(m−2) 分母含 m，分式；⑤1/2+a 分母为 2，整式；⑥(x−y)²/(x+y)² 分母含字母，分式；⑦2−1/x 含 1/x，分式；⑧−5/11 是数，属于单项式，整式。共 4 个。验算：对 ④ 取 m = 2，−1/0 无法计算，确为分式的特征；对 ③ 取 x = 0，y = 0 得 0/π = 0，不出现分母为零的情形。 第 5 题：答案 x = −2/3。解析：无意义的条件是分母等于零，由 3x+2 = 0 得 x = −2/3。验算：把 x = −2/3 代入分子，2 × (−2/3) − 3 = −13/3 ≠ 0，分子不为零，说明此处是“无意义”而非“值为零”，与题意相符。 第 6 题：答案 −2；−3。解析：第一空由 ｜x｜−2 = 0 得 x = ±2，其中 x = 2 使分母 x−2 = 0，舍去，故 x = −2。第二空由 3x²−27 = 0 得 x² = 9，x = ±3，其中 x = 3 使分母 x−3 = 0，舍去，故 x = −3。验算：把 x = −2 代入第一式得 (2−2)/(−4) = 0，成立；把 x = −3 代入第二式得 (27−27)/(−6) = 0，成立；把 x = 3 代入第二式，分母为零，无意义。 第 7 题：答案（1）x = −2；（2）x ≠ −2；（3）x = 2。解析：分母为 x+2。（1）令 x+2 = 0，得 x = −2，此时分式无意义。（2）令 x+2 ≠ 0，得 x ≠ −2。（3）令分子 x²−4 = 0，得 x = ±2，其中 x = −2 使分母为零，舍去，故 x = 2。验算：把 x = 2 代入原式得 (4−4)/4 = 0，成立；把 x = −2 代入，分母为零，不能取。 第 8 题：答案（1）4500/[a(a−10)] 小时（其中 a > 10）；（2）1.5 小时。解析：两车在中点相遇，中点距 A，B 各 450 千米。设甲车速度为 a 千米/时，则乙车速度为 a−10 千米/时。乙车行 450 千米用 450/(a−10) 小时，甲车实际行驶 450 千米用 450/a 小时，两车同时出发、同时相遇，故甲车停车时间为二者之差：450/(a−10) − 450/a = 4500/[a(a−10)]。验算：当 a = 60 时，乙车用 450/50 = 9（小时），甲车行驶 450/60 = 7.5（小时），停车 9 − 7.5 = 1.5（小时）；用公式复算 4500/(60 × 50) = 4500/3000 = 1.5，两法一致。另需注意 a > 10，否则乙车速度为负，不合题意。 变式 1：答案 x = −3。解析：由 x²−9 = 0 得 x = ±3，其中 x = 3 使分母 x−3 = 0，舍去，故 x = −3。验算：代入得 (9−9)/(−6) = 0，成立。 变式 2：答案 x ≠ ±1。解析：有意义只需分母不为零，由 x²−1 ≠ 0 得 x ≠ ±1。若改问值为零，则需 x+1 = 0 且 x²−1 ≠ 0，前者给 x = −1，而 x = −1 恰好使分母为零，两条件不能同时满足，故该分式的值取不到零。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $