培优03 三角函数的参数问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 三角函数的参数问题 常考题型·精准突破 考点一 求三角函数中的参数值 题型1 由对称性求参数（重点） 题型2 由平移变换求参数（难点） 题型3 由零点与图象求参数 考点二 求三角函数的参数范围 题型4 由零点个数求范围（高频） 题型5 由单调性求范围 题型6 单调区间的长度限制 题型7 多条件联合求范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 知识点一 求三角函数中的参数值 ◆题型1 由对称性求参数（重点） 1．若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称轴方程计算求解. 【详解】正弦型函数图象的对称轴性质可知， 当时，相位满足，化简得， 结合，当取的最小值为2. 2．若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的奇偶性可得，继而即可求解. 【详解】由题意可得，解得，又因为， 所以的最小值为. ◆题型2 由平移变换求参数（难点） 1．设函数，若将的图象沿x轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于x轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据平移关系及对称关系有对任意恒成立，从而得到，结合，确定参数值个数. 【详解】将的图象沿轴负方向平移个单位长度， 相当于把换为，所得函数为， 所得图象与关于轴对称，因此对任意恒成立， 所以，需有，化简得，即， 由，可得，即， 整数可取，共个，对应， 因此满足条件的的个数为. 2．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出函数，再利用正余弦函数的图象性质求解. 【详解】函数， 依题意，，由函数为偶函数， 得，解得， 所以的最小值为，此时. ◆题型3 由零点与图象求参数 1．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再结合周期公式可求得答案. 【详解】由题意，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，，解得. 故选：B. 2．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而结合余弦型函数的对称性易知在上单调，进而求出周期，即可求解. 【详解】因为恒成立，可知， 又点在上，可知， 而在区间上单调，由余弦型函数的对称性易知在上单调， 则，即. 3．设函数，若在区间上单调，在区间上存在零点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得为的一条对称轴，可得，结合单调性可得，利用在区间上存在零点，可得，进而计算可求得的值. 【详解】， 因为在区间上单调，所以，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以为的一条对称轴， 所以，所以， 当时，， 又因为在区间上存在零点，所以，所以， 所以， 所以，解得， 又，所以. 知识点二 求三角函数的参数范围 ◆题型4 由零点个数求范围（高频） 1．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】函数 ． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A．      2．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过方程解出，再由条件确定的范围，得到可能取值，即可通过条件中的恰有3个实根，建立不等式确定的取值范围. 【详解】若方程， 则，即或， 当时，， 则的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有3个实根， 所以， 解得， 即的取值范围是， 故选：A. 3．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． ◆题型5 由单调性求范围 1．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出内层函数在的取值范围，结合正弦函数的单调区间列不等式求解的范围。 【详解】令，由可知是关于的单调递增函数. 当时，代入得, 函数在上单调，等价于在上单调, 正弦函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 由于且左端点为，不属于任何单调递减区间， 因此必须完全包含于时的单调递增区间，即, 结合，解得, 即. 2．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得. 【详解】由，，可得， 根据正弦函数的单调性，可得：，又， 所以，即. 故选：D. 3．若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，可得，则，从而求得的取值范围. 【详解】，， ， 则， 可得，解得，又，. 故选A. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. ◆题型6 单调区间的长度限制 1．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调区间求得，然后分，和，结合正弦函数单调性讨论即可得解. 【详解】由函数在上单调可知，得， 所以，所以， 当 时，，函数 在该区间不单调，故舍去， 因此只需考虑 的情况， 因为，所以， 当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则， 所以即； 当时，要使在上单调，则， 所以即. 综上，的最大值为. 故选：C 2．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以有且，， 因为函数在上是增函数， 所以. 故选：A 3．已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值. 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C ◆题型7 多条件联合求范围 1．已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，结合，根据函数单调性的定义得到函数单调递减，根据正弦函数的单调递减区间，得到的取值范围. 【详解】由得，设， 因为，，时，，所以在上单调递减， 当时， ， ，，解得， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 2．函数的最小正周期为T．若，且在区间上最小值为，则ω的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的最小正周期为， 又，所以，所以， 所以，又，所以，所以， 当时，可得， 又在区间上最小值为，所以， 解得，所以ω的最小值是. 3．若函数在区间和上都是单调递增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由得，在原点附近的递增区间为，，因此，解得，故选B. 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由辅助角公式和最小正周期得到方程，求出，并根据得到的范围，验证后可得时，，满足要求，得到答案 【详解】， 因为为正整数，所以的最小正周期为， ，为图象的两条相邻对称轴，所以， 因为，所以，解得，故， 由题意得， 因为，所以， 所以，， 解得， 当时，，无解，舍去； 当时，，无解，舍去； 当时，，故，满足要求； 综上，，正整数的取值有个 2．已知函数 （）在区间 内恰有 个零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】时，，令，的解为，其中大于的前3个取值为， 则， 所以 的取值范围为 3．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，结合在上单调可得，进而可得或10，最后检验即可． 【详解】由于对都有，故， 即，， 故，解得， 又在上单调，， 故，解得， 故，解得，因此或1， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故． 4．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 5．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解. 【详解】由，且， 所以， 由题意可得或， 解得或 ， 因为， 所以或者， 故选：D 6．已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论、时，取最大值时的值，由其周期性找到第三个最大值对应的值，由此确定的取值范围. 【详解】当时，， 当时，第1次取到最大值， 当时，， 当时，第2次取到最大值， 由知：当时，第3次取到最大值． ∴． 故选：C 【点睛】关键点点睛：讨论的范围，通过确定第二、三个最大值对应的值，进而得到的取值范围. 7．已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，取得到，故，解得答案. 【详解】. 令，得， 函数的零点为…，，，，，，… 若在上有且只有3个零点，需满足，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据三角函数零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 的递增区间为， 取，由得 ， 解得，于是， 故最大值为. 二、多项选择题 1．已知函数 且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 2．已知函数．则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．若的最小正周期为，则 C．若的一个对称中心为，则 D．若在区间内有2个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质求最大值，判断选项A；利用最小正周期公式计算判断选项B；利用对称中心的性质计算判断选项C；通过零点个数分析判断选项D． 【详解】， 正弦函数，故，故A正确； 正弦型函数周期公式，若，则，故B正确； 正弦函数的对称中心满足函数值为0，则， 整理得，，则可取，非唯一值，故C错误； 令，即，解得，则， 当时，零点对应， 若区间内恰好有2个零点，则需满足第2个零点在区间内：，解得， 第3个零点不在区间内：，解得， 故，故D正确． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的参数问题 常考题型·精准突破 考点一 求三角函数中的参数值 题型1 由对称性求参数（重点） 题型2 由平移变换求参数（难点） 题型3 由零点与图象求参数 考点二 求三角函数的参数范围 题型4 由零点个数求范围（高频） 题型5 由单调性求范围 题型6 单调区间的长度限制 题型7 多条件联合求范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 知识点一 求三角函数中的参数值 ◆题型1 由对称性求参数（重点） 1．若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 2．若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 由平移变换求参数（难点） 1．设函数，若将的图象沿x轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于x轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（     ） A． B． C． D． ◆题型3 由零点与图象求参数 1．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．设函数，若在区间上单调，在区间上存在零点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点二 求三角函数的参数范围 ◆题型4 由零点个数求范围（高频） 1．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型5 由单调性求范围 1．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． ◆题型6 单调区间的长度限制 1．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． ◆题型7 多条件联合求范围 1．已知函数，，，且，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为T．若，且在区间上最小值为，则ω的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在区间和上都是单调递增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知函数 （）在区间 内恰有 个零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 1．已知函数 且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 2．已知函数．则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．若的最小正周期为，则 C．若的一个对称中心为，则 D．若在区间内有2个零点，则 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $