培优07 三角函数的概念（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题07 三角函数的概念 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的概念 题型1 任意角和弧度制 题型2 利用定义求三角函数值（重） 题型3 由终边或终边上的点求三角函数值（高频） 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数（高频） 考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式 题型1 同角三角函数的基本关系（重） 题型2 诱导公式（重） 题型3 三角函数恒等式的化简、求值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的概念 ◆题型1任意角和弧度制 1．角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】，则其为第二象限角. 2．下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 3．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 4．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用周长建立方程，求出扇形的半径，然后再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形周长为，半径为，圆心角为， 则，即，解得. 扇形面积. 5．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. ◆题型2 利用定义求三角函数值 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 3．已知角的终边经过点，则角的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值，即可得出角的取值. 【详解】由题意得，所以，，故角的值可能为． 故选：A. 4．在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 5．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角函数的定义，求得的值，代入即可求解. 【详解】根据题意，可得所以， 由三角函数的定义，可得，，， 所以. 故选：B. 题型3 终边或终边上的点求三角函数值 1．已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】在角的终边上任取异于原点的点， 由，得． 2．已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 5．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合、若角终边上一点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以点的坐标为， 所以，根据三角函数的定义， 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数 1．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 2．已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定义得到方程，解出值，再利用正切定义即可得到答案. 【详解】，解得， 则. 故选：D. 3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 4．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 5．已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义得到不等式，求出答案. 【详解】由三角函数定义可得在第四象限， ，解得， 故的取值范围是. 故选：B 考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式 ◆题型1同角三角函数的基本关系 1．已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式移项后平方，结合平方关系消元，可求出，，然后根据商数关系求得. 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 4． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系，结合条件等式与角的范围求出，进而求得，即可求得答案. 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 5．若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【详解】 ◆题型2诱导公式 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据诱导公式，，故B正确. 2．等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 3．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 4．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 5．化简（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】. ◆题型3三角函数恒等式的化简、求值 1．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得到，代入计算得到答案. 【详解】因为，， ， 所以， 所以. 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 即， 故. 3．若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 5．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简目标式，结合齐次式弦切互化的方法计算结果. 【详解】由角的终边上一点， 可得， 所以 . 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 2．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 3．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 4．若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】利用平方关系和商的关系，将所求的表达式化为的形式，然后求解即可． 【详解】因为，又， 所以. 5．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 二、多选题 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为角的终边经过点， ， 所以， ， ， 所以AC错误，BD正确. 7．已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，，则， 故AC正确，B错误； ，故D错误. 三、填空题 8．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平方关系得出，可得出，于是得出，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 9．设，其中a，b，，，若，则__________. 【答案】1 【详解】因为， 则，， 故， 又因为，所以. 四、解答题 10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【答案】(1) (2)；当时，；当时， (3) 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 11．以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】由单位圆交点的坐标确定正弦、余弦，结合第二象限确定余弦符号；再利用两角和正切公式及诱导公式化简计算． 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． （2）由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 12．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单位圆即可求解； （2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解； （3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得； （2）由（1）得，， 所以 ； （3）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为， 由， 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数的概念 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的概念 题型1 任意角和弧度制 题型2 利用定义求三角函数值（重） 题型3 由终边或终边上的点求三角函数值（高频） 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数（高频） 考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式 题型1 同角三角函数的基本关系（重） 题型2 诱导公式（重） 题型3 三角函数恒等式的化简、求值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角函数的概念 ◆题型1任意角和弧度制 1．角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 4．已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 利用定义求三角函数值 1．已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则角的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（    ） A． B． C． D． 题型3 终边或终边上的点求三角函数值 1．已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在直线上，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知角的终边过点，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 5．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合、若角终边上一点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数 1．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 2．已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（    ） A．5 B． C． D． 4．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 5．已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式 ◆题型1同角三角函数的基本关系 1．已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4． 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 ◆题型2诱导公式 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．等于（     ） A． B． C． D． 3．的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 5．化简（   ） A． B． C．1 D． ◆题型3三角函数恒等式的化简、求值 1．已知，则＝（    ） A．－ B．－ C． D． 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C．3 D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知角的终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 3．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 5．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边过点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知，，则的值为___________． 9．设，其中a，b，，，若，则__________. 四、解答题 10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 11．以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 12．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $