培优02 三角函数的图像与性质问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 三角函数的图像与性质问题 常考题型·精准突破 考点一 图像的平移与伸缩变换 题型1 求平移与伸缩变换后的解析式（高频） 题型2 变换后的性质判断 题型3 由变换后的性质求参数（重点） 考点二 求三角函数的解析式 题型4 由图像读 A、ω、φ（重点） 题型5 由性质条件求解析式（难点） 考点三 三角函数的性质 题型6 周期性与对称性 题型7 单调性与最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 图像的平移与伸缩变换 ◆题型1 求平移与伸缩变换后的解析式（高频） 1．已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】，设将向右平移个单位(表示向右移，表示向左移)， 则平移后得函数为：， 令其等于，得，解得，故向右平移个单位． 2．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象. 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】由题 ， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 4．函数部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用函数过点即可求得，进而可得函数的解析式； （2）①利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式. ②由题意可得，解方程求得方程的解，进而可求得的值. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 所以，解得，所以， 又因为函数过点，所以， 所以，所以，所以 又，所以，所以； （2）①由（1）可知， 将函数的图像沿着轴向右平移个单位可得函数的图象； 再将函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象，即； ②由题意得，所以， 所以， 所以， 所以； 所以或， 所以或， 因为，所以， 所以或或， 解得或或，所以， 所以. ◆题型2 变换后的性质判断 1．已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数的平移变化，得到的表达式，再结合正弦函数的图象性质，即可求得在区间上的值域. 【详解】由题意， ， 又函数向左平移个单位长度后得到函数， 所以， 又，所以， 根据正弦函数的性质，可得， 所以在区间上的值域为． 2．将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（     ） A． B．在区间上为增函数 C． D．且，则 【答案】C 【分析】对于A选项，利用函数平移规律得到的表达式，再结合奇函数和对称轴的性质来确定和的值，对于B选项，根据复合函数的单调性进行判断，对于C选项，利用余弦函数的单调性比较与的大小，对于D选项，利用正弦函数的对称轴进行求解. 【详解】将左移得：， 又因为是奇函数，故，即， 且符合图像，关于对称，故， 代入可得，化简得， 结合图像性质（第一个零点在右侧），取最小正值， 代入，结合得，因此， 在A选项中，，推导正确，A不符合题意， 在B选项中，当时，，令， 在上单调递增，故在该区间为增函数，B正确，不符合题意， 在选项C中，因为，所以，， 其中， 同理， 又因为在上单调递减，，且， 所以，故，C错误，符合题意， 在选项D中，的对称轴满足， 在内对称轴为，若，则， 即，D正确，不符合题意. ◆题型3 由变换后的性质求参数（重点） 1．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】/ 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 2．已知，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，其中，则__________. 【答案】/ 【分析】求出平移后的解析式,再根据正弦型函数性质求解. 【详解】由辅助角公式整理得： ， 将向右平移个单位长度后得到： ， 由是偶函数，可得， 整理可得：， 又，所以时，. 3．已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 【答案】 【分析】解法一：先根据辅助角公式得到，其中，再根据函数的平移及正弦函数的对称性求解即可； 解法二：先得到函数平移后的解析式，再结合题设可得，进而求解即可. 【详解】解法一：由，其中， 将函数向左平移个单位得到， 由于其关于中心对称，则， 即，，则，故． 解法二：函数向左平移个单位得到， 由于其定义域为，又关于中心对称， 故，即． 考点二 求三角函数的解析式 ◆题型4 由图像读 A、ω、φ（重点） 1．如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图中相邻最高点A、B的横坐标距离确定周期，结合点确定，再利用正弦函数的单调区间求的递增区间． 【详解】A、B是相邻最高点，故函数周期为从而 由点在图象上，得 又，所以． 因此． 因为系数，当时，正弦函数单调递增． 解得 故A符合. 2．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出的解析式，结合图象的平移变换可得的解析式，继而结合在区间上恰有两个零点，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期满足， 可得，则，则， 又因为，可得， 因为，则，所以，可得， 所以． 将的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当时，， 又在区间上恰有两个零点， 所以，解得，即的取值范围是． 3．已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.    【答案】 【分析】利用中点坐标公式得到点 C 坐标，借助二倍角公式转化为关于的一元二次方程，结合取舍求解. 【详解】由题意及图象，点对应的是最小值横坐标，故可设，，，则， 因B恰为AC的中点，则，即， 又B，C为图象上的两点，则，且， 则得，即， 也即，解得， 因，则. ◆题型5 由性质条件求解析式（难点） 1．已知函数（其中）的最小正周期为，且． (1)求，，的值； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1)，， (2) 【分析】(1)利用周期公式并代入即可求得； (2)利用正弦函数的单调性分别计算最大值最小值. 【详解】（1）因为最小正周期为，所以，则， 又因为， 即：，解得：，. （2）由第一问得， 当时，，， 所以，即：函数在上的值域为. 2．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先利用三角函数的最值、周期、对称轴性质求解的解析式； (2)再根据图像平移规则得到的表达式，最后用整体代入法求的单调递减区间. 【详解】（1） 由，的取值范围为，可知的最小值为， 结合题意最小值为1，得，解得； 由最小正周期，得，解得，此时； 因的图象关于直线对称，需满足， 解得， 又，取，得，因此. （2）将向左平移个单位长度，得， 由正弦函数的单调递增区间为， 令，得 ，解得。 因此的单调递减区间为. 考点三 三角函数的性质 ◆题型6 周期性与对称性 1．若函数，则（    ） A．的最大值为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式得，再逐一验证各选项对应的三角函数性质即可判断正误. 【详解】由辅助角公式化简函数： . 选项A：因为正弦函数的最大值为，因此 的最大值为， 显然，故A错误； 选项B：因为正弦函数在对称轴位置取得最值， 将代入得： ，为的最小值， 因此是的对称轴，故B正确； 选项C：令，解得 所以的单调递增区间为， 在区间内仅为增区间，为减区间，因此在上不单调递增，故C错误； 选项D：正弦函数关于点对称的充要条件是， 所以代入得： ， 因此不是的对称中心，故D错误. 2．设函数（其中，，是常数，，）. 若在区间上具有单调性，且，求的最小正周期. 【答案】 【详解】设的最小正周期为，因为，且在上单调， 和关于的对称中心对称，对称中心的横坐标为， 由题意，又因，并且注意到， 所以和关于的对称轴对称，对称轴为， 所以. 3．已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数 的图象的一条对称轴是直线 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合辅助角公式和诱导公式、三角函数的对称性求解函数的对称轴即可. 【详解】由辅助角公式可得：，其中， 其对称中心满足：，即， 函数 ，其中， 则函数的对称轴满足，即， 注意到，故， 则函数的对称轴为： , 令可得函数的图象的一条对称轴是直线. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，三角函数诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. ◆题型7 单调性与最值 1．已知函数，，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间. 【详解】因为， 所以 ， 由得， 所以函数的单调递减区间为. 2．已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（ ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 3．已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)，最小正周期为. (2)和. (3)最大值为，最小值为． 【详解】（1），的最小正周期为. （2）（法一）设，因为，所以， 因为，的单调递减区间是和， 令，得， 令，得， 所以，的单调减区间是和. （法二），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和. （3）， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令 ，把条件转化为相位区间内不含使 的点 ，由此求出 的可取范围，再判断各选项． 【详解】令 ． 当 时，． 因为 当且仅当 ，所以题设要求上述开区间内不含任何 ． 因此存在 ，使 ，且 ． 化简得 ． 结合 可知只有 或 时有解． 当 时，； 当 时，． 故 ． 又 ，所以 ； 而 ． 因此 均可能取到，只有 不可能取到． 2．设函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】D 【分析】A根据奇函数的定义可判断；B根据周期函数的定义可判断；C由特殊值，可判断；选项D由，根据基本不等式和辅助角公式可得. 【详解】对于A，因为的定义域为R， ，所以不是奇函数，A错误； 对于B，因为 ，所以的最小正周期不是，B错误； 对于C，因为， ， 而， 又因为，所以， 因为，，所以在区间上不单调，C错误； 对于D， ， 当且仅当时，取等. 故选：D 3．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断. 【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上单调递增，故A错误； ，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上是单调递减，在区间上是单调递增，故B错误； ，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间上单调递增，故C错误； ，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：D. 4．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，故A不符合题意； 对于B，为偶函数，周期，但其在上单调递减，故B不符合题意； 对于C，是奇函数，故C不符合题意； 对于D，是偶函数，周期，在单调递增，故D符合题意. 故选：D 二、多项选择题 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．当时，函数有4052个零点 【答案】BD 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，确定在上的最大值点判断A；举例说明判断C；确定函数的周期，借助二次函数求出值域判断B；求出在上的零点个数判断D. 【详解】对于A，当时，， 存在，使得，，而， 因此在上不单调递增，A错误； 函数的定义域为R， ，是函数的周期， 对于B，当时，，， 当时，，当时，， 在上的值域为，因此函数的值域为，B正确； 对于C，由，得，函数的图象关于直线不对称，C错误； 对于D，当时，由，得，而，则， 解得，即在长为一个周期的区间内只有1个零点，且为该区间的中点， 区间的长度为个周期，因此函数有4052个零点，D正确. 2．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．图象的一条对称轴为直线 B．若，则的最小值是 C．在区间上单调递增 D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】利用整体代入法求解对称轴判断A，利用换元法求解最小值判断B，利用整体代入法求解单调区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 当时，，因此直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，则求在上的最小值即可， 由正弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 则的最小值为，故B错误， 对于C，令，解得， 当时，单调递增区间为，则在上单调递增，故C正确， 对于D，将的图像向下平移个单位，得到， 再向左平移个单位，得到，而，故D错误. 3．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上的值域为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象一条对称轴 D．函数在上为增函数 【答案】CD 【分析】先根据三角恒等变换结合周期为得，然后由三角函数的图象和性质逐一判断四个选项即可. 【详解】，所以最小正周期，解得，则. 对于选项A：当时，，，则，故A错误； 对于选项B：，所以是图象的一个对称中心，故B错误； 对于选项C：，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：令，当时，，因为在上为增函数，所以函数在上为增函数，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 1．已知函数，若在上有且仅有4个零点，则正数的取值范围为__________ 【答案】 【分析】由可得，再利用正弦函数图象性质可得，解出即可得解. 【详解】，由为正数，则当时，， 由在上有且仅有4个零点， 故，解得. 所以正数的取值范围为 2．函数的值域是______． 【答案】 【详解】， 令，则， 所以函数可化为， 因为， 所以当时，，时，， 故值域为． 3．若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据可得出关于的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 当时，第二次使得， 因为函数在上无最小值， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 4．设函数，若的图象经过点，且在上恰有1个最高点，则实数的最小值为_________. 【答案】 【分析】先根据函数图象过点求得，再整体求得的范围，转化为函数在上恰有1个最高点，最后根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为的图象经过点， 所以，即，又，所以 所以 又因为，令，则， 因为在上恰有1个最高点， 所以函数在上恰有1个最高点， 所以，，解得，即实数的取值范围为. 所以，实数的最小值为. 四、解答题 1．已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.求的解析式、对称轴、对称中心. 【答案】，函数的对称轴为，；对称中心为，. 【分析】先根据函数的最值，最小正周期，对称轴求出函数的解析式，再利用函数的性质求对称轴与对称中心. 【详解】由题意可知，, 所以，， 所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 得，， 又因， 所以， 故， 令，， 得，， 故函数的对称轴为，； 令，， 得，， 故对称中心为，. 2．已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数，的单调区间； (3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期是，对称轴是， (2)在，上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）令，则，再由正弦函数的单调性可得函数的单调区间； （3）先由平移可得，再由正弦函数性判断的单调性及值域，结合函数图象可得所求的值范围. 【详解】（1）由 ． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． （2）因为，令，则，由正弦函数的性质， 当，时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以，时，单调递增； 同理可得在上单调递减； 因此在，上单调递增，在上单调递减． （3）由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 3．设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为， (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)，. 【详解】试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值. 试题解析：（1） ．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此. （2）由（1）知．当时，所以，因此．故在区间上的最大值和最小值分别为． 考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的图像与性质问题 常考题型·精准突破 考点一 图像的平移与伸缩变换 题型1 求平移与伸缩变换后的解析式（高频） 题型2 变换后的性质判断 题型3 由变换后的性质求参数（重点） 考点二 求三角函数的解析式 题型4 由图像读 A、ω、φ（重点） 题型5 由性质条件求解析式（难点） 考点三 三角函数的性质 题型6 周期性与对称性 题型7 单调性与最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 图像的平移与伸缩变换 ◆题型1 求平移与伸缩变换后的解析式（高频） 1．已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4．函数部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像沿着轴向右平移个单位，再将所得函数图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像． ①写出函数的解析式； ②当时，函数和的图像的交点为，试求的值． ◆题型2 变换后的性质判断 1．已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（     ） A． B．在区间上为增函数 C． D．且，则 ◆题型3 由变换后的性质求参数（重点） 1．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 2．已知，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，其中，则__________. 3．已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数_____． 考点二 求三角函数的解析式 ◆题型4 由图像读 A、ω、φ（重点） 1．如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，的部分图象如图所示，B，C为图象上两点，B恰为AC的中点，设，，则______________.    ◆题型5 由性质条件求解析式（难点） 1．已知函数（其中）的最小正周期为，且． (1)求，，的值； (2)求函数在上的值域． 2．已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间． 考点三 三角函数的性质 ◆题型6 周期性与对称性 1．若函数，则（    ） A．的最大值为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 2．设函数（其中，，是常数，，）. 若在区间上具有单调性，且，求的最小正周期. 3．已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数 的图象的一条对称轴是直线 A． B． C． D． ◆题型7 单调性与最值 1．已知函数，，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（ ） A．0 B． C．2 D． 3．已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 2．设函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 3．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 1．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．当时，函数有4052个零点 2．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．图象的一条对称轴为直线 B．若，则的最小值是 C．在区间上单调递增 D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 3．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上的值域为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象一条对称轴 D．函数在上为增函数 三、填空题 1．已知函数，若在上有且仅有4个零点，则正数的取值范围为__________ 2．函数的值域是______． 3．若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 4．设函数，若的图象经过点，且在上恰有1个最高点，则实数的最小值为_________. 四、解答题 1．已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.求的解析式、对称轴、对称中心. 2．已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数，的单调区间； (3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 3．设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为， (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $