专题7.2 余弦函数的图像与性质（八大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题7.2 余弦函数的图像与性质 题型一：五点法作图 题型二：求余弦型函数的定义域 题型三：求余弦型函数的周期 题型四：求余弦型函数的单调性与值域 题型五：求余弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 题型六：知图求解析式 题型七：根据余弦函数的性质，求ω的取值范围 题型八：综合应用 题型一：五点法作图 1．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 2．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若，，求的值； (3)请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数. 【答案】(1)， (2) (3)作图见解析，交点个数为 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间； （2）由已知条件求出的值，由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值； （3）作出两个函数在区间上的图象，可得出两个函数图象的交点个数. 【详解】（1）因为， 当时，， 由可得，由可得， 所以，函数在上的单调递增区间为，. （2）因为，可得， 因为，则， 所以，， 因此， . （3）当时，， 在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象如下图所示： 由图可知，曲线和在上的交点个数为. 题型二：求余弦型函数的定义域 1．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】根据对数函数真数大于0得到， 结合三角函数性质解三角不等式即可. 【详解】由题意得：，即， 则. 故选：C. 3．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求含cosx型的函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即. 解得， 所以函数的定义域. 故选：C. 4．，的定义域为____________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求含cosx型的函数的定义域 【分析】由，根据余弦函数在的图象可求得结果. 【详解】由得：，又，， 即的定义域为. 故答案为：. 5．函数的定义域是__________. 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】利用三角函数和对数函数性质求出函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则需，即， 当时，， 所以当，解得，， 所以函数的定义域是，. 故答案为：，. 6．函数f(x)＝的定义域为_______. 【答案】[kπ－，kπ＋]，k∈Z 【难度】0.65 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由根式性质可得|cos x|≥|sin x|，结合正余弦函数的性质及单位圆画出的范围，即可得定义域. 【详解】∵cos2x≥sin2x，即|cos x|≥|sin x|， ∴如下图示， f(x)的定义域为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 故答案为：[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 题型三：求余弦型函数的周期 1．函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求含cosx的函数的最小正周期、三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以， 得， 所以． 故选：A 2．（2025·广西·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上的最大值为 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上单调递减 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求含cosx的函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】对于A，利用周期公式求解即可；对于B，先由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出的最大值；对于C，将代入函数中验证；对于D，可得的范围，而此区间不是单调区间， 【详解】的最小正周期为，A错误， 的最大值为，B正确； ，C错误； 不单调，D错误. 故选：B 3．下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、求含cosx的函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的图象与性质对选项进行一一验证即可得到结果. 【详解】对于A，的图象是将的图象中轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为； 当时，，∴在上单调递减，故A不正确； 对于B，当时，，当时，，所以周期不是，故B不正确； 对于C，的最小正周期为，当时，，单调递增，故C正确； 对于D，的最小正周期为，当时，，不是单调递增的，故D不正确. 故选：C. 4．y=3-2cos2x 最大值是 ___________，y=|cosx|最小正周期是___________ . 【答案】 5 【难度】0.94 【知识点】求含cosx的函数的最小正周期、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）当时，函数取最大值5； （2）根据函数的周期得到函数y=|cosx|最小正周期. 【详解】（1）当时，，所以函数的最大值是5； （2）因为函数的周期是，所以函数y=|cosx|最小正周期是. 故答案为：5；. 5．已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是______. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】求含cosx的函数的最小正周期 【分析】利用余弦函数的周期公式求解即可 【详解】解：因为函数的最小正周期不小于2， 所以（），得， 所以正整数的取值为1， 故答案为：1 题型四：求余弦型函数的单调性与值域 1．（2025高一上·河南安阳）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域. 【详解】函数， 因为， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 故函数的值域为， 故选：A． 3．函数，的值域为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据余弦函数的性质求解：先确定的范围再得值域． 【详解】， ， ， 故， 即的值域是． 故答案为：． 4．（24-25高一上·天津河西·期末）函数在的值域是___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以函数在的值域是. 故答案为：. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、解余弦不等式、求cosx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 6．（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象分别可求，根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式， （2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解； （3）当时，，即利用整体代换法即可求解值域. 【详解】（1）由图知， 设的最小正周期为，则， ，解得． ． 又， 即，又， ． （2）令，· 得， 的单调递减区间为． （3）当时，， 即当时，取到最小值， 当时，取到最大值， ， · ， 即在区间上的值域为. 题型五：求余弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是，从而可求最小值. 【详解】由题得函数为奇函数，则，，故， 故当时，取得最小值． 故选：D. 3．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性 【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断. 【详解】对于①，由周期公式可得，所以函数的最小正周期为，所以，均是其周期.故①正确； 对于②，当时，，所以是其对称轴，故②正确； 对于③，将函数图象向左平移个单位得到，故③错误； 对于④，，，由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递减，故④正确. 综上，正确的有①②④. 故选：C. 4．（24-25高三上·天津·月考）将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于的性质即可. 【详解】根据二倍角公式，得， 再向右平移个单位长度，得到， 再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即， 对于①，的最小正周期,故①正确， 对于②，令,解得, 令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误， 对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确， 对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确. 故选：. 5．函数，且为偶函数，则___，图象的对称中心为________， 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据条件，利用的性质，得到，结合，即可得到；从而得到，再利用的性质，即可求出结果. 【详解】因为为偶函数， 则，得到， 又，所以， 得到， 由，得， 所以图象的对称中心为， 故答案为：， 6．已知函数，则对称轴方程为__________． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】令，，得，． 故答案为：，. 7．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，给出下列四个结论： ①的最小正周期可能是； ②在区间上有且仅有3条对称轴； ③的取值范围是； ④在区间上单调递减． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④ 【难度】0.65 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性 【分析】求函数的对称中心，由条件确定的范围，再结合余弦型函数的性质判断各命题. 【详解】由，，可得，， 所以函数的对称中心为，， 令，可得，， 因为，函数在区间上有且仅有个对称中心， 所以， 所以，故的取值范围是，③正确， 因为，，所以，①错误； 由，，可得，， 所以函数的对称轴为，， 令可得，，， 所以当时，只有两条对称轴，②错误； 当时，， 由函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减．④正确. 故答案为：③④. 8．已知函数，下列结论你认为正确的是______（填序号） ①函数是偶函数                 ②函数的最小正周期为 ③函数在区间上单调递增    ④函数的图像关于直线对称 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、诱导公式五、六 【分析】由已知，先对函数进行化简，得到，即可判断序号①正确；序号②，可通过进行判断；序号③，可根据，，从而判断函数的单调性；序号④，可计算，从而判断其是否是函数的对称轴. 【详解】对于函， 由于，故函数是偶函数，故①正确； 由知，它的周期等于，故②正确； 当时，，所以单调递增，故③正确； 令，则，则不是的对称轴，故④错误． 故选：①②③. 9．已知函数，有如下结论： ①的一个周期为；②的图象关于直线对称：③的一个零点为；④在单调递减.其中正确的是______. 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、求函数的零点 【分析】由余弦型函数的周期得最小正周期，代入函数式，函数值是最值可判断对称轴，代入新函数计算函数值可判断零点，利用余弦函数的单调性判断在区间的单调，由此可判断各命题． 【详解】，则函数的最小正周期是，①正确； 是最小值，是一条对称轴，②正确； ，时，，③正确； 时，，由余弦函数性质知函数在此范围内不单调，④错． 故答案为：①②③ 题型六：知图求解析式 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知函数的最小正周期满足， 所以最小正周期，故. 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以， 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知． 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．方程在区间上有5个不等实根 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先根据函数的部分图象，求出函数的解析式，再对每一选项逐一判断求解. 【详解】由题意图象相邻对称轴间的距离为，可得，因此，所以， 当时，，故. 由，得，因为函数的最大值为2，所以， 因此. A选项，，非最值，故不是图象的对称轴，A错误； B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，图象不关于原点对称，B错误； C选项，的单调区间长度为，不可能在长度为的区间上单调递增，C错误； D选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求cosx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据图象求出函数中的参数可得函数的解析式，然后根据余弦函数的性质逐项分析即可. 【详解】对于，由图像可知，设函数的最小正周期为， 由图像可知，所以，则，则，故正确，不满足题意； 对于，因为， 所以可得, 又因，，所以函数， 令，即，则时，， 所以的图像关于点对称，故正确，不满足题意； 对于，的单调递减区间为， 则令，解之可得， 令，则为递减区间， 而，故正确，不满足题意； 对于，的图像向左平移个单位，根据平移法则， 平移后函数为， 可得，所以是奇函数，故错误，满足题意. 故选： 4．（2026·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则______．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】根据正三角形的高与边的关系可得，再根据五点作图法可得，进而可得所求值. 【详解】由函数，函数的最大值为，即的高为. 又因为，由正三角形边和高的关系得，即，. 所以，根据五点作图可知，令，得， 所以，. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、诱导公式五、六 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 题型七：根据余弦函数的性质，求ω的取值范围 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、二倍角的余弦公式 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简，然后解出的单调递增区间求解即可 【详解】 因为在区间上单调递增，所以 解得 由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间 可以覆盖该区间，因此，解得 又，所以 2．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用余弦函数的单调性求解.由的范围求出，结合图像可以得到，列出不等式组，计算得解. 【详解】已知，，那么，所以， 因为余弦函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增，所以， 由此可得不等式组，可得，则的最大值为1. 故答案为：1. 4．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先由函数在区间内恰有两个零点，得，再整体判断的范围，从而确定零点为和，进而可得的范围. 【详解】，在该区间内恰好有两个零点的一个必要条件是，解得. 因为，所以， 所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点， 注意到，, 所以函数在区间内两个零点为和， 所以，解得. 故答案为： 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求cosx（型）函数的最值、求二次函数的值域或最值 【分析】根据余弦函数的最值性质，结合二次函数的最值性质、存在性和任意性的定义、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以，不一定，使得成立， 比如当时，，因为，所以不存在这样的； 当时，， 因为，，使得成立， 所以， 于是有或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 题型八：综合应用 1．（25-26高一上·河北唐山·期末）设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 【答案】(1)最大值3；最小值. (2)存在，对称轴方程为，. (3)645个. 【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式、求cosx(型)函数的值域、零点存在性定理的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）利用二倍角余弦公式得，，然后利用换元法，按照二次函数性质求解最值即可； （2）设函数的图象存在对称轴为，利用两角和差余弦公式及二倍角公式化简，利用方程恒成立得函数对称轴方程为，即可求解； （3）由（2）对称性推得是的一个周期，由（1）知的单调性，结合零点存在性定理，依据对称性和周期性可得当时，有且仅有一个零点，从而判断零点个数. 【详解】（1），. 设，则，且. 当时，单调递减；当时，单调递增. 且，，， 则当且仅当，即时，取得最大值3； 当且仅当，即时，取得最小值. （2）假设函数的图象存在对称轴， 设其为，则，有， 即， 即， 即， 整理，得， 当且仅当，即，时，上式对恒成立. 因此，的图象存在对称轴，对称轴方程为，. （3）由（2）得是的图象的对称轴，即， 用代换，则，即. 再由（2）得是的图象的对称轴，， 则对恒成立，则是的一个周期. 由（1）知当时，仅有， 再由是偶函数，当时，仅有， 因此，是的最小正周期. 由（1）知，当时，，单调递减，且. 当时，，单调递增，且，. 则当时，有且仅有一个零点，且. 依据对称性，当时，有且仅有一个零点. 依据周期性，当时，有且仅有一个零点. 注意到，，则. 易知，在区间，有644个零点. 下面分析在区间的情况：注意到， 且，， 则存在一个零点， 即在区间上存在一个零点. 故函数在区间的零点个数为645个. 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、解余弦不等式、函数与方程的综合应用 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．    3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求cosx型三角函数的单调性、诱导公式五、六、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解； （2）由题意，可得的最大值为，令，解方程即可求解； （3）将函数的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 令，解得， 故函数的单增区间为； （2）由题意，可得，即的最大值为， 令，即， 故，解得， 故取得最大值时的集合； （3）由， 可得， 即， 即， 即， 又根据题意，方程在上有四个不同的实数根， 即方程在上有四个不同的实数根， 令，则， 又，则，所以，即， 令，则，如图， 所以要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故， 则， 令则且， 故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故. 4．（2025·广东江门·模拟预测）若，且，则的值叫做的“区间长度”.已知函数. (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】(1)解集的“区间长度”为； (2)（i）或；（ii）的最大值为. 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、用和、差角的余弦公式化简、求值、利用cosx（型）函数的对称性求参数、解余弦不等式 【分析】（1）由定义直接计算即可； （2）（i）不等式解集为或，设的两个根为，设的两个根为，结合三角函数的性质计算可求得的值；（ii）由（i）可得，即，利用基本不等式，结合三角函数的性质计算可求得的最大值. 【详解】（1）当时，， 由，可得，故或， 又函数的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； （2）（i），，其中， 故不等式的解为或， 设的两个根为，其中，且， 设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即， 又，解得或，故或， 所以 ， 或 ，所以或， （ii）由（i）可得，即， 即， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 所以或， 由于，故，所以， 所以舍去，故， 所以， 因为，，所以， 由，可得， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 余弦函数的图像与性质 题型一：五点法作图 题型二：求余弦型函数的定义域 题型三：求余弦型函数的周期 题型四：求余弦型函数的单调性与值域 题型五：求余弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 题型六：知图求解析式 题型七：根据余弦函数的性质，求ω的取值范围 题型八：综合应用 题型一：五点法作图 1．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的取值范围. 2．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若，，求的值； (3)请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数. 题型二：求余弦型函数的定义域 1．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 4．，的定义域为____________． 5．函数的定义域是__________. 6．函数f(x)＝的定义域为_______. 题型三：求余弦型函数的周期 1．函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上的最大值为 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上单调递减 3．下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．y=3-2cos2x 最大值是 ___________，y=|cosx|最小正周期是___________ . 5．已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是______. 题型四：求余弦型函数的单调性与值域 1．（2025高一上·河南安阳）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数，的值域为______． 4．（24-25高一上·天津河西·期末）函数在的值域是___________. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 6．（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在区间上的值域． 题型五：求余弦型函数的奇偶性、对称性（对称中心与对称轴） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 4．（24-25高三上·天津·月考）将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数，且为偶函数，则___，图象的对称中心为________， 6．已知函数，则对称轴方程为__________． 7．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，给出下列四个结论： ①的最小正周期可能是； ②在区间上有且仅有3条对称轴； ③的取值范围是； ④在区间上单调递减． 其中所有正确结论的序号是________． 8．已知函数，下列结论你认为正确的是______（填序号） ①函数是偶函数                 ②函数的最小正周期为 ③函数在区间上单调递增    ④函数的图像关于直线对称 9．已知函数，有如下结论： ①的一个周期为；②的图象关于直线对称：③的一个零点为；④在单调递减.其中正确的是______. 题型六：知图求解析式 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．方程在区间上有5个不等实根 3．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的图像关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 4．（2026·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则______．    5．（24-25高一下·上海浦东新·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为_____. 题型七：根据余弦函数的性质，求ω的取值范围 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为_____. 4．（25-26高三上·江西景德镇·期末）若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为______. 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数，，，，使得成立，则实数a的取值范围是________. 题型八：综合应用 1．（25-26高一上·河北唐山·期末）设函数，. (1)求在区间的最值； (2)判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； (3)依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 4．（2025·广东江门·模拟预测）若，且，则的值叫做的“区间长度”.已知函数. (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $