培优03 函数的零点与方程问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 函数的零点与方程问题 常考题型·精准突破 考点一 零点个数与存在性 题型1 零点个数的判断 题型2 零点存在与所在区间（重点） 题型3 由零点个数求参数（难点） 考点二 多零点与比较大小 题型4 多零点之和与范围（高频） 题型5 零点大小比较 题型6 零点与图象交点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 零点个数与存在性 ◆题型1 零点个数的判断 1．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的零点个数是_________． ◆题型2 零点存在与所在区间（重点） 1．已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◆题型3 由零点个数求参数（难点） 1．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 2．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 3．若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 考点二 多零点与比较大小 ◆题型4 多零点之和与范围（高频） 1．（多选）已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 2．（多选）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 3．若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. ◆题型5 零点大小比较 1．已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点分别为，则下列说法错误是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． ◆题型6 零点与图象交点 1．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 2．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数恰有两个零点，则的取值范围是______. 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 1．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 2．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 1．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 3．已知，函数和的零点分别为m，n，则的取值范围为_____________. 四、解答题 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 2．已知二次函数． (1)已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若，，求解关于的不等式； (3)若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 3．已知函数，（）． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的零点与方程问题 常考题型·精准突破 考点一 零点个数与存在性 题型1 零点个数的判断 题型2 零点存在与所在区间（重点） 题型3 由零点个数求参数（难点） 考点二 多零点与比较大小 题型4 多零点之和与范围（高频） 题型5 零点大小比较 题型6 零点与图象交点 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 零点个数与存在性 ◆题型1 零点个数的判断 1．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 2．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 3．函数的零点个数是_________． 【答案】4 【分析】将函数零点转化为两函数和在同一坐标系下的交点个数，即可求得结果. 【详解】令，可得； 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图所示： 易知，当时，， 又因为为偶函数， 显然在轴左侧，因为，所以如上图所示在轴左侧两图象仅有一个交点， 在轴右侧，因为，因此在轴右侧两图象仅有三个交点， 因此两图象共有4个交点， 即函数的零点个数是4个. ◆题型2 零点存在与所在区间（重点） 1．已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按一次函数、二次函数分类，二次函数再分“重根在区间内”和“端点函数值异号（含端点验证）”两类讨论，最终合并所有符合条件的取值. 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 2．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B ◆题型3 由零点个数求参数（难点） 1．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 2．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】换元，将指数函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，利用二次函数判别式、对称轴、端点函数值，列出不等式组即可求解. 【详解】因为函数在区间上有两个不同的零点， 令，因为，则，则原函数等价为， 即在内有两个不同的根， 则，解得：. 3．若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 考点二 多零点与比较大小 ◆题型4 多零点之和与范围（高频） 1．（多选）已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】作出函数的图象，对于A，观察图象确定的范围即可判断；对于B，由图象可知，通过化简即可判断；对于C，由图象可知为方程即的两根，把转化为关于的函数即可判断；对于D，由BC选项的分析可知，，，故，利用均值不等式即可判断. 【详解】如图，作出函数的图象， 对于A，由图象可知，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则，正确； 对于B，由图象可知，即， 即，，正确； 对于C，由图象可知为方程即的两根， 所以，， 设，由于，所以，那么， 由于在上单调递减，故， 所以，正确； 对于D，由BC选项的分析可知，， 由图像可知即， 所以，那么 , 由于,当且仅当即时取等号， 所以，错误. 2．（多选）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先去绝对值，得到，画出对应图像，有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，对于BCD，结合，，，，验证选项即可. 【详解】由题可知，，绘制图象如下所示. 令,解得， 令,解得， 令，解得， 令,解得. 对于A，因为方程有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，故A错误. 对于B，,则,故B正确 对于C,， ，所以，C正确； 对于D，， 因为，， 所以，故，D错误. 3．若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. 【答案】 【分析】先由得函数的周期，再结合所给区间即一个周期上的解析式，从而可得函数在上的图象，再根据分三段讨论：①上，再分三段，及上判断与交点个数；②，判断与交点个数为；③，再分三段，及上判断与交点个数，从而可得所求函数的零点个数. 【详解】因为，所以为一个的周期函数， 又时，，区间的长度为，刚好是一个周期， 函数图象是开口向下的抛物线的一部分，顶点，两端点函数值为，通过周期平移可得函数在上的图象， 分区间讨论函数的零点： ①，在上单调递增， 在，上，与各有个交点， 在上，，而，所以与无交点. 因此，在上与共有个交点，即函数在上有个零点. 如图： ②，，解方程，即，解得（舍去）， 所以函数在上有个零点. ③，对数函数在上单调递增， 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 所以，在上与共有个交点， 因此函数在上有个零点. 如图： 综上①②③，函数在区间上有个零点. ◆题型5 零点大小比较 1．已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合零点定义可得函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，画函数图象，结合图象判断结论. 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得， 故选：D 2．已知函数的零点分别为，则下列说法错误是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性，和函数零点和方程解的关系，以及零点存在定理，判断三个函数零点各自范围，再逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】对于选项A，已知，则，所以A正确； 对于选项B，，的图像可看成，向右平移一个单位得到， 所以，的图像关于对称，且与垂直，相交于， 的零点分别为，即， 则，，即可以看成，的图像与的交点横坐标， 所以，所以B正确； 由题意三个函数零点可转换成，，函数图像与的交点横坐标大小比较，画出图像： 由图像可知，所以C正确，D错误； 故选：D. 3．已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． ◆题型6 零点与图象交点 1．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 2．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 3．若函数恰有两个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】令，进而将问题转化为的图象与有两个交点，再作出函数，数形结合求解即可. 【详解】令，则， 因为函数恰有两个零点， 所以函数的图象与有两个交点， 由时，， 故， 故作出函数图象如图所示， 由图可知，当时，函数的图象与有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为： 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出满足“函数存在零点”的的取值范围，再根据充份、必要条件定义判断即可. 【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解， 而，从而，因此， 反之，当时，有解， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件. 故选：C. 2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 3．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 4．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 二、多项选择题 1．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 2．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线与函数的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得. 【详解】如图，依题意可得，作出函数在上的图象，    设直线与的图象分别交于、、、四点， 显然有、、， 由知函数在区间上的图象关于直线对称， 故可得：. 对于A选项，由可得，，化简得， 由基本不等式得：，故A项正确； 对于B选项，当时，由可知其对称轴为直线，故， 又因，故 在时单调递增， 则有，故B项正确； 对于C选项，由可得，， 化简得， 故有，即C项错误； 对于D选项，依题意，且， 故， 又因函数在区间上的图象关于直线对称， 故， 又由B项分析知，于是， 故得：，故D项正确. 故选：ABD. 3．已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 1．已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 3．已知，函数和的零点分别为m，n，则的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】函数的零点为，可得，即， 因为，所以，可得， 当，时，，可得， 因此. 函数的零点为，可得，即， 令，可得， 代入可得， 当时，函数在上单调递增， 可得，代入可得，即， 代入可得，， 设函数， 在上单调递减，因此当时，在上单调递减，可得， 所以的取值范围为. 四、解答题 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 【答案】(1)存在，0 (2)存在，1 【详解】（1）令，解得， 所以函数存在零点，且零点为0. （2）当时，令，解得； 当时，令，解得（舍去）， 所以函数存在零点，且零点为1. 2．已知二次函数． (1)已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若，，求解关于的不等式； (3)若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (3)或 【分析】（1）根据题意得出，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法求解即可； （3）设函数的两个零点分别为、，由韦达定理得出，可知能被整除，故，然后逐一检验即可. 【详解】（1）当，时，， 因为函数有两个不同的零点，则，解得或， 故实数的取值范围是. （2）若，，则， 则所求不等式即为. ①当时，，解原不等式得； ②当时，，解原不等式得或； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式得或. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3）若，，，则， 因为函数的两个零点均为整数，设这两个零点分别为、， 由韦达定理可得，， 由题意可知，所以， 又因为，则能被整除，故， 若，由可得，，符合题意； 若，由可得，，不符合题意； 若，由可得，，符合题意. 综上所述，或. 3．已知函数，（）． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． (3) 【分析】（1）将恒成立不等式整理为关于的二次不等式，分别讨论与，利用二次函数恒非正的条件求的范围． （2）将因式分解为，比较两个零点与的大小，分情况写出解集． （3）令，由得；再令，将“四个不同实根”转化为关于的二次方程有两个不同正根，利用根与系数的关系和判别式确定的范围． 【详解】（1）由对任意恒成立，得对任意恒成立． 当时，上式化为，恒成立． 当时，要使二次函数恒不大于，需 解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由且，所以 当时，，解集为 当时，，解集为． 当时，，解集为 （3）令 因为，所以由基本不等式得． 原方程化为 令，则原方程有四个不同的实根，当且仅当关于的方程有两个不同的正根． 由根与系数的关系，需 由于，有，所以由得； 再由得，即． 同时还需判别式 当时，随的增大而减小． 因此存在使，当且仅当在时已有 解得 结合，得 反之，当时，取，则，上述方程有两个不同正根，原方程即有四个不同实根． 所以实数的取值范围为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $