专题05 第四章 指数函数与对数函数题型全归纳（专项训练32大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

专题05 第四章 指数函数与对数函数题型全归纳 常考题型·精准突破 2 考点一 指数运算 2 题型1 根式的运算（易错） 2 题型2 分数指数幂与根式的互化（易错） 2 题型3 指数幂的运算（重点） 3 考点二 指数函数 4 题型4 指数函数的概念 4 题型5 指数函数的图象（高频） 4 题型6 指数型函数的定义域问题 6 题型7 指数型函数的值域问题 6 题型8 指数(型)函数的单调性（高频） 7 题型9 比较幂值的大小或解指数不等式 7 题型10 指数函数性质的综合（重难） 8 考点三 对数 9 题型11 对数的概念 9 题型12 指数与对数的互化 9 题型13 运用换底公式求值或化简(重点) 9 题型14 对数运算性质的应用（重难） 10 考点四 对数函数 10 题型15 对数函数的概念 10 题型16 对数函数的图象（高频） 10 题型17 对数（型）函数的定义域（重点） 12 题型18 对数（型）函数的值域（重点） 12 题型19 对数型复合函数的单调性（高频） 13 题型20 比较指、对数值的大小或解对数不等式（重点） 13 题型21对数（型）函数的奇偶性 14 题型22 对数（型）函数性质的综合（重难） 14 题型23 指、对、幂函数性质的综合（重难） 15 考点四 函数的零点与方程的解 16 题型24 判断零点所在区间 16 题型25 根据零点所在区间求参数（范围） （高频） 16 题型26 函数零点（方程实根）个数问题（重点） 17 题型27 比较零点的大小（难点） 17 题型28 嵌套函数的零点问题（高频） 18 考点五 二分法 18 题型29 二分法的适用条件（易错） 18 题型30 二分法的应用 19 考点六 函数模型的应用 20 题型31 指数函数与对数函数的实际应用（高频） 20 题型32 拟合函数问题（难点） 21 综合攻坚·知能拔高 22 常考题型·精准突破 考点一 指数运算 ◆题型1 根式的运算（易错） 1．（26-27高一上·云南红河·开学考试）已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 2．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·广东深圳·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 分数指数幂与根式的互化（易错） 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． ◆题型3 指数幂的运算（重点） 1．（26-27高一上·全国·课后作业）化简（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 4．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，求的取值范围. （2）已知，求的值. 5．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 考点二 指数函数 ◆题型4 指数函数的概念（易错） 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. ◆题型5 指数函数的图象（高频） 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 6.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ ◆题型6 指数型函数的定义域问题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． ◆题型7 指数型函数的值域问题 1.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 5．求下列函数的定义域和值域； (1)；(2)；(3)；(4) ◆题型8 指数(型)函数的单调性（高频） 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·广西·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 4.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. ◆题型9 比较幂值的大小或解指数不等式 1．（26-27高一上·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 4.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. ◆题型10 指数函数性质的综合（重难） 1.（多选）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 2．(多选)（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 3．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 5．（26-27高二上·江西九江·开学考试）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 考点三 对数 ◆题型11 对数的概念（易错） 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 3．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段检测）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 ◆题型12 指数与对数的互化 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. ◆题型13 运用换底公式求值或化简(重点) 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． ◆题型14 对数运算性质的应用（重难） 1．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 2．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 3．计算下列各题： (1)； (2). (3). 4．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）计算： (1)求值：； (2)解方程：. 考点四 对数函数 ◆题型15 对数函数的概念（易错） 1．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则______． 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对于下列函数的性质，分别举出一个适合的函数的例子: (1)： ______________； (2)： __________． ◆题型16 对数函数的图象（高频） 1．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数与的图象关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 2．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北保定·阶段检测）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 5.（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． ◆题型17 对数（型）函数的定义域（重点） 1.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． ◆题型18 对数（型）函数的值域（重点） 1.（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 3．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 4．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 6．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. ◆题型19 对数型复合函数的单调性（高频） 1.（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 5．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． ◆题型20 比较指、对数值的大小或解对数不等式（重点） 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 7．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. ◆题型21对数（型）函数的奇偶性 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）为偶函数，则（    ） A．0 B． C． D．1 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则______. ◆题型22 对数（型）函数性质的综合（重难） 1.（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 2.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 3.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)解关于的不等式：. (2)，函数的最小值为，求实数的值. (3)若函数，问：是否存在这样的实数，使得函数的最大值为2？若存在，请求出的值;若不存在请说明理由. ◆题型23 指、对、幂函数性质的综合（重难） 1.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 2.（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)求； (2)设，求的最小值； (3)已知正实数满足，，求的值． 3．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 考点四 函数的零点与方程的解 ◆题型24 判断零点所在区间 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． ◆题型25 根据零点所在区间求参数（范围） （高频） 1．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 5．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的二次方程. （1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； （2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围. ◆题型26 函数零点（方程实根）个数问题（重点） 1．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型27 比较零点的大小（难点） 1．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． ◆题型28 嵌套函数的零点问题（高频） 1.（2026·安徽滁州·一模）已知函数则方程f(f(x))+3=0的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026高三·全国·专题练习）(多选题)已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 考点五 二分法 ◆题型29 二分法的适用条件（易错） 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． ◆题型30 二分法的应用 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 考点六 函数模型的应用 ◆题型31 指数函数与对数函数的实际应用（高频） 1．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（24-25高一下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 3．为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． ◆题型32 拟合函数问题（难点） 1.（2026·广西柳州·质检）如图记录了一种叫万年松的树生长时间(年)与树高之间的散点图.请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是 A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 3．（26-27高一上·全国·课后作业）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 4．（25-26高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4.（25-26高二下·江西九江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）某企业年全年投入研发资金亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（　　） （参考数据：） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 9．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（25-26高一上·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 13．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 三、填空题 14．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 16．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 18．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 19．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 20．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 21．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 22．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）（1） （2） （3）解关于方程：. 23.（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 24．（25-26高一上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 25．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数. (1)解方程； (2)当时，求该函数的值域； (3)若对于恒成立，求m的最小值. 26．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数的图像经过点和，幂函数的图像过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 27．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 28．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的图象经过点，． (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 第四章 指数函数与对数函数题型全归纳 常考题型·精准突破 2 考点一 指数运算 2 题型1 根式的运算（易错） 2 题型2 分数指数幂与根式的互化（易错） 3 题型3 指数幂的运算（重点） 4 考点二 指数函数 6 题型4 指数函数的概念 6 题型5 指数函数的图象（高频） 7 题型6 指数型函数的定义域问题 9 题型7 指数型函数的值域问题 10 题型8 指数(型)函数的单调性（高频） 12 题型9 比较幂值的大小或解指数不等式 14 题型10 指数函数性质的综合（重难） 15 考点三 对数 18 题型11 对数的概念 18 题型12 指数与对数的互化 19 题型13 运用换底公式求值或化简(重点) 20 题型14 对数运算性质的应用（重难） 21 考点四 对数函数 22 题型15 对数函数的概念 22 题型16 对数函数的图象（高频） 23 题型17 对数（型）函数的定义域（重点） 25 题型18 对数（型）函数的值域（重点） 26 题型19 对数型复合函数的单调性（高频） 28 题型20 比较指、对数值的大小或解对数不等式（重点） 30 题型21对数（型）函数的奇偶性 32 题型22 对数（型）函数性质的综合（重难） 33 题型23 指、对、幂函数性质的综合（重难） 36 考点四 函数的零点与方程的解 39 题型24 判断零点所在区间 39 题型25 根据零点所在区间求参数（范围） （高频） 40 题型26 函数零点（方程实根）个数问题（重点） 41 题型27 比较零点的大小（难点） 43 题型28 嵌套函数的零点问题（高频） 45 考点五 二分法 49 题型29 二分法的适用条件（易错） 49 题型30 二分法的应用 50 考点六 函数模型的应用 52 题型31 指数函数与对数函数的实际应用（高频） 52 题型32 拟合函数问题（难点） 54 综合攻坚·知能拔高 58 常考题型·精准突破 考点一 指数运算 ◆题型1 根式的运算（易错） 1．（26-27高一上·云南红河·开学考试）已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【详解】 ，， ∴， 即的化简结果为. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 3．（26-27高一上·广东深圳·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知 ， 因为，因此 ； 而 ， 因为，因此 ， 所以 原式. ◆题型2 分数指数幂与根式的互化（易错） 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC ◆题型3 指数幂的运算（重点） 1．（26-27高一上·全国·课后作业）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 3．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 4．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）（1）已知，求的取值范围. （2）已知，求的值. 【详解】（1）由，，得，，则， 即的取值范围为； 由，得，而，则， 即的取值范围为. （2）由，得，即， 而， 则. 5．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 考点二 指数函数 ◆题型4 指数函数的概念（易错） 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 2．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】/ 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. ◆题型5 指数函数的图象（高频） 1．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 3．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 5．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 6.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. ◆题型6 指数型函数的定义域问题 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·河南·阶段检测）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. ◆题型7 指数型函数的值域问题 1.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 2．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 4．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 5．求下列函数的定义域和值域； (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)定义域为，值域且；(2)定义域为R，值域；(3)定义域为，值域；(4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． ◆题型8 指数(型)函数的单调性（高频） 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 3．（26-27高一上·广西·期中）已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___． 【答案】 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数 单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 4.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)递增区间是，递减区间是. 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式求出定义域，结合二次函数、指数函数求出值域. （2）利用二次函数、指数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. 【详解】（1）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为； ，当且仅当时取等号，即， 因此，， 所以的值域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. ◆题型9 比较幂值的大小或解指数不等式 1．（26-27高一上·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取满足， 对于A，此时，故A错误； 对于B，此时，故B错误； 对于D，，故D错误； 对于C，因为函数在上单调递增，且， 所以，故C正确. 2．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 3．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 4.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 5.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是. ◆题型10 指数函数性质的综合（重难） 1.（多选）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 2．(多选)（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．若的解集为 D．的零点为1. 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 3．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 【答案】(1)或；(2)， 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 4．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 5．（26-27高二上·江西九江·开学考试）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 【详解】（1）由且，得， 则函数为奇函数； （2）在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. (3)由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 考点三 对数 ◆题型11 对数的概念（易错） 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 3．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段检测）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. ◆题型12 指数与对数的互化 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. 【答案】 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 ◆题型13 运用换底公式求值或化简(重点) 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 因为，所以， 又，， 所以，即属于. 故选：A 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. ◆题型14 对数运算性质的应用（重难） 1．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 【答案】 【详解】原式. 2．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【答案】 【详解】原式化为 . 3．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【详解】（1） （2） （3） 4．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）计算： (1)求值：； (2)解方程：. 【详解】（1） ； （2）由，得， 解得，解得，解得. 考点四 对数函数 ◆题型15 对数函数的概念（易错） 1．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 2．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则______． 【答案】2 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 3．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对于下列函数的性质，分别举出一个适合的函数的例子: (1)： ______________； (2)： __________． 【答案】 【详解】因为，所以函数可以为， 因为，所以函数可以为. ◆题型16 对数函数的图象（高频） 1．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数与的图象关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【详解】因为，所以函数与的图象关于x轴对称． 2．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 3．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 4．（24-25高一上·河北保定·阶段检测）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 5.（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. ◆题型17 对数（型）函数的定义域（重点） 1.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. ◆题型18 对数（型）函数的值域（重点） 1.（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 2．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）已知函数，则值域为 ________ 【答案】 【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 6．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. ◆题型19 对数型复合函数的单调性（高频） 1.（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 3.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. ◆题型20 比较指、对数值的大小或解对数不等式（重点） 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以． 2．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 4．（25-26高二下·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 5．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 6．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 6．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 ◆题型21对数（型）函数的奇偶性 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 【答案】C 【详解】奇函数，则有， 根据奇函数的定义可知，， 得， 即， 所以对定义域中的x恒成立， 可得，即， 此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 所以或. 故选：C. 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）为偶函数，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以， 即， 不恒为零， ， 解得． 故选：A． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，若，则______. 【答案】 【详解】根据题意，函数， 则， 则， ，则. ◆题型22 对数（型）函数性质的综合（重难） 1.（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 （2）解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 2.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 3.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)解关于的不等式：. (2)，函数的最小值为，求实数的值. (3)若函数，问：是否存在这样的实数，使得函数的最大值为2？若存在，请求出的值;若不存在请说明理由. 【详解】（1）关于的不等式， 对数函数的真数必须大于0，因此需满足：，解得. 当时，在定义域上单调递增，因此不等式等价于：     ，解得. 当时，在定义域上单调递减，因此不等式等价于： ，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）， 定义域. 令内层函数， 这是开口向下的二次函数，对称轴， 因此当时，取得最大值，即. 已知，外层函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值： ，得 ，即. （3）不存在， 定义域： 令内层函数，. 设（），则， 得， 当且仅当，时，等号成立， 因此，即，有最小值，无最大值. 当时，外层函数在上单调递增，无最大值，不符合要求； 当时，外层函数在上单调递减，因此当取最小值时， 取得最大值，即， 令，得，，与矛盾. 综上所述，不存在这样的实数，使得函数的最大值为. ◆题型23 指、对、幂函数性质的综合（重难） 1.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 2.（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)求； (2)设，求的最小值； (3)已知正实数满足，，求的值． 【详解】（1）由题意得函数与的图象关于直线对称， 则与互为反函数，所以． （2）由题意得， 因为，所以设，则， 得到， 则的最小值为． （3）由，有， 则，解得； 由，有， 得到，即，故， 从而，设，， 设，则，， 则，因此， 故在上为增函数， 由，有，所以，， 因此 3．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 考点四 函数的零点与方程的解 ◆题型24 判断零点所在区间 1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 3．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. ◆题型25 根据零点所在区间求参数（范围） （高频） 1．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 【答案】 【详解】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 5．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 【详解】（1）已知，定义域为，， 偶函数恒成立，代入得：， 化简得，该式要对所有实数恒成立，仅当时满足， 此时函数变为，符合偶函数定义； 奇函数恒成立，代入得：， 化简得，方程没有实数解，不可能对所有恒成立，因此不可能是奇函数， 综上：当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由得，移项得： 方程有两个不同的正实根，则， 化简得，因式分解得，解得或， 且，解得，，解得， 综上，取交集得，即实数的取值范围是. 6．（2019高三·全国·专题练习）已知关于x的二次方程. （1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； （2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围. 【详解】（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得   ，故. （2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组   ， 于是有. ◆题型26 函数零点（方程实根）个数问题（重点） 1．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 2．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 3．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 4．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 6．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，解得，又，所以， 则是函数的一个零点，由，解得， 要使得有两个不同的零点，则． ◆题型27 比较零点的大小（难点） 1．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得，故选：D ◆题型28 嵌套函数的零点问题（高频） 1.（2026·安徽滁州·一模）已知函数则方程f(f(x))+3=0的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定函数的性质，作出函数的图象，解方程时，先确定的解，并确定解的范围，然后再研究的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用． 【详解】作出函数的图象，时，（时取等号），上递增，上递减，上递增，由图象可知有三个解，不妨设，由于，因此， 于是有3个解，有1个解，有一个解，共5个解． 故选：C． 2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 3.（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 4.（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解， 所以 故选：D 5．（多选）（2026高三·全国·专题练习）(多选题)已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　） A．在内一定有零点 B．在内一定有零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】CD 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 考点五 二分法 ◆题型29 二分法的适用条件（易错） 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 3．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. ◆题型30 二分法的应用 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 2．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 5．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得 考点六 函数模型的应用 ◆题型31 指数函数与对数函数的实际应用（高频） 1．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 2．（24-25高一下·山东·学业考试真题）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（    ） A．6 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 3．为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【详解】（1）从图中可以看出：当时，，则方程中的， 所以从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式． （2）由题设，则，即， 因为，则函数单调递减， 故，所以， 因此从药物释放开始至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级来描述声音的大小：把一个小的声压(帕)作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是(分贝)．分贝值在60以下为无害区，为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值与声压的函数关系式； (2)某地声压，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了，试求此时鸟巢内的声压是多少． 【详解】（1）由已知得 (其中)． （2）当时， 由已知条件知小于，环境优良． （3）由题意，得，则， 所以. ◆题型32 拟合函数问题（难点） 1.（2026·广西柳州·质检）如图记录了一种叫万年松的树生长时间(年)与树高之间的散点图.请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析可知，如果为A选项，则A选项函数过点，而该函数图像不过，故错误；对于B选项，可知该函数图像类似于对数函数图像，故正确；C选项，该函数递增很快，不符合这个图像，故错误；D选项，同样函数递增很快，不符合这个图像，故错误，故选B． 2．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【详解】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为，2026年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据：） 【详解】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 4．（25-26高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 2．（25-26高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】， 所以. 故选：B 4.（25-26高二下·江西九江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 所以. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C. 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）某企业年全年投入研发资金亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（　　） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设经过年全年投入的研发资金开始超过亿元，则，那么 ，取最小正整数,对应年份为. 即该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是. 8．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 9．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 11．（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 二、多选题 12．（25-26高一上·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 【答案】ABC 【详解】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又，则无解，故无解，D错. 13．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，B错误； C，由上知，，所以，C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，D正确. 三、填空题 14．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 15．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 16．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 18．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 19．（25-26高二下·福建福州·期末）若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 20．（25-26高二下·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 21．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 四、解答题 22．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）（1） （2） （3）解关于方程：. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 所以， 所以或舍，所以， 所以. 23.（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 24．（25-26高一上·广东汕头·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： (1)当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【详解】（1）对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 25．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数. (1)解方程； (2)当时，求该函数的值域； (3)若对于恒成立，求m的最小值. 【详解】（1） 由， ，或，解得，或. （2）， 令，，对称轴为， 当时，即， ， 因为， 所以，所以该函数的值域为； （3） ， 令， 因为，所以， 因此由， 显然函数在时，单调递增， 所以函数在时，单调递增， 要想在时恒成立， 只需， 所以m的最小值为. 26．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数的图像经过点和，幂函数的图像过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 【详解】（1）的图像经过点和， ，， 是幂函数，， 的图像过点，，，， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 设，则转化为， 即，解得或， ，，，， 关于的方程的解为. 27．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由，则，所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由，得， 即，即① 则，即② 当时，方程②的解为，经检验符合题意； 当时，方程②的解为，经检验符合题意； 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 因为方程②的两根和中只能有一个满足要求，所以； 综上，的取值范围是，或或； （3）根据复合函数单调性可知在区间上单调递减， 又函数在区间上的最大值与最小值的差不超过， 即，即，即. 设，则，， 当时，， 当时，， 因为函数在上单调递减，所以， 所以当，即时，， 当时，有最大值，所以， 所以实数的取值范围是. 28．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的图象经过点，． (1)证明：函数的图象是轴对称图形； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围． 【详解】(1)由题意可知，解得． 所以．易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形． （2）由（1）可知，， 不等式可化为，即， 化简得：，解得， 又，所以，解得， 故原不等式的解集为． （3）由题意可知，，得，即， 令，则, 要使函数在区间上有两个零点， 即与图象在上有两个交点， 又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时有最小值，在或时有最大值， 作出图象如图， 所以，解得． 所以m的取值范围为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 第四章 指数函数与对数函数题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 指数运算 ◆题型1 根式的运算（易错） 1．【答案】B 【详解】 ，， ∴， 即的化简结果为. 2．【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 3．【答案】C 【详解】易知 ， 因为，因此 ； 而 ， 因为，因此 ， 所以 原式. ◆题型2 分数指数幂与根式的互化（易错） 1．【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 2．【答案】A 【详解】． 故选：A 3．【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4．【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC ◆题型3 指数幂的运算（重点） 1．【答案】B 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 2．【答案】A 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 3．【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 4．【详解】（1）由，，得，，则， 即的取值范围为； 由，得，而，则， 即的取值范围为. （2）由，得，即， 而， 则. 5．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 考点二 指数函数 ◆题型4 指数函数的概念（易错） 1．【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 2．【答案】/ 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 3．【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. ◆题型5 指数函数的图象（高频） 1．【答案】D 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 2．【答案】B 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 3．【答案】A 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 4．【答案】D 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 5．【答案】 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 6.【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. ◆题型6 指数型函数的定义域问题 1．【答案】D 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．【答案】C 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 3．【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. ◆题型7 指数型函数的值域问题 1.【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 2．【答案】A 【详解】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 3．【答案】A 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 4．【答案】 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 5．【答案】(1)定义域为，值域且；(2)定义域为R，值域；(3)定义域为，值域；(4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． ◆题型8 指数(型)函数的单调性（高频） 1．【答案】A 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 2．【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 3．【答案】 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数 单调递减，且当时，， 得 ，解得， 即实数的取值范围为. 4.【详解】（1）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为； ，当且仅当时取等号，即， 因此，， 所以的值域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. ◆题型9 比较幂值的大小或解指数不等式 1．【答案】C 【详解】取满足， 对于A，此时，故A错误； 对于B，此时，故B错误； 对于D，，故D错误； 对于C，因为函数在上单调递增，且， 所以，故C正确. 2．【答案】B 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 3．【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 4.【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 5.【答案】 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是. ◆题型10 指数函数性质的综合（重难） 1.【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 2．【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，A正确. 对于B，因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，B错误. 对于C，由A可知是奇函数， 则即为， 由B可知在上单调递增，则，解得，C正确. 对于D，因为单调且，则由可得， 即，故的零点为1，D正确. 3．【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 4．【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 5．【详解】（1）由且，得， 则函数为奇函数； （2）在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. (3)由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 考点三 对数 ◆题型11 对数的概念（易错） 1．【答案】C 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 3．【答案】AB 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. ◆题型12 指数与对数的互化 1．【答案】D 【详解】由题可得，所以. 2．【答案】C 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．【答案】 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 ◆题型13 运用换底公式求值或化简(重点) 1．【答案】C 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 2．【答案】A 【详解】因为， 因为，所以， 又，， 所以，即属于. 故选：A 3．【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 4．【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. ◆题型14 对数运算性质的应用（重难） 1．【答案】 【详解】原式. 2．【答案】 【详解】原式化为 . 3．【详解】（1） （2） （3） 4．【详解】（1） ； （2）由，得， 解得，解得，解得. 考点四 对数函数 ◆题型15 对数函数的概念（易错） 1．【答案】C 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 2．【答案】2 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 3．【答案】 【详解】因为，所以函数可以为， 因为，所以函数可以为. ◆题型16 对数函数的图象（高频） 1．【答案】A 【详解】因为，所以函数与的图象关于x轴对称． 2．【答案】B 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 3．【答案】D 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 4．【答案】A 【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 5.【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. ◆题型17 对数（型）函数的定义域（重点） 1.【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2．【答案】C 【详解】由，解得，所以函数的定义域是. 故选：C. 3．【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. ◆题型18 对数（型）函数的值域（重点） 1.【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 2．【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 3．【答案】 【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 4．【答案】 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 5．【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 6．【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. ◆题型19 对数型复合函数的单调性（高频） 1.【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2．【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 3.【答案】C 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 4．【答案】 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 5．【答案】 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. ◆题型20 比较指、对数值的大小或解对数不等式（重点） 1．【答案】A 【详解】因为，所以． 2．【答案】D 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 3．【答案】D 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 4．【答案】D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 5．【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 6．【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 7．【答案】 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 ◆题型21对数（型）函数的奇偶性 1．【答案】C 【详解】奇函数，则有， 根据奇函数的定义可知，， 得， 即， 所以对定义域中的x恒成立， 可得，即， 此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 所以或. 故选：C. 2．【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以， 即， 不恒为零， ， 解得． 故选：A． 3．【答案】 【详解】根据题意，函数， 则， 则， ，则. ◆题型22 对数（型）函数性质的综合（重难） 1.【详解】（1）解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 （2）解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 2.【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 3.【详解】（1）关于的不等式， 对数函数的真数必须大于0，因此需满足：，解得. 当时，在定义域上单调递增，因此不等式等价于：     ，解得. 当时，在定义域上单调递减，因此不等式等价于： ，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）， 定义域. 令内层函数， 这是开口向下的二次函数，对称轴， 因此当时，取得最大值，即. 已知，外层函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值： ，得 ，即. （3）不存在， 定义域： 令内层函数，. 设（），则， 得， 当且仅当，时，等号成立， 因此，即，有最小值，无最大值. 当时，外层函数在上单调递增，无最大值，不符合要求； 当时，外层函数在上单调递减，因此当取最小值时， 取得最大值，即， 令，得，，与矛盾. 综上所述，不存在这样的实数，使得函数的最大值为. ◆题型23 指、对、幂函数性质的综合（重难） 1.【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 2.【详解】（1）由题意得函数与的图象关于直线对称， 则与互为反函数，所以． （2）由题意得， 因为，所以设，则， 得到， 则的最小值为． （3）由，有， 则，解得； 由，有， 得到，即，故， 从而，设，， 设，则，， 则，因此， 故在上为增函数， 由，有，所以，， 因此 3．【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 考点四 函数的零点与方程的解 ◆题型24 判断零点所在区间 1．【答案】D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 2．【答案】A 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 3．【答案】B 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. ◆题型25 根据零点所在区间求参数（范围） （高频） 1．【答案】B 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 2．【答案】4 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 3．【答案】1 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 4．【答案】 【详解】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 5．【详解】（1）已知，定义域为，， 偶函数恒成立，代入得：， 化简得，该式要对所有实数恒成立，仅当时满足， 此时函数变为，符合偶函数定义； 奇函数恒成立，代入得：， 化简得，方程没有实数解，不可能对所有恒成立，因此不可能是奇函数， 综上：当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由得，移项得： 方程有两个不同的正实根，则， 化简得，因式分解得，解得或， 且，解得，，解得， 综上，取交集得，即实数的取值范围是. 6．【详解】（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得   ，故. （2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组   ， 于是有. ◆题型26 函数零点（方程实根）个数问题（重点） 1．【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 2．【答案】D 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 3．【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 4．【答案】B 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 5．【答案】D 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 6．【答案】B 【详解】解：由，解得，又，所以， 则是函数的一个零点，由，解得， 要使得有两个不同的零点，则． ◆题型27 比较零点的大小（难点） 1．【答案】B 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 2．【答案】B 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 3．【答案】D 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得，故选：D ◆题型28 嵌套函数的零点问题（高频） 1.【答案】C 【分析】确定函数的性质，作出函数的图象，解方程时，先确定的解，并确定解的范围，然后再研究的解，这样可得结论．注意数形结合思想的应用． 【详解】作出函数的图象，时，（时取等号），上递增，上递减，上递增，由图象可知有三个解，不妨设，由于，因此， 于是有3个解，有1个解，有一个解，共5个解． 故选：C． 2．【答案】A 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 3.【答案】A 【详解】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 4.【答案】D 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解， 所以 故选：D 5．【答案】CD 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 考点五 二分法 ◆题型29 二分法的适用条件（易错） 1．【答案】B 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 2．【答案】C 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 3．【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. ◆题型30 二分法的应用 1．【答案】D 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 2．【答案】A 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 3．【答案】C 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 4．【答案】C 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 5．【答案】 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得 考点六 函数模型的应用 ◆题型31 指数函数与对数函数的实际应用（高频） 1．【答案】C 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 2．【答案】C 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 3．【详解】（1）从图中可以看出：当时，，则方程中的， 所以从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式． （2）由题设，则，即， 因为，则函数单调递减， 故，所以， 因此从药物释放开始至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 4．【详解】（1）由已知得 (其中)． （2）当时， 由已知条件知小于，环境优良． （3）由题意，得，则， 所以. ◆题型32 拟合函数问题（难点） 1.【答案】B 【详解】分析可知，如果为A选项，则A选项函数过点，而该函数图像不过，故错误；对于B选项，可知该函数图像类似于对数函数图像，故正确；C选项，该函数递增很快，不符合这个图像，故错误；D选项，同样函数递增很快，不符合这个图像，故错误，故选B． 2．【答案】A 【详解】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 3．【详解】（1）若选择模型， 则，故函数模型为； 若选择模型， 则，故函数模型为. （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择函数模型更合适． 设至少个月后蒲草覆盖面积能达到，. 令，两边取常用对数可得， 即， 则至少14个月后，即至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到. 4．【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】A 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 2．【答案】B 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 3．【答案】B 【详解】， 所以. 故选：B 4.【答案】D 【详解】，，， 所以. 5．【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C. 7．【答案】D 【详解】设经过年全年投入的研发资金开始超过亿元，则，那么 ，取最小正整数,对应年份为. 即该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是. 8．【答案】D 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 9．【答案】B 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 10．【答案】A 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 11．【答案】D 【详解】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 二、多选题 12．【答案】ABC 【详解】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又，则无解，故无解，D错. 13．【答案】ACD 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，B错误； C，由上知，，所以，C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，D正确. 三、填空题 14．【答案】/ 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 15．【答案】 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 16．【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 17．【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 18．【答案】/ 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 19．【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 20．【答案】 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 21．【答案】 【分析】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 四、解答题 22．【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 所以， 所以或舍，所以， 所以. 23.【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 24．【详解】（1）对于,因不合题意，舍去； 对于为递减函数，这与表格中不符，舍去； 故选择. 根据提供的数据，有解得 所以当时，. （2）国道路段长为50km，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为100km，所用时间为， 所耗电量为 下证函数在单调递减. 任取，且， , ,故, 即,,故在单调递减, ，此时，, 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 25．【详解】（1） 由， ，或，解得，或. （2）， 令，，对称轴为， 当时，即， ， 因为， 所以，所以该函数的值域为； （3） ， 令， 因为，所以， 因此由， 显然函数在时，单调递增， 所以函数在时，单调递增， 要想在时恒成立， 只需， 所以m的最小值为. 26．【详解】（1）的图像经过点和， ，， 是幂函数，， 的图像过点，，，， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 设，则转化为， 即，解得或， ，，，， 关于的方程的解为. 27．【详解】（1）当时，， 由，则，所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由，得， 即，即① 则，即② 当时，方程②的解为，经检验符合题意； 当时，方程②的解为，经检验符合题意； 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 因为方程②的两根和中只能有一个满足要求，所以； 综上，的取值范围是，或或； （3）根据复合函数单调性可知在区间上单调递减， 又函数在区间上的最大值与最小值的差不超过， 即，即，即. 设，则，， 当时，， 当时，， 因为函数在上单调递减，所以， 所以当，即时，， 当时，有最大值，所以， 所以实数的取值范围是. 28．【详解】(1)由题意可知，解得． 所以．易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形． （2）由（1）可知，， 不等式可化为，即， 化简得：，解得， 又，所以，解得， 故原不等式的解集为． （3）由题意可知，，得，即， 令，则, 要使函数在区间上有两个零点， 即与图象在上有两个交点， 又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时有最小值，在或时有最大值， 作出图象如图， 所以，解得． 所以m的取值范围为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $