培优02 指对数函数的图象与性质（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 指对数函数的图象与性质 常考题型·精准突破 考点一 指数函数与对数函数的图象 题型1 图象的识别（高频） 题型2 含参数的图象判断 题型3 图象过定点与渐近线（重点） 题型4 图象与不等式 题型5 图象交点与定点应用（难点） 题型6 由图象定参数范围 考点二 指数与对数的大小关系 题型7 比较大小 题型8 解不等式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数函数与对数函数的图象 ◆题型1 图象的识别（高频） 1．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   ◆题型2 含参数的图象判断 1．在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． ◆题型3 图象过定点与渐近线（重点） 1．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 2．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 3．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. ◆题型4 图象与不等式 1．不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 2．若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． ◆题型5 图象交点与定点应用（难点） 1．设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 2．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. ◆题型6 由图象定参数范围 1．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 考点二 指数与对数的大小关系 ◆题型7 比较大小 1．已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型8 解不等式 1．已知，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．已知的定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意，的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 4．已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题 1．下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 2．下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 3．已知（，，，），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 1．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． 2．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 3．已知函数（且），若，则的值为__________． 4．已知函数，则______；若实数满足，则______． 5．若时，，则a的取值范围是___________． 四、解答题 1．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 2．已知函数（）. (1)证明：的图象过定点. (2)若，函数，求的最值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指对数函数的图象与性质 常考题型·精准突破 考点一 指数函数与对数函数的图象 题型1 图象的识别（高频） 题型2 含参数的图象判断 题型3 图象过定点与渐近线（重点） 题型4 图象与不等式 题型5 图象交点与定点应用（难点） 题型6 由图象定参数范围 考点二 指数与对数的大小关系 题型7 比较大小 题型8 解不等式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数函数与对数函数的图象 ◆题型1 图象的识别（高频） 1．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 2．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 3．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B ◆题型2 含参数的图象判断 1．在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 2．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. ◆题型3 图象过定点与渐近线（重点） 1．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 2．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 3．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. ◆题型4 图象与不等式 1．不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 【答案】 【分析】设，将问题转化为对任意的恒成立，分离参数得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则原不等式转化为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又因为， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 2．若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： ◆题型5 图象交点与定点应用（难点） 1．设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】设直线的方程为，求得坐标得到，取中点，连接，根据为等边三角形表示出点坐标，再根据点在函数的图象上得到关于的方程，求出进而可得点的纵坐标. 【详解】设直线的方程为， 由解得，所以， 由解得，所以， 所以, 如图，取中点，连接，    因为为等边三角形，所以，，， 则， 所以，解得， 所以点纵坐标为， 故答案为： 2．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 3．已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. ◆题型6 由图象定参数范围 1．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      2．若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 考点二 指数与对数的大小关系 ◆题型7 比较大小 1．已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 2．已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得到，再结合且的单调性即可求. 【详解】如图所示，且， 由，则，则， 从而，，即， 设，注意到， 易知在上单调递减， 于是. ◆题型8 解不等式 1．已知，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和一次函数的性质作出函数图象，结合图象即可求解. 【详解】由可得，即， 构造函数， 由于，且，结合对数函数以及一次函数图象特点， 在同一直角坐标系中做出的图象如图所示： 两函数图象交于点， 故当时，. 2．若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数图象与性质并结合大小一一代入选项分析即可. 【详解】对A，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方， 则，则，则单调递减，与图象不符合，故A错误； 对B，由图知，因为在直线右侧图象在图象下方， 则，则，则单调递增，与图象不符合，故B错误； 对C，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方， 则，则，则单调递增，与图象符合，故C正确； 对D，同C分析得单调递增，与图象不符合，故D错误. 故选：C. 2．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以 是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 3．已知的定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意，的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】B 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得. 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故，解得，故B错误； 对于C，， 因为与无关，所以，解得， 可得，故定点为，故C正确； 对于D，若在上单调递减， 只需要在上单调递减， 且，即，解得，故，故D正确. 4．已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据图象关系，求解出变量关系，进而将转化，通过基本不等式即可求解. 【详解】由题可知，因为轴，因此， 则，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 二、多项选择题 1．下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 【答案】CD 【分析】对于A，先分离常数，再根据函数图象平移可得的对称中心；对于B，由指数函数的定义可确定的范围；对于C，使时，恒成立即可；对于D，利用复合函数单调性即可判断. 【详解】对于A：函数，其图象是由先向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得到的，故图象的对称中心由平移到了，故A错误； 对于B：由指数函数的定义可知，且，解得或且，故B错误； 对于C：由题可知，当时，恒成立，当时，无限趋于0，但恒大于0，因此，故C正确； 对于D：，得，解得，故，易知在上单调递增，的单调递增区间为，由复合函数单调性遵循“同增异减”可知的单调递增区间是，故D正确. 故选：CD. 2．下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 3．已知（，，，），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的性质可得，再分类讨论，由指数函数、对数函数的单调性求解. 【详解】由，可得，即， 所以，与具有相同的单调性， 当时，与同为增函数，故B满足； 当时，与同为减函数，故D满足. 故选：BD 三、填空题 1．若函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合指数函数的单调性，根据函数图象不经过第四象限的要求列不等式，求解后确定实数的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，恒成立. 当时，函数在上单调递减，且当时，， ，即，解得或，又，则； 当时，函数在上单调递增，则需当时，， ，即，解得或， 又，所以. 综上，． 故答案为： 2．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 3．已知函数（且），若，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用指数函数与对数函数的运算性质计算的值. 【详解】， 两边同取对数得，即，解得：． 故答案为： 4．已知函数，则______；若实数满足，则______． 【答案】 【分析】第一空：根据函数解析式代入计算即可；第二空：画出函数的图象，根据图象结合条件分析即可得出结论. 【详解】因为，所以， 所以； 函数的图象如图所示： 由图象可知，则， 且，又， 所以，即， 所以，解得， 所以， 故答案为：；. 5．若时，，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过分析函数和的图象关系，结合已知条件确定的取值范围. 【详解】构造函数和，若使时，成立，只需函数的图象在图象下方，所以. 令，则， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 1．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 2．已知函数（）. (1)证明：的图象过定点. (2)若，函数，求的最值. 【答案】(1)证明： 当时，有， 故的图象过定点； (2)最大值，无最小值 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）利用复合函数单调性可得在上单调递增，再求出值域后即可得解. 【详解】（1）略； （2）若，则， 因为在上单调递增，在上单调递增 所以在上单调递增， 又， 则， 故有最大值，无最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $