第4章 指数与对数（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D C D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．10 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）；（6分） （2）（方法一）； （方法二）． （13分） 16．（15分） 【解析】（1） ；（5分） （2） ；（10分） （3）.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意，得（k是大于0的常数）．（4分） （2）由，，得， 所以，所以函数解析式为．（10分） （3）因为， 所以当时，． 所以气体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）①对数的换底公式：； ②；（5分） （2）①；（10分） ②因为，则， 所以.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：令，则. ，. .（8分） （2）由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（    ） A．4 B． C．1 D．2 2．已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 3．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 10．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 13．已知，则__________． 14．已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 16．（15分） 化简与计算： (1)； (2)； (3). 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 18．（17分） （1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（    ） A．4 B． C．1 D．2 2．已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 3．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 10．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 13．已知，则__________． 14．已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 16．（15分） 化简与计算： (1)； (2)； (3). 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 18．（17分） （1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第4章 指数与对数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】 2．已知，且，则（    ） A．4 B．6 C．15 D．36 【答案】B 【解析】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 3．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 5．设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，可得，因为为正数，所以，则 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因 ， 得 ，则 ，又， . 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 10．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于AB，因，从而，又为正实数，可得，故A正确 类似上述方法可得，从而，故B正确； 对于CD，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故C正确； 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故D错误. 11．若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A，，则，可得， 当且仅当时，等号成立，此时，，可得，故A错误； 对于B，由于，所以，由， 当且仅当等号成立，即，，故B正确； 对于C，由可得，，故， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由可得，，所以， 当且仅当时，即，时，等号成立. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______. 【答案】/ 【解析】. 13．已知，则__________． 【答案】10 【解析】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 14．已知，则的最小值为__________． 【答案】/ 【解析】， 由基本不等式得：， 又，故， 所以。 当且仅当时取等． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【解析】（1）； （2）（方法一）； （方法二）． 16．（15分） 化简与计算： (1)； (2)； (3). 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 17．（15分） 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为，求该气体能过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量（精确到）． 【解析】（1）由题意，得（k是大于0的常数）． （2）由，，得， 所以，所以函数解析式为． （3）因为， 所以当时，． 所以气体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为． 18．（17分） （1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【解析】（1）①对数的换底公式：； ②； （2）①； ②因为，则， 所以. 19．（17分） （1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：令，则. ，. . （2）由，得. ，则. 由，得. 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $