第4章 指数与对数全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章指数与对数全章高频重点题型突破参考答秦 基础拿分 高频题型归纳 题型一、根式化筒求值 1.【解析】(1)由题意知x≤2，则V2-4x+4-3-=x-2-3-=2-x-3+x=-1。 [7x-3≥0 (2)由题意知13-7x≥0 所以x多从而)= 21 2. 【解析】(1)3-π<0，“3-m=3-=元-3. (2)原式=Vx-y}+y-x=x-+y-x, 当x之y时，原式=x-y+y-x=0, 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x), 0,x2y 所以，原式=120y-x),x<y 3.【解析】(1)(-8)+3-=-8+元-3=π-11. (2)(a-b5+6-a)-a-b+b-d, 因为b>a,所以b-a=b-a, 所以a-b5+b-a=a-b+b-a=0. (3)I+V2)3+-V2)=1+V2+2-1=2W2 4.【解析】(1)-5)=-5 (2)-9)2=81=3=3 (3)a≤21-2a≥0， .4a2-4a+1=2a-1=1-2a}=31-2a. (4)原式=V(x-y}+y-x=x-+y-x 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x≥y时，原式=x-y+y-x=0； 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x) 0,x≥y -2+y+iy-x)2(y-x).x<y 题型二、分数指数幂与根式互化 5.【解析】(1)V匠=a3a2=ai=a6: 11 (2)①a2+a2=3两边平方得，a+a1+2a2,a2=9, 故a+a1=9-2=7； ②a+a=7两边平方得a2+a2+2=49, 故a2+a2=49-2=47: @a+后-(o+右儿a-o右}30-0=18 2313 6.【解析】(1)原式=a3.a2=a6 (2)原式 w)-(w)oi-.oi-8-oii.b-oo 3原式-[(@+b]=(a+号=(a+6)月 7.【解析】(1)先把根式化成分数指数幂的形式，再根据幂的运算法则求解：(2)按照系数与系数相 乘除、同底数幂与同底数幂相乘除的方法进行计算即可， 试题解析： w. (2)原式=4×(-3)×(- 均， 6 =2y3 8【解折1（山）66=0=片-品： aaa-VaVad-Vavai-Va-i-Va-ai: 232313 (3)3aa=a3.a2=a=a6; 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 (4)(aa= 2.1373 (ab)2=a3.a2.b2=a3b2=ab2 题型三、指数幂的化简与求值 9.【解析】(1)原式= ++-3+ 10049 37 3+ =100 16 48 2原式-2=品-=6 31 b10a4 10【1原武（品-产信-1=号0+1=5 (2)原式= 42.423333 100 25 25 11.【解析】 y阁w 2【解折】少s-a+6g) =2-2+3× =4-849 (2)(a2b）(-4ab)-(12ab2c) =(-4÷12）a244.b312c1=-a (3)a5.5+25=ai5+2a=d+2=1+16=1n. 题型四、对数的概念与求值 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.【解析】(1)由l1og2(log,x)=0,得log,x=2°=1， 故x=5=5. (2)由log2(gx)=1,得lgx=2,故x=102=100 (3)因为1o8(2+）=x, 所以(2-=2+1=(2-)，所以x= 4.【解新】因为吧，=-3，所以得)=27 (2)因为1g.49=4,可得x=49, 又因为x>0且x≠1，得x=√7 (3)因为log[log,(log2x=0,得log,(log2x)=1, 则log2x=7,所以x=2. (4)因为log2log,(log2x1=1,可得log,(log2x)=2, 则l0g2x=9,所以x=2”. 3 15.【解析】(1)1g27=x,g=27,即32=3，·2x=3:解得x=2 ②4,5---1 (3)log2(og4x)=0,.log4x=2°=1，x=4=4. (4)1og,(g)=1,.lgx=3=3,x=103=1000. 16.【解析】(1)设log,25=x 则5=25=52 x=2 即log,25=2 (2)根据对数的性质可知log41=0； 1 (3)设h-=x e 则e--e e .x=-1 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0h (4)设g0.001=x 则10=0.001=103 .x=-3 即lg0.001=-3 题型五、对数式与指数式互化 17.【解析】(1)因为1og16=4,所以有：2=16. (2)因为10g127=-3,所以有： =27 (3)因为l1og5x=3,所以有：（5=x. (4)因为53=125，所以有：1og,125=3. 圆为2-2所以有：bs写- (0因为 -2 =9,所以有：1og19=-2. 18.【解析】(1)53=125台1og,125=3: 12 (24-6 b- (4)1og:27 =3台3= 27 19【解折】（山由5立=石 11 =店可得1g52 (2)由l1og54=4,可得(2)=4. (3)由lg0.001=-3,可得103=0.001. ④由32=g,可得g)2； 1 日=16，可利s,16=2, 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (6)由lg127=-3,可得 1 =27； (7)由l0g.64=6,可得V)=64. 1 11 20.【解析】(1)由57=5可得1og,5-2 (2)由10g24=4,可得(2)=4. (3)由g0.001=-3,可得103=0.001. 题型六、对数综合运算 2L.【解析】(1)1og,9=1ogp32 3’2g5+lg4=g25+g4=1g10=2,23=,2=2 F28=3, 2 2 故原式+2 3 =2 (2)由2°=27得a=l0g227=310g23,由3=16得b=10g,16=41og,2, 所以ab=12log23log,2=12 2.【解折】（少原式=lo8255+2万1og5+25'=-. 1 （②方法-：原式=e,35-6e,9+g7-bg号=ls(5x1x写}-6e,25=g5-2 方法二：原式=log,(5×7)-2(1og,7-log3)+log7-(2l0g,3-1og,5) logs5+logs 7-2l0gs 7+2l0gs3+logs7-2l0g 3+logs 5=2l0gs5=2 23.【解析】()0gx-lg3=lg5-g(x-10, 方程中的，应满足x>10原方程可化为8V =gx-01 昏0助-咖-5=0 解得x=15或x=-5(舍去)，经检验x=15是原方程的解， (2)1gx+21ogox=2,方程中的x应满足x>0且x≠0： 原方程可化为gx+ 218=2,即1gx+lgx-2=0: 1+lgx 令t=gx,则2+t-2=0,解得t=1或=-2， 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 即lgx=1或1gx=-2:·x=10或x=100: 1 经检验x=10,x=100都是原方程的解 24.【解析】(1)因为18=5，所以b=10gs5, og%45=1og1s45-logs(5×9》_logn5+l0ge9a+b 所以 =1og18361ogs9 242-log1892-a; (②)1bg,15-g15_lg6x)_lga6x9_1gm5+1oga9_6+20a+2h 2 logns 9 logns9 1og 9 10g 9=2d 7116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 题型一：整体法的运用 25.【解析】做这类试题要根据已知求值，需要把要求的解析式化为x+x)表示的形式，将x+x=3代 入计算得到但在转换过程中用到了配凑法，一定要注意前后的等价性 试题解析：(x2+x2}=x+x+2=5又x2+x2>0x2+x2=V5.4分 (x-x)2=(x+x)2-4=5.:x-x1=±V5 x2-x2=(x+xx-x)=±5x3=±3V5.10分 成 =±。.12分 3 说明：若只求对一个值扣4. 考点：1.二次函数的运算：2配凑法的思想方法 26.【解析】由a2-a2=1, 两边取平方得a+a-2=l,即a+a=3 两边再取平方，得a2+a2=9-2=7, a'+a-13-12 故d2+a37=7 27.【解析】4+a= a+ax a+ax(a+a）(a2-l+a2） 1 1 a2r-1+a(d+a*}-3 a=V2+1, √2-1 2152-可-1 所以+a= 1 a+a(a+a-3W2+1+V2-y-3- 28.【解析】最小幂换元，设a3=x,b3=y,则条件化为x2+y2=4, ..m=x3+3xy2,n=y +3x2y, 所以原式=(r+3y2+y+3xyj+(x2+3r2-y-3x月 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[(x+y(x2-y+y）+3(x+yj+[(x-y2+y+y）-3(x-y]月 =(x+y2+(x-y) =2(x2+y2)=8 题型二：换底公式 29.【解析】由题意得2=m,即a=log2m,5=m,即b=logm, 11 2+1=4 1 代入号+6=4得1og,m1ogm a b 由换底公式得logm2+logm5=4,即logm(2×5)=4, 所以10gm10=4,则m=104. 30.【解析】(1)2=21ogV27+lg25+lg4-72+(-9.8)° =21og332+lg(25×4)-2+1 =2×3+1g100-2+1 2 =3+2-2+1 =4 (2)设a=log2m,b=logm 1 1 因为。+方0=4，所以 11 =4 由换底公式得1ogm2+logm5=4,即logm(2×5)=4,所以1ogm10=4,则m=104. 3引.【解析】（①对数的换底公式：log,b-bac>0,ac≠。 log。a ②lbg6-e,女-ne2-bg,blab>alm≠0)片 log。am mlog a m （②0x=log,5og,7-1bg,16=log,5g7g,16-lo8,16=4, log2 5 l0g2 7 ②因为3°=4=12，则a=10g312,b=10g412」 log,1log,12=log 3+log4=logn (3x)-logp 12-1. 1,11,1 所以y=二+ 32.【解析】(1)由己知，a=log21000,b=1og1000, 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 1 1 所以a+61og,10001og,1000 g2+log5-log10- 3 (2)因为32x=4y=12,所以2x=1og,12°=61og,12,解得x=3og12, 3y=1og412=61og412,解得y=21og412, 3,2.3,21 1 3l0g,12log,12=log,12log,12+g4log12=1. 题型三：恒等式的证明 33.【解析】设3=4=6=k,则k>1. .'a=log3 k,b=loga k,c=logk, 2+1-2+,1=21og43+1og44=loge9+l1og:4=log:36=21og:6, ∴ab log;k log4.k 22 而c1og6k -=2l0gk 6. 212 “。+方。得证 34.【解t折】（山当=31时，D=P×og,0+3D=5w,D扩大20：即5W×0+20%=6m, 因t6=mxg,0+冷，即lh8,0+骨-6， E R-63 则+22，所以 ②当及=R+R时.D=Wxg0:含)， 而Wxog,0++wx1og,0+RR)=w1og,0+X1+Re】. E E+R E E+R +20+-1+会++g1++宽+R2 EE+R E(E+R) E(E+R) =1+ER+R+ER+RR=1+E(R+R)+R(R+R)-1+8+k E(E+R) E(E+R) E 所以wg.0++Px0z叶车Rwg.d++)正D,即原等式成 E E 0,a+m 35.【解析】(1)由题意可得：b>4>0:m>0时，6<6+m aa+m a(b+m)-b(a+m)ab+am-ba-bm m(a-b) 证明如下：bb+mb(b+m) b(b+m)b(b+m)' 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b>a>0,m>0,∴.a-b<0,b+m>0, 0,90,88阳 b(b+m) aa+m bb+m (2)由(1)知b>a>0:m>0时，66+m,即。>a+m: 9 则log23=lg3 g3+e3e2,4 = 1g21g2+g2 3 Ig3Ig3 l0g34, ∴.log23>log34, 又1og4=g4、g4+g 16 含4183>lg2=l0g,5 =1g31g3+g3 4=1g41g4 .".log,4>log5 综上所述，log23>log34>log45. 36.【解析】(1) 运明：生0知：呢，兴=gg=8,=m-a, 将@代入上式，有1og.0=1ogM-1og,N,得证， M 1_log22」 (2)由题设，a1og2V6 s2.青-8 所以2+月g62+1o83=1o8662 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 1.【答案】C 【解析】依题意，3”>0,9>0， 由2x+y=1,得9+3y=32+3y≥232x=25, 当且仅当3y=32:即y=2x=2时取等号， 得到9+3的最小值为2V3。 2.【答案】B 【解析】对于A,-8的三次方根为-2，A错误： 对于B,由(-2°=-32，得-2是-32的五次方根，B正确： 对于C,81的四次方根是+3，C错误； 对于D,1的平方根是±1，D错误. 3.【答案】A 【解析】若na=lhb,则a=b>0: 当a=b≤0时，lha=lnb不成立， 故“na=nb”是“a=b”的充分不必要条件. 4.【答案】B 【解析】由3=2得a=log,2, b=l0g27 4= e4. 所以3”0=323e4=3_1 2 5.【答案】D 【解析】10+”=10"×10）)=3x8=24 6.【答案】B 5a2-1,.则2g,a=- 【解析】由1og,a1og,27=6得1og,a31og。36,则1og,a3 6 即2g,a-50ga-12=0,得oga=4或loga=-3 2 12/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则。==81或a=3立5 9 7.【答案】C k+2-0,得a+0:b+0'c≠0 【解析】由abe 令3°=4=6=1(t>0且1≠1)，则a=l1og,1,b=log41,c=log61: :+2-k+L2-3+h42h6_3+h4-2h6-0. a b c log,t logt logt Int Int Int Int t>0且t≠1，∴nt≠0. ∴kln3+ln4-2ln6=0,即ln3+n4-ln36=0: 3x4=n32=0,即32-1解得k=2 .In 36 8.【答案】A 【解折】由g,=3吧，x=4可得lg,m-写logn 4 1.17 og,m+log,n=log,mn==12 所以1og=，1-12 log,mn 7. 9.【答案】BD 【解析】-0.)°=0.1，A错误； (g2+1g2g25+(g5}=(g2)+2g2g5+(g5)}=(g2+g5=1,B正确： 冬c e2h2=e22=2e2,D正确. 10.【答案】ACD 【解析】对于A,因为正实数a,b满足n(a+b)=ha+lhb=lhab,所以ab=a+b,a>0,b>0, a=b 所以ab=a+b≥2、b,解得b≥4当且仅当 ab=a+b' 即a=b=2时，ab取到最小值4，故A正确： 对于B,由b=a+b得方+。1， 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所a0=(a+4-5 a 4b Vb a +5=9, b a a=3 当且仅当1 即3时， 取到最小值，故B错误： +1h=2 a+4b 9 对于C,因为ab=a+b,a>0,b>0,所以(a-(b-)=ab-a-b+1=1, 1.1=2, Va-1 b-1 「11 a-1b-1 当且仅当11 即 时，11 取到最小值，故C正确： 6+。1 a=b=2a-1'b-1 对于D,1+L=a+b+2=a+b+2=b+2-1+2,由A选项可知 a+1'b+1(a+1)b+)ab+a+b+12ab+12'2ab+1 ab≥4 3 3 由函数y=+2在 1 上单调递减可知，1+2 1 2 2'2x+1[4,+0) 1+2=2 22ab+122×4+13 1+1<2 所以a+i+b+≤3，故D正确 故选：ACD 11.【答案】ACD 【解析】因为10°=5,10=20，所以a=lg5,b=lg20, 对于A,a+b=g5+g20=lg100=2,所以A正确： 对于B,b-a=g20-lg5=g4<lg5,所以B错误： 对于C,ab=lg20-lg5<lg25-lg5=2(g5,所以C正确： 对于D,10g8=g8-3g2-30g20-1g10_36-)-36-3 1g252lg5 21g5 2a 2a,所以D正确. 故选：ACD 12.【答案】4 【解析】因为log2(a,）=log2b.log2a=log,(b,）, 所以ae,b=b20,2a2=d+xg;a=de+a8=2a8x 因为a>0且a≠1，所以l0g2x=2,解得x=4. 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.【答案】2026 【解析】由V(2025-a}+a-2026=a,得2025-a+a-2026=a, 因为a≥2026，所以va-2026=2025,故a-(2025)}'=2026. 14.【答案】18 【解析】由题可知a=log2k,b=log3k, 因为k≠1，所以a≠0，b≠0， 2+1=1 又2a+b=ab:所以6+a 2,1 所以og,k+iog,kl,即21og:3+1bg:2=1 所以logk18=1,即k=18 15.【解析】原式=g}+6-s5+325-2 V2-1 =log222+3年-1g5+ （2- --lg2 V2-1 =-2+4-(g5+g2)+(V2-) =2-1+√2-1 =√2 16.【解析】由a,b同号，可得ab>0,a2-2ab-9b2=0,可得a2-2ab+9b2, 所以lg(a2+ab-6b2）-lg(d2+4ab-3b2） =g(3ab+3b2)-Ig(6ab+6b2) +-吃e2 =1g 6(ab+b2） .【解5】ca20g,3+g3e2+g,2-=2警2+g2儿g2+ =2x51og23×3log2_5×lg3xlg2_5 6 22lg2lg32; ②因为a+a=7,所以(a+a=d2+a2+2=49,故a2+a2=47: 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -{ejoj-c+aa-小-3-is, n为--jejg-e*a+ 所以3-g 3 (a-ai(ata'+l) =a+a1+1=7+1=8 a2-a2 a2-a2 16/16学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章指数与对数全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型一、根式化筒求值 题型二、分数指数幂与根式互化 题型三、指数幂的化筒与求值 题型四、对数的概念与求值 题型五、对数式与指数式互化 题型六、对数综合运算 目核心提升： 重难题型归纳 题型一：整体法的运用 题型二：换底公式 题型三：恒等式的证明 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 题型一、根式化筒求值 1.(1)若V2-x有意义，化简V2-4x+4-3-: 6 (2)已知y=V7x-3十V3-7x+2,求实数x及 2.求下列各式的值： (①)3-)： (2②)Vx2-2gy+y2+30-7 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.求下列各式的值： ((-8+3-π)： (2a-+b-a)°(b>a): (3)0+2)3+0-V2)1 4.化简与求值： (1)3(-5)3: (2)-9y2: 4d-4a+1la≤2： (④Vx2-2y+y2+0-x) 题型二、分数指数幂与根式互化 5.(2026高一河北衡水阶段检测)(1)用分数指数幂表示云V匠： (2)已知a2+a2=3,求： ①a+a: ②a2+a2: 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): ①)a: (2)(a)2.Vab: 3)d+6 7.化简下列各式（式中字母均为正数）. b as 四aV (结果为分数指数幂)， 8.用分数指数幂表示下列各式(>0，b>0): (1)a.a; (②VaNa√a: 3)aa: ④(avab. 题型三、指数幂的化简与求值 9.化简下列各式： 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 0.5 +0.r2+210 27 -3+37 a ②派 10.求值与化简. w0en-()g}-5-: g (0.102(ab3 1.化脑下式：气 - 12.化简与计算： s-a+) (2)(a2b3）(-4a'b)=(12ab2c）: 8a5.a5+25(a>0 4/15 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、对数的概念与求值 13.求下列各式中的x值. (1)log2(1og5x)=0. (②)log2(gx)=1: 3)lo8a(N2+1=x 14.求下列各式中x的值. (1)10g1x=-3 (2)log.49=4: (3)logs[log (1og2x)]=0. (4)log2[log;(log2x)]=1 15.求下列各式中x的值： (1)log,27=x; 1 (2②122+1x: (3)log2(log4)=0; (4log3(1gr)=1. 16.·求下列各式的值： (1)1og,25: 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1ogo41; g (4)lg0.001 题型五、对数式与指数式互化 17.将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4. (2)10g,27=-3 (3)l0gsx=3. (4)53=125: - 18.将下列指数式与对数式互化. (1)53=125: 回6 (3)10g,8=-3 2 =-3 (④l1og27 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.将下列指数式与对数式进行互化. (2)10g54=4 (3)lg0.001=-3 o3-g 0°=16： (⑥1g,27=-3 ()10g564=-6 20.将下列指数式与对数式进行互化. s-店 (2)10g24=4 (3)g0.001=-3 题型六、对数综合运算 21.(2026高三·四川眉山阶段检测)完成下列2个小题： (1)化简1l0g279+2lg5+lg4-2-o823 (2)已知2=27,3=16，求ab的值 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.求值： ()log52w5(13-23): ()log,35-2loglog,7-log,1.8. 23.解下列方程： @(hgx-le3)-lg5-lg(-10) (2)lgx+2logIoxx=2 24.已知log189=a,18=5,求： (1)log3645(用a,b表示) (2)log,15(用a,b表示). 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 题型一：整体法的运用 11 25.(2026高一·湖北期中)己知 4g=g求的监 a+a-1 26.化简与求值：已知a-a=1求d+a的值. a"+a* 27.已知a=V2+1,求a+ax的值. 22 12 21 28.正实数a,b满足a+b3=4若m=a+3a6,n=b+3a6,求(m+n)5+(m-n)5的值， 题型二：换底公式 11 29,若2=5中=m且。方4，求m 30.(2026高一海南海口阶段检测)已知9=21ogV27+lg25+lg4-7,2+(-9.8° 9/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求Q的值： 11 四若2=5=m:且。方0，求m 31.(2026高一·陕西西安·阶段检测)(1)18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出 “对数源出于指数”·为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数 ①请写出对数的换底公式： ②请依据对数的换底公式证明logb-”1og,b(a,b>0,a≠l,m≠0)】 m (2)请分别计算下列两小问中x,y的值： log2 5.logs 7.l0g7 16=x: ②实数a,b满足3”=4=12，+} +=y a b 11 32.(2026高一全国周测)(1)已知2=50=1000：求a6的值： 3.2 (2)已知32=4=126，求x+y的值 题型三：恒等式的证明 2+1-2 33.己知a,b,c均为正数，且3=4=6，求证：。+6-e: 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(2026高一·陕西安康期末)某人工调控的河流的河道容量上限D可以用如下公式测算： D=m×®g,+,其中g是河道宽度，R是平均径流量，E是平均燕发显. E R 若初始情况下3引，在不改动河道宽度的前提下，要使D扩大：求E应控制的值 ②已知径流量R=R+R:证明：D=m×1og,0+分)+W×1og,+R) E+R 35.(2026高三·山西长治阶段检测)己知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假 设全部溶解)，糖水变甜了， ()请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：log23,1og,4,1og45 36.(2026高一·福建龙岩·阶段检测)阅读下面材料： 由于a"a=at"(a>0）, 设a"=M(M>0),d=N(N>0),① 于是MN=am+".② 根据对数的定义，由①得m=log,M,n=log。N,③ 由②得log.(MN)=m+n④， 把③代入④得loga(MW)=log,M+log,N. D伤照上述过程，证明：lg。-lgM-og,N, 11 ②已知2=3=v6,求。+方的值 (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 1.已知2x+y=1,则9+3y的最小值为() A.3 B.4 c.25 D.1+V 2.下列说法正确的是() A.负数的n次方根不存在，其中n>l,n∈N* B.因为(-2°=-32，所以-2是-32的五次方根 C.因为34=81，所以81的四次方根是3 D.1的n次方根是1，其中n>l,n∈N* 3.(2026天津二模)“lna=lnb”是“a=b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2026高一浙江期中)已知3°=2,10g24=b,则3-3b=() A ®. C.1 D.4 5.(2026高一…浙江杭州期中)若10"=3,10”=2，则10m+3m=() A.18 B.27 C.36 D.24 1 1 5 6.(2026:陕西西安·模拟预测)已知1og,a1g,27=-6,则a=（） 1 A.81 c.3v5 D.81 k,12 7.(2026福建福州三模)已知3=4中=6，若。+6。=0，则k=（） A.0 B.1 C.2 D.3 8.(2026天津南开·二模)己知mn≠1，log=3,1ogmx=4,则log=() 12 7 1 A.7 B.12 c.7 1 D.12 9.(多选题)(2026·黑龙江哈尔滨·二模)以下运算正确的是() A.(-0.1)°=0.1 B.(lg2)2+lg2lg25+(1g5)2=1 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 C. 1648 81=27 D e2+ln2=2e2 10.(多选题)(2026高一辽宁·开学考试)已知正实数a,b满足h(a+b)=ha+lhb,则() A.ab≥4 B.a+4b≥12 c+22 1+1<2 D.a+1+b+13 11.(多选题)(2026高一江苏南京期末)设a,b为实数，若10°=5,10=20，则() A.a+b=2 B.b-a>1g5 C.ab<20g5)2 D.10gs8=3b-3 2a 12.若a*+x0=2a2(a>0,且a≠)，则x= 13.已知a满足V(2025-a}+Va-2026=a,则a-20252的值为 14.(2026高一·贵州贵阳阶段检测)已知2=3=k(k≠1)且2a+b=ab,则实数k的值为 20二7-30%2. 15.(2026高一云南昆明阶段检测)计算：10g,0.25+3-8-1g5+32 16.设a,b同号，且a2-2ab-962=0,求lg(a+ab-6励）-lg(a2+4ab-3b2)的值， 17.(2026高一陕西咸阳阶段检测)(1)求2(log43+log831og,2+1og,2)的值： 1 (2)已知a2+a2=3,求下列各式的值： 3 3 a2-a2 a2+2933:D工 a2+a2 a2-a2 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15/15西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章指数与对数全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型一、根式化筒求值 题型二、分数指数幂与根式互化 题型三、指数幂的化筒与求值 题型四、对数的概念与求值 题型五、对数式与指数式互化 题型六、对数综合运算 目核心提升： 重难题型归纳 题型一：整体法的运用 题型二：换底公式 题型三：恒等式的证明 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 题型一、根式化筒求值 1.(1)若V2-x有意义，化简V2-4x+4-3-; 6 (2②)已知=7x-3+3-7x+2,求实数x及 【解析】(1)由题意知x≤2，则V2-4x+4-3-=x-2-3-x=2-x-3+x=-1。 [7x-3≥0 (2)由题意知13-7x20 所以 级雨=当治 2.求下列各式的值： ①)3-)： 1/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)Vx2-2y+y+30-x 【解析】(1)3-π<0,3-)°=3-元=π-3 (2)原式=V(x-y)}+y-x=x-y+y-x, 当x≥y时，原式=x-y+y-x=0 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x), [0,x≥y 所以，原式= 2(y-x),x<y 3.求下列各式的值： (1)-8)+3-m): (2)(a-b+b-a°(b>a): (3③)31+V23+0-V2)9 【解析】(1)(-8°+3-)=-8+π-3=π-11. (2)a-b3+b-a)=a-b+b-d, 因为b>a,所以b-d=b-a, 所以(a-b)5+6-a)=a-b+b-a=0. (3)1+V2)3+0-V2)=1+2+V2-1=2W2 4.化简与求值： )-5列： (2)(-9y2: a)4r2-4a+ia≤2： (④Vx2-2xy+y2+0y-x 【解析】1)(-5)》=-5 (2)(-9y=81=34=3 as21-2a20. 2/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4a2-4a+1=2a-1-f1-2a}=3-2a (4)原式=V(x-y)}+y-x=x-y+y-x 当x之y时，原式=x-y+y-x=0； 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x) 0,x≥y ..Vx-2xy+y+y-x)2(y-x).x<y 题型二、分数指数幂与根式互化 5.(2026高一河北衡水阶段检测)(1)用分数指数幂表示云√匠： (2)己知a2+a2=3,求： ①a+a: ②d2+a2: oa 【解折1山派厅-00=-a品， 1 (2)①a2+a2=3两边平方得，a+a1+2a2.a2=9, 故a+a=9-2=7: ②a+a=7两边平方得a2+a2+2=49, 故a2+a2=49-2=47: @@G-（a+aa-aad-3--18 6.用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): ①匠a: (2)(a).ab: 1 3)d+6y 2313 【解析】(1)原式=a3.a2=a6. 3/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)原式= 3)原武=[【a+b汀=-（口+6周=(a+)月 7.化简下列各式（式中字母均为正数）. b a ou-i (结果为分数指数幂) 【解析】(1)先把根式化成分数指数幂的形式，再根据幂的运算法则求解；(2)按照系数与系数相乘除、 同底数幂与同底数幂相乘除的方法进行计算即可. 试题解析： -)-o. ②)原式=4x-3xx片，六号 6 =2y3 8.用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): ①)a.a: (②alala: 3)0Va: ④(avab 【解折】山)a6=0d=0片=a品； DYolala-VaVaa-VaVa-Vaai-Vau (2 13 题型三、指数幂的化简与求值 9.化简下列各式： 4/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 0.5 10 +0.12+2 27 -3°+3 8 a' 【解析】(1)原式= +100+ 5 9 -3+ 37 =100 648 a2b53112 (2)原式= 21 =a2.b56=a3=a36. bio a4 10.求值与化简， 0o2n-(+g}-5-m. .（4b） 0.1)2(a2b32 (2)原式=42.42 a2a.b2.b2=4ab°=4 100 25 25 11. 化简下式： (图舒 【解析】 g✉ 12.化简与计算： 5/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 as-a+) 2(a2）(4a'b)(12ab2c): g)a5.a5+25(a>0 【打山-o)广 -- 2-2+49分 (2)(a2b）(4ab)=(12ab2c =(-4÷12）a2-4.b3+2c1=-a (a5ai+=0i-5+2aai=0+2=1+16=17. 题型四、对数的概念与求值 13.求下列各式中的x值. (1)log2(1og5x)=0; (2)log2(lgx)=1: 3)log5-(V2+=x 【解析】(1)由l1og2(log5x=0,得log,x=2°=1， 故x=5=5 (2)由log2(gx=1,得lgx=2,故x=102=100 (3)因为oga(V2+=x, 所以(2-旷=2+1=(2-)，所以x=1 14.求下列各式中x的值。 (①)log1x=-3 6124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)log.49=4: (3)log [log,(log2x)]=0. (4)log2[log;(log2 x)]=1 【解析】(1)因为1ogx=-3,所以x= =27 (2)因为log:49=4,可得x=49, 又因为x>0且x≠1，得x=V万， (3)因为log [log,(log2x川=0，得log,(log2x)=1, 则log2x=7,所以x=2. (4)因为log2log,(log2x=1,可得log,(log2x)=2, 则log2x=9,所以x=2”. 15.求下列各式中x的值： (①)log27=x: (2)1o8(5-)√2+1 (3)log2(og4x)=0: (4log,(gr)=1. 【解折1山）7og27=,“y=27即3产=·2x=g解利-多 ②2,5旷--1 (3)log2(log4=0,.log4x=2°=1，x=4=4. (4)1og(g)=1,lgx=3'=3,x=103=1000. 16.求下列各式的值： (1)log,25: (2)1ogo.41: a)。 (4)g0.001 7/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)设log25=x 则5=25=52 .x=2 即log,25=2 (2)根据对数的性质可知logo41=0: (3)设n-x e 则e-e e .x=-1 即ln-=-l e (4)设lg0.001=x 则10=0.001=103 x=-3 即lg0.001=-3 题型五、对数式与指数式互化 17.将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4. (2)10g,27=-3 3 (3)l0g5x=3: (④53=125： 92- 【解析】(1)因为log216=4,所以有：24=16 (2)因为1g127=-3,所以有： 3) =27 (3)因为log5x=3,所以有：（3=x (4)因为53=125，所以有：10g125=3. 8124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)因为2=号所以有：1os:2-1 (6)因为3 =9,所以有：10g19=-2 18.将下列指数式与对数式互化 (1)53=125: a=6 3)1g,8=-3 2 ④1o827-3 【解析】(1)53=125台1og,125=3: ②4-6 1=2 2 （41g27-3台33= 1 27 19.将下列指数式与对数式进行互化. 店 (2)l10g54=4 (3)g0.001=-3 ④32-g 2 (⊙10g127=-3 3 (7)10g564=-6 1 11 【解析】()由52=5可得1oe,店-2 (2)由log54=4,可得(21=4 9124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)由1g0.001=-3,可得103=0.001 (4)由32 1 9,可得1og)-2: (5)由 =16,可得1og116=-2: 1 (6)由1g27=-3,可得3 =27 (7)由1ogx64=-6,可得(V)°=64. 20.将下列指数式与对数式进行互化. 11 ω53=5 (2)10g54=4 (3)lg0.001=-3 1 【解析】(1)由52= 11 可得1og5=-2 (2)由1og54=4,可得(2)=4 (3)由1g0.001=-3,可得103=0.001 题型六、对数综合运算 21.(2026·高三四川眉山阶段检测)完成下列2个小题： (1)化简l0g2z9+2lg5+lg4-2-o823 (2)已知2°=27,3=16，求ab的值 【解折】4)1og2,9=1og32=3,2lg5+1g4=lg25+lg4=lg100=2,2=23=2, 放原式子+2-子-2 3 (2)由2”=27得a=l1og,27=310g23,由3°-16得b=10g316=4l0g,2, 所以ab=12log23log2=12 22.求值： ()log2w5（V3-25): (a1og,35-2bg,}+hoe,7-1oe,18 10124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【解折】①原式=1og253+25le2,6B+23)'=-1. （②方法：原式=6e35-s9+g,7-e,号=e5x号7×写}-g25=lg,5=2 49 9 方法二：原式=log,(5×7)-2(1og,7-log,3)+log,7-(21og3-log,5) logs5+log 7-2l0gs 7+2l0g3+logs7-2l0g3+log5=2l0gs5=2 23.解下列方程： ()(hgx-le3)-l5-l(x-10) (2)Igx+2l0gIox x=2 【解折】（山2gx-g3)=®5-2gx-10。 方程中的应满 x>10'原方程可化为g3 x5 V3x-10,即g-10x-75=0 解得x=15或x=-5(舍去)，经检验x=15是原方程的解 (②s5+28x=2,方程中的e应满足x20且x学0 原方程可化为gx+ x+28x=2,即1g2x+lgx-2=0 令t=gx,则2+t-2=0,解得1=1或t=-2, 即1gx=1或1gx=-2x=10或x=100 经检验x=10:x=100都是原方程的解 24.已知log189=a,18=5,求： (1)log3645(用a,b表示) (2)log,15(用a,b表示)： 【解析】(1)因为18=5，所以b=1og185 所以bes45-bg-l8r59_gw5+iog9.a+h =10g18361og89 3242-log1g92-a; 11/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 21og15=1og510gs5x31ogs5x99）1o81s5+51o81.9b+2aa+2 logis 9 logis 9 logis 9 10g9= a 2a 12/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 题型一：整体法的运用 25.(2026高一·湖北期中)己知 3求之壹、 【解析】做这类试题要根据已知求值，需要把要求的解析式化为(x+)表示的形式，将x+x=3代入计 算得到但在转换过程中用到了配凑法，一定要注意前后的等价性 试题解析：（公2+xy=x+x+2=5又x2+x>02+x方=V54分 (x-x)2=(x+x1)2-4=5.x-x1=±5 x2-x2=(x+xx-x)=±5×3=±3W5.10分 原式三35312 1 说明：若只求对一个值扣4。 考点：1.二次函数的运算；2配凑法的思想方法 a+a-1 26.化简与求值：已知-a寸-1”求+0的值。 【解析】由a2-a=1, 两边取平方得a+a-2=1,即a+a=3 两边再取平方，得a2+a2=9-2=7, 号号 a+ax 27.已知d=V2+1,求。*+a的值 【解析】a+a= a+ax aa (a'+a")(ax-1+a") 1 1 -i1+a(a+a-3 a=V2+1, a*=11 √2-1 2+1不2+12-可5-1. 13/24 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+ax三 1 1 +0(c+a-3N2+1+2-1y-3-5 22 12 21 28.正实数a,b满足a+b5=4若m=a+3a3b,n=b+3a6,求(m+m)5+(m-n)j的值 【解析】最小幂换元，设a3=x,b3=y则条件化为x2+y2=4, ..m=x+3xy2,n=y+3x2y, 所以原式=(x+3y2+y2+3xy）月+(x2+3xy2-y3-3x2y)月 =[(x+yx2-y+y）+3(x+y]+[(x-y2++y2）-3(x-y]月 =(x+y2+(x-y)月 =2(x2+y2)=8 题型二：换底公式 11 29.若2=5°=m且。+方4，求m 【解析】由题意得2=m,即a=log2m,5=m,即b=logm, 1.1 1 1 代入三+6=4得1og,m1og,m 一十 =4 a b 由换底公式得logm2+logm5=4,即logm(2×5)=4, 所以1ogm10=4,则m=104. 30.(2026:高一海南海口阶段检测)已知9=21og,27+1g25+lg4-72+(-9.8)° (1)求Q的值： 11 2若2=5=m且。+60，求m 【解析】(1)=21ogV27+lg25+lg4-7,2+(-9.8)° =2log332+lg(25×4)-2+1 =2×3+l1g100-2+1 2 =3+2-2+1 =4 (2)a=log2m,b=log;m 14124 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 因为+=9=4，所以10g,m1ogm -=4 由换底公式得logm2+logm5=4,即logm(2×5)=4,所以logm10=4,则m=104. 31.(2026高一·陕西西安·阶段检测)(1)18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出 “对数源出于指数”·为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数 ①请写出对数的换底公式： ②请依据对数的换底公式证明logb-”1og,b(a,b>0,a≠1，m≠0)】 m (2)请分别计算下列两小问中x,y的值： Dlog2 5-logs 7-log16=x: ②实数a,b满足3”=4华=12，+ +=y. a b 【解析】(1)①对数的换底公式：1og,b=g久a6c>0ac≠)： loge a ②lgi=bg:=nbe,。-”eg.bab>0,a≠Lm≠0)片 log。am mloga m (2)0x=log,5log,7-lg,16=lg,5187l6e16-log,16=4. log,5 log,7 ②因为3°=4的=12，则a=l0g312,b=l1og412, u坊喝nt =log123+log124=log2(3×4)=log1212=1 11 32.(2026高一全国周测)(1)已知2°=5°=1000，求a十6的值： 32 (2)己知3=4y=12,求x+号的值 【解析】(1)由已知，a=log21000,b=log,1000 所t以a+方iog,100+iog,100=1 og2+logw5=lgol10-} 11 1 1 (2)因为32x=4y=126,所以2x=1og,12=6og,12,解得x=30g,12, 3y=log412=6og412,解得y=2log412, 3,23 21 1 3l0g,12+2l0g,121og,12+log,12g121. 题型三：恒等式的证明 15/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,12 33.已知a,b,c均为正数，且39=4°=6，求证：a+6c: 【解析】设3°=4=6=k,则k>1, ..a=log;k,b=loga k,c=logk, 2,12 1-2l0g 3+log,4-log,9+log,4-log,36-2log 6, ·a'b log3klog4k 22 而clog6k -2l0gk 6. 212 abc,得证. 34.(2026高一·陕西安康·期末)某人工调控的河流的河道容量上限D可以用如下公式测算： R D=W×1og,+会，其中W是河道宽度，R是平均径流量，E是平均蒸发量. E (1)若初始情况下E -3引，在不改动河道宽度的前提下，要使D扩大20%：求石应控制的值： ②已知径流量R=R+,证明：D=Pxg,+经+W×og,0+）】 E+R 折】(1)当E3时，D=Wx10g,0+30=5w,D扩大20%'即5W×0+20%三6 因此6w=Wxog,+登，即log,0+=6, E 则+登-”，所以会-68 E （②当R=R+尼时，D=0x8,0+营) 而wxos.0+2+wxg:0+ER=wga0+是0+2Rl E+R E+R 又0+XI+R)=1+尽+R+RR=1+R匹+R)+R+RR E E+R EE+R E(E+R) E(E+R) -1+ER+Ri+ER+RR-1+E(R+R)+R(R+R)-1+R+R E(E+R) E(E+R) E 所0xe,0+是)+Wxe,0+E车R）=w6g,0+8)=D,即限等式成立 E+R E 35.(2026·高三·山西长治阶段检测)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假 设全部溶解)，糖水变甜了， 16/24 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立： (②)运用该不等式比较以下三个值的大小：1og23,10g,4,1og45 aa+m 【解析】()由题意可得：b>a>0:m>0时，b<b+m aa+m a(b+m)-b(a+m)ab+am-ba-bm m(a-b) 证明如下：bb+m b(b+m) b(b+m) b(b+m)' b>a>0,m>0,∴.a-b<0,b+m>0, m(a-b)20.aa+m b(b+m) bb+m aa+m mbb+m (2)由(1)知b>a>0'm>0时，66+m,即。>a+m: 9 则lg3=g3、 lg3+lg 1g21g2+g2 2_82起4-10g,4, 3 Ig3 lg3 .log23>log34」 4 16 又1og4=lg4、 4+le2_183s =1g31g3+g3 41g4g4 =log45 ..log,4>log5 综上所述，log23>1og34>log45. 36.(2026高一·福建龙岩阶段检测)阅读下面材料： 由于a",a=am"(a>0）, 设a"=M(M>0),a'=N(N>0),① 于是MN=am+".② 根据对数的定义，由①得m=log。M,n=logN,③ 由②得log.(MN)=m+n④， 把③代入④得loga(MN)=log,M+-log N. 0份照上港过程，详明：g,=og,M-g, 2)己知2=3=V6,求。+6的值 (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 17/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1) M=log.a' 证明：由①知：1oga =lg。a=m-n, 将@代入上式，有og,兴-log,M-og,N,得正 1 log2 2 (2)由题设，a1og2V6 2, =log.3. 所以d方h吸24og3ga6=-2 18/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 1.已知2x+y=1,则9+3y的最小值为() A.3 B.4 c.25 D.1+3 【答案】C 【解析】依题意，3'>0,9>0， 由2x+y=1,得9+3y=32+3y≥2V3*2x=2√3， 当且仅当3y=32x即y=2x=2时取等号， 得到9+3的最小值为2V3 2.下列说法正确的是（) A,负数的n次方根不存在，其中n>l,n∈N* B.因为(-2°=-32，所以-2是-32的五次方根 C.因为3=81，所以81的四次方根是3 D.1的n次方根是1，其中n>l,n∈N* 【答案】B 【解析】对于A,-8的三次方根为-2，A错误； 对于B,由(-2°=-32，得-2是-2的五次方根，B正确： 对于C,81的四次方根是3，C错误： 对于D,1的平方根是1，D错误， 3.(2026天津二模)“lha=lnb”是“a=b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若lna=nb,则a=b>0: 当a=b≤0时，lna=lhb不成立， 故“lha=lnb”是“a=b”的充分不必要条件。 4.(2026高一浙江期中)已知3°=2,1og24=b,则3-36=() A.4 B.2 C.1 D.4 19/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【解析】由3=2得a=log32, b=l0g2z4=。log34, 3 所以30=324=3m- 2 5.(2026高一浙江杭州期中)若10=3,10=2，则10+”=(） A.18 B.27 C.36 D.24 【答案】D 【解析】10+30=10”×10）3=3×8=24 1 1 5 6.(2026陕西西安模拟预测)已知1og,a1og,276,则a=（） 1 3 A.81 B.号或81 C.3v5 D.81 【答案】B 1 1 52 15 2 【解析】由1og,a1og,27=6得1og,a310g.3=6,则1og,a3 g,a=-5 6 即2l0g,a}-51og,a-12=0,得10g,4=4或0g,0。 3 则a=3=81或a=32= 9· k+12=0,则k=（） 7.(2026福建福州三模)已知39=4=6，若。6c= A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C k+2=0,得a≠0h+0:c≠0 【解析】由abc 令3=4=6=t(t>0且1≠1)，则a=log,1,b=log4t,c=1og61: +2-女+23+h426-3+4-26-0: a b c logst logat logt Int IntInt t>0且t≠1，.nt≠0. ..kIn3+In4-2In6=0,In3+In 4-In36=0: 20/24 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :h3×4=n32=0,即32=1解得k=2 36 8.(2026天津南开·二模)已知mn≠1，log=3,1ogx=4,则log=（) 12 1 1 1 A.7 B.12 c.7 D.12 【答案】A 【解折】由loe.X-3log,x-4可符log,m=写og,n= 117 则log,m+log,n=log,mn=。+ 3412 112 所以log.=1ogmm7 9.(多选题)(2026·黑龙江哈尔滨·二模)以下运算正确的是() A.-0.1°=0.1 B.(lg2)2+lg2lg25+(1g5)2=1 D. e2+h2=2e2 【答案】BD 【解析】(0.1)°=0.1，A错误； (1g2)}+g2g25+(g5}=(g2)}2+2lg2lg5+(g5)=(g2+g5)2=1,B正确： - 2 C错误； e2+2=e22=2e2,D正确 10.(多选题)(2026高一辽宁开学考试)己知正实数a,b满足ln(a+b)=ha+lnb,则() A.ab≥4 B.a+4b≥12 1 z2 C.a-1"b-1 1+1≤2 D.a+1+b+13 【答案】ACD 【解析】对于A,因为正实数a,b满足ln(a+b)=lna+lhb=nab,所以ab=a+b,a>0,b>0, a=b 所以ab=a+b≥2ab?解得ab≥4：当且仅当ab=a+b: 21/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即a=b=2时，ab取到最小值4，故A正确： 对于B,由ab=a+b得ba a4b+5=9, b a a=3 当且仅当L+ b a 即，3时， 取到最小值，故B错误： 二=1b= b a 2 a+4b 9 对于C,因为ab=a+b,a>0,b>0,所以(a-l(b-1)=ab-a-b+1=1. 所，>>0，所8。+626 11 =2, [11 a-1b-1 当且仅当1,1 即 时，1,1取到最小值，故C正确： 二+二=1 b a a=b=2a-1b-1 2 对于D,1+1=a+b+2a+b+2 ab+21. 2一，由A选项可知 a+1'b+1(a+1)b+1)ab+a+b+12ab+12'2ab+1 ab≥4 3 3 3 ,-1+2_在 1 由函数y22x+14,∞ 上单调递减可知，1 2 2_2 22ab+122x4+13 1 .12 所以a+十b+≤3，故D正确： 故选：ACD 11.(多选题)(2026高一江苏南京期末)设a,b为实数，若10=5,10=20，则() A.a+b=2 B.b-a>1g5 c.ab<20g5)2 D.10gs8=3b-3 2a 【答案】ACD 【解析】因为10°=5,10°=20，所以a=lg5,b=lg20, 对于A,a+b=g5+lg20=g100=2,所以A正确： 对于B,b-a=g20-lg5=lg4<lg5,所以B错误： 对于C,ab=lg20lg5<g25·lg5=2(g5),所以c正确： 22/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,1ogs8=g8-3g2_30g20-1g10_30-)36-3 1g25 21g5 21g5 2a 2a,所以D正确， 故选：ACD 12.若a*+x=2a2(a>0,且a≠)，则x= 【答案】4 【解析】因为1og2(a8,）=log2b.1og2a=1og,(b,）。 所以a,b=be,2a2=aez*+xz0=a8r+a1*=2a, 因为a>0且a≠1，所以log2x=2,解得x=4. 13.已知a满足V(2025-a}+Va-2026=a,则a-2025的值为— 【答案】2026 【解析】由V(2025-a'+Va-2026=a,得|2025-d+Va-2026=a, 因为a≥2026，所以Va-2026=2025,故a-(2025)}=2026. 14.(2026-高一贵州贵阳·阶段检测)已知2°=3=k(k≠1)且2a+b=ab,则实数k的值为 【答案】18 【解析】由题可知a=log2k,b=log3k, 因为k≠1，所以a≠0，b≠0， 2.1 又2a+b=ab'所以6+a +二=1 2+11,即21og3+log2=1 所以1og,k1og2k 所以l0gk18=1,即k=18. 广203. 15.(2026高一云南昆明阶段检测)计算：1bg,0.25+-8-1g5+32 【解折】原式=1o8,+6-g5+32 V2-1 -1g2 (2- =log222+4-lg5+ -lg2 √2-1 =-2+4-(lg5+g2)+(V2-) =2-1+V2-1 23/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2 16.设a,b同号，且a2-2ab-962=0,求lg(a+ab-6)-lg(a+4ab-3b）的值 【解析】由a,b同号，可得ab>0,a2-2ab-9b2=0,可得a2-2ab+9b2, 所以lg(a2+ab-6b2）-lg(a+4ab-3b2)） =lg(3ab+3b2)）-lg(6ab+6b2) 迪+-8吃-w2 =1g- °6(ab+b2） 17.(2026高一陕西咸阳阶段检测)(1)求2(1og43+1og31og,2+10g,2)的值： 1 1 (2)已知a2+a2=3,求下列各式的值： 33 a2-a2 ① ② ③33；④1 a+a a2+a2 a2+a2a2-a2 【e折12g3+0og2+e,2-2,图Xs2+号） 2 3 =2x510g,3x 3l0g,25,1g3 1g2 5 6 22 Ig2 Ig3 2: 2@因为。+0g商0+a=a+a+2=9, 1)2 a+a1=71 ②因为a+a=7,所以(a+a=d2+a2+2=49,故a2+a2=47: @+eje-c+eo---小8 ④圆wo-c-aa 所以ga 3 a-a() a+a'+1=7+1=8 a2-a2 a2-a2 24124