培优04 函数的单调性和奇偶性综合应用（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题04 函数的单调性和奇偶性综合应用 常考题型·精准突破 考点一 奇偶性与单调性解不等式 题型1 由奇偶性解不等式（重点） 题型2 奇偶性与单调性综合（难点） 题型3 抽象函数不等式 考点二 奇偶性的判定与求参 题型4 奇偶性的判定（高频） 题型5 由奇偶性求解析式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 奇偶性与单调性解不等式 ◆题型1 由奇偶性解不等式（重点） 1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性判断函数在不同区间的正负性，再分类讨论不等式的解集即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 2．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数对称性得在也递减，且，判断的正负区间；将按、、分类，转化为的符号条件，与范围取交集，合并得解集. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或，或或，或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 3．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. ◆题型2 奇偶性与单调性综合（难点） 1．已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在R上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，求解即可. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在R上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于 或 ， 由可得，由可得， 所以或， 则不等式的解集为. 2．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 3．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. ◆题型3 抽象函数不等式 1．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性分析求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增，又， 则等价于 或 ，解得：或， 不等式的解集是. 2．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 3．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 考点二 奇偶性的判定与求参 ◆题型4 奇偶性的判定（高频） 1．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， ， ， 解得． 2．已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果； 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 3．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. ◆题型5 由奇偶性求解析式 1．已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【详解】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得， 因为偶函数，所以，又， 得，即①， 又为奇函数，所以，又， 得②， 将①代入②得，， ，解得. 2．设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即 ，得 . 将 代入， 得：， 即， 化简得. 3．若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出的奇偶性和单调性，令，根据复合函数性质判断的单调性，再结合求解. 【详解】因为函数，定义域为， ， 所以函数为定义在上的奇函数，则有， 又在上单调递减， 所以在上单调递减，则在上也为减函数， 在上为减函数， 因为，所以， ， 令，根据复合函数性质可知，单调递减， 又，所以时，． 因此的取值范围是. 2．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 3．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于 或 ，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且， 所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于 或 ，解得或， 所以不等式的解集为. 二、填空题 1．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 2．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解． 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 又在上单调递增， 由，得， 得， 得，解得， 故的取值范围是． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意知函数在上单调递增，进而得在恒成立，再求解参数范围即可. 【详解】因为时，，所以在为单调递增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即在恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是． 4．已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 5．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 6．已知函数是偶函数，则____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 【答案】 / 【分析】由偶函数满足求；由恒成立，比较的系数和常数项求；再将化为，换元求的值域． 【详解】因为是偶函数，所以． 又，所以，即． 整理得对任意恒成立，所以． 由，得，． 因为对任意恒成立，所以，，解得． 于是，所以． 因此． 令，则，且． 所以． 当时，单调递增，所以． 因此函数的值域为． 7．若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 8．若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 9．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 三、解答题 1．已知函数，对任意，恒成立，且，函数的定义域为，且是奇函数，当时，. (1)当时，求函数的表达式； (2)当时，若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合对称性定义求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）中信息，分离参数并利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）函数，对任意，恒成立， 则直线是函数的对称轴，即，解得， 由，得，则，因此， 当时，，而函数是定义在上的奇函数， 则当时，，， 所以函数的表达式为. （2）当时，方程有解， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 2．函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)任取且， 则 ， 由，得，且，， 则 ，因此，即，所以在上为增函数. (3) 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求证， （3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可列不等式求解. 【详解】（1）由且，得， 解得， 所以的解析式为. （2）略 （3）因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的单调性和奇偶性综合应用 常考题型·精准突破 考点一 奇偶性与单调性解不等式 题型1 由奇偶性解不等式（重点） 题型2 奇偶性与单调性综合（难点） 题型3 抽象函数不等式 考点二 奇偶性的判定与求参 题型4 奇偶性的判定（高频） 题型5 由奇偶性求解析式 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 奇偶性与单调性解不等式 ◆题型1 由奇偶性解不等式（重点） 1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 3．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 奇偶性与单调性综合（难点） 1．已知是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． ◆题型3 抽象函数不等式 1．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 考点二 奇偶性的判定与求参 ◆题型4 奇偶性的判定（高频） 1．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 2．已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 3．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． ◆题型5 由奇偶性求解析式 1．已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 2．设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 3．若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 2．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 4．已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 5．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 6．已知函数是偶函数，则____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 7．若定义在 上的函数为奇函数，则__ 8．若函数为奇函数，则__________. 9．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 三、解答题 1．已知函数，对任意，恒成立，且，函数的定义域为，且是奇函数，当时，. (1)当时，求函数的表达式； (2)当时，若关于的方程有解，求实数的取值范围. 2．函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $