专题08 利用函数单调性与奇偶性解不等式8种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题08 利用函数单调性与奇偶性解不等式8种常见考法归类 ▌题型01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 【例1】【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 【变式1-1】【答案】 【分析】根据函数的单调性解抽象函数不等式，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-2】【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 【变式1-3】【答案】 【分析】根据函数的单调性在定义域内列不等式解不等式即可求解的取值范围. 【详解】因为是定义在上的减函数， 若，可得，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. ▌题型02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 【例2】【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 【变式2-1】【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 【变式2-2】【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 【变式2-3】【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 解得：， 所以不等式的解集为. ▌题型03 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 【例3】【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式3-1】【答案】D 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 【变式3-2】【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-3】【答案】B 【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可. 【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即， 即，解得或. 所以，不等式的解集为. 故选：B. ▌题型04 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 【例4】【答案】ABD 【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 【变式4-1】【答案】C 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 【变式4-2】【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明即可； （3） 先根据，再应用赋值法结合单调性化简不等式最后应用一元二次不等式求解方法计算求解. 【详解】（1）令，得，解得． （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）因为， 所以， 所以， 令，因为，得，解得， 所以， 因为，所以． 又因为（2）知为单调递减， 所以，即得， 所以或． 【变式4-3】【答案】A 【分析】利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【详解】对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则，又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，，所以由得， 则，又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于，解得，故D正确. 故选：A ▌题型05 根据单调性定义构造函数解不等式 【例5】【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 【变式5-1】【答案】 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-2】【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 【变式5-3】【答案】A 【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，所以由，可得，即． 令，可得，则可知在上单调递增． ． 由，可得，即， 则在时恒成立，只需，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. ▌题型06 根据简单具体函数的单调性解不等式 【例6】【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 【变式6-1】【答案】 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式6-2】【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 【变式6-3】【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： ▌题型07 根据复杂具体函数的单调性解不等式 【例7】【答案】C 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 【变式7-1】【答案】B 【分析】根据基本初等函数单调性，判断题干函数单调性，根据函数奇偶性的定义，证明题干函数奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为都是R上的增函数，所以也是R上的增函数， 因为，且，所以函数为R上的奇函数， 则等价于， 由函数在R上单调递增，得，解得. 故选：B. 【变式7-2】【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD． 【详解】作出函数的图象，如图实线部分． 由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确； 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，. ，再计算得， 根据图得解集为，B错； 当时，即为，恒成立； 当，即时，即， 即，解得，故此时的范围为， 当，即，则， 即为，解得，故此时的范围为， 综上，，则，反过来同样成立，故C正确； 对D，由B选项知时，，则， 则成立，D正确． 故选：ACD． ▌题型08 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 【例8】【答案】 【分析】根据函数单调性将不等式对任意实数恒成立，转化为对于恒成立，列出不等式组进而求解即可. 【详解】因为时，， 所以由函数图象可知，函数在上递增， 又是上的奇函数，所以在上单调递增， 若不等式对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对于恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则，解得. 综上可得. 故答案为： 【变式8-1】【答案】 【分析】根据奇偶性得到，再根据单调性得到恒成立，之后参变分离，求出的取值范围. 【详解】解：因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】【答案】 【解析】根据函数是偶函数，得到关于直线对称；再由函数对称性，以及题中条件，得到对任意的恒成立，进而可得出结果. 【详解】因为是偶函数，所以， 则关于直线对称； 又函数在上单调递减， 由对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又时，， 因此只需，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型. 【变式8-3】【答案】ABC 【分析】分析出的单调性与奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式得到，分与两种情况，参变分离后，结合基本不等式得到，从而判断ABC正确，D错误. 【详解】由题意得为偶函数，且在上，单调递减， 故在上单调递增， 因为，故， 所以， 当时，恒成立，满足要求， 当时，在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 综上，a的取值范围为 A选项，由于，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，显然不是的子集，D错误. 故选：ABC 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 利用函数单调性与奇偶性解不等式8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 题型 02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 题型 03 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 题型 04 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 题型 05 根据单调性定义构造函数解不等式 题型 06 根据简单具体函数的单调性解不等式 题型 07 根据复杂具体函数的单调性解不等式 题型 08 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 ▌题型01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 利用抽象函数单调性，将不等式f(A)>f(B)转化为A>B（增函数）或A<B（减函数），结合定义域直接求解，注意单调性的单向性。 【例1】（2026高一·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 【变式1-1】（2026高三·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据函数的单调性解抽象函数不等式，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 【变式1-3】（2026高一·广东汕头·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性在定义域内列不等式解不等式即可求解的取值范围. 【详解】因为是定义在上的减函数， 若，可得，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. ▌题型02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 先由奇偶性将不等式转化为f(∣A∣)>f(∣B∣)（偶函数）或f(A)>−f(B)=f(−B)（奇函数），再结合单调性与定义域解不等式。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 【变式2-1】（2026高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 【变式2-2】（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 【变式2-3】（2026高二·安徽合肥·期末）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 解得：， 所以不等式的解集为. ▌题型03 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 已知函数对称轴及其左右两侧的单调性解不等式，先对函数进行平移构造偶函数，然后利用偶函数的性质，解不等式 【例3】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的对称轴是，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式3-1】（2026·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 【变式3-2】（2026高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-3】（2026高三·江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可. 【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即， 即，解得或. 所以，不等式的解集为. 故选：B. ▌题型04 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 对复杂抽象函数，先推导单调性，再将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求解。 【例4】【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令计算可得，即A正确，利用奇函数定义可证明B正确，由函数性质以及单调性定义证明可得在R上单调递减，可得C错误，根据函数单调性整理表达式并解不等式可得D正确. 【详解】对于A，令可得可得，因此A正确； 对于B，令可得，因此B正确； 对于C，取任意，且，则可得， 又因为当时，，所以 所以， 因此，所以， 可知在R上单调递减，因此C错误； 对于D，由可得， 也即，因此， 结合C中单调性可知，即，解得； 因此不等式的解集为,可得D正确. 故选：ABD 【变式4-1】（2026高二·广东·阶段检测）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 【答案】C 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 【变式4-2】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）应用赋值法计算求解； （2）先判断单调性，再应用单调性定义证明即可； （3） 先根据，再应用赋值法结合单调性化简不等式最后应用一元二次不等式求解方法计算求解. 【详解】（1）令，得，解得． （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）因为， 所以， 所以， 令，因为，得，解得， 所以， 因为，所以． 又因为（2）知为单调递减， 所以，即得， 所以或． 【变式4-3】（2026高一·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】A 【分析】利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【详解】对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则，又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，，所以由得， 则，又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于，解得，故D正确. 故选：A ▌题型05 根据单调性定义构造函数解不等式 根据单调性定义构造新函数g(x)，分析g(x)单调性，将原不等式转化为g(A)>g(B)，利用单调性解出自变量范围。 【例5】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 【变式5-1】（2026高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是____________ 【答案】 【分析】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-2】（2026高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 【变式5-3】（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，所以由，可得，即． 令，可得，则可知在上单调递增． ． 由，可得，即， 则在时恒成立，只需，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. ▌题型06 根据简单具体函数的单调性解不等式 先判断具体函数单调性（图象法、定义法等），再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性与定义域解不等式，注意定义域优先。 【例6】（2026高二·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 【变式6-1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式6-2】（2026高一·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 【变式6-3】（2026高三·全国·期中）已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： ▌题型07 根据复杂具体函数的单调性解不等式 先判断复杂函数单调性，再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性解不等式，注意定义域优先。 【例7】（2026高三·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 【变式7-1】（2026高三·安徽六安·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数单调性，判断题干函数单调性，根据函数奇偶性的定义，证明题干函数奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为都是R上的增函数，所以也是R上的增函数， 因为，且，所以函数为R上的奇函数， 则等价于， 由函数在R上单调递增，得，解得. 故选：B. 【变式7-2】【多选】（2026高一·重庆·期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．不等式的解集为 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，易判断AB，然后分类讨论确定、和的表达式，判断CD． 【详解】作出函数的图象，如图实线部分． 由图可知其图象关于轴对称，函数为偶函数，A正确； 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，. ，再计算得， 根据图得解集为，B错； 当时，即为，恒成立； 当，即时，即， 即，解得，故此时的范围为， 当，即，则， 即为，解得，故此时的范围为， 综上，，则，反过来同样成立，故C正确； 对D，由B选项知时，，则， 则成立，D正确． 故选：ACD． ▌题型08 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 解不等式时利用单调性转化为自变量关系；恒成立问题则转化为函数最值（如f(x)min≥a），结合单调性求最值，进而求解参数范围。 【例8】（2026高一·上海·阶段检测）已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据函数单调性将不等式对任意实数恒成立，转化为对于恒成立，列出不等式组进而求解即可. 【详解】因为时，， 所以由函数图象可知，函数在上递增， 又是上的奇函数，所以在上单调递增， 若不等式对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对于恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则，解得. 综上可得. 故答案为： 【变式8-1】（2026高一·贵州黔西南·期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据奇偶性得到，再根据单调性得到恒成立，之后参变分离，求出的取值范围. 【详解】解：因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（2026高三·江西新余·阶段检测）已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】根据函数是偶函数，得到关于直线对称；再由函数对称性，以及题中条件，得到对任意的恒成立，进而可得出结果. 【详解】因为是偶函数，所以， 则关于直线对称； 又函数在上单调递减， 由对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又时，， 因此只需，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型. 【变式8-3】【多选】（2026高一·广东深圳·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分析出的单调性与奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式得到，分与两种情况，参变分离后，结合基本不等式得到，从而判断ABC正确，D错误. 【详解】由题意得为偶函数，且在上，单调递减， 故在上单调递增， 因为，故， 所以， 当时，恒成立，满足要求， 当时，在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 综上，a的取值范围为 A选项，由于，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，显然不是的子集，D错误. 故选：ABC 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 利用函数单调性与奇偶性解不等式8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 题型 02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 题型 03 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 题型 04 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 题型 05 根据单调性定义构造函数解不等式 题型 06 根据简单具体函数的单调性解不等式 题型 07 根据复杂具体函数的单调性解不等式 题型 08 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 ▌题型01 根据简单抽象函数的单调性解不等式 利用抽象函数单调性，将不等式f(A)>f(B)转化为A>B（增函数）或A<B（减函数），结合定义域直接求解，注意单调性的单向性。 【例1】（2026高一·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【变式1-1】（2026高三·江西鹰潭·阶段检测）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是_____． 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【变式1-3】（2026高一·广东汕头·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是__________. ▌题型02 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式 先由奇偶性将不等式转化为f(∣A∣)>f(∣B∣)（偶函数）或f(A)>−f(B)=f(−B)（奇函数），再结合单调性与定义域解不等式。 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【变式2-1】（2026高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【变式2-2】（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【变式2-3】（2026高二·安徽合肥·期末）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． ▌题型03 根据简单抽象函数的单调性、偶函数与对称性解不等式 已知函数对称轴及其左右两侧的单调性解不等式，先对函数进行平移构造偶函数，然后利用偶函数的性质，解不等式 【例3】（2026高三·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高一·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高三·江西宜春·开学考试）已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． ▌题型04 根据复杂抽象函数的单调性解不等式 对复杂抽象函数，先推导单调性，再将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求解。 【例4】【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，当时，，，则（   ） A． B． C．在R上单调递增 D．的解集为 【变式4-1】（2026高二·广东·阶段检测）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 【变式4-2】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知的定义域为．且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，且，求x的取值范围． 【变式4-3】（2026高一·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 ▌题型05 根据单调性定义构造函数解不等式 根据单调性定义构造新函数g(x)，分析g(x)单调性，将原不等式转化为g(A)>g(B)，利用单调性解出自变量范围。 【例5】（2026高一·湖南长沙·阶段检测）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高一·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是____________ 【变式5-2】（2026高一·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌题型06 根据简单具体函数的单调性解不等式 先判断具体函数单调性（图象法、定义法等），再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性与定义域解不等式，注意定义域优先。 【例6】（2026高二·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【变式6-1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是_________． 【变式6-2】（2026高一·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【变式6-3】（2026高三·全国·期中）已知函数则不等式的解集为__________. ▌题型07 根据复杂具体函数的单调性解不等式 先判断复杂函数单调性，再将不等式转化为函数值的大小关系，结合单调性解不等式，注意定义域优先。 【例7】（2026高三·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高三·安徽六安·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】【多选】（2026高一·重庆·期中）设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．不等式的解集为 C．当时， D．当时， ▌题型08 利用函数的单调性解不等式与恒成立问题的综合 解不等式时利用单调性转化为自变量关系；恒成立问题则转化为函数最值（如f(x)min≥a），结合单调性求最值，进而求解参数范围。 【例8】（2026高一·上海·阶段检测）已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式8-1】（2026高一·贵州黔西南·期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【变式8-2】（2026高三·江西新余·阶段检测）已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是____. 【变式8-3】【多选】（2026高一·广东深圳·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $