培优03 函数的单调性与最值问题（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 函数的单调性与最值问题 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 题型1 初等函数的单调区间 题型2 由单调性求参数（重点） 题型3 复合函数的单调性 考点二 函数的最值 题型4 二次函数在区间上的最值（难点） 题型5 max、min 与绝对值的最值（高频） 题型6 由值域求参数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 ◆题型1 初等函数的单调区间 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， ◆题型2 由单调性求参数（重点） 1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，若在单调递增，则m的范围为______. ◆题型3 复合函数的单调性 1．函数的单调递减区间为______. 2．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是_________． 3．已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 考点二 函数的最值 ◆题型4 二次函数在区间上的最值（难点） 1．已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． ◆题型5 max、min 与绝对值的最值（高频） 1．已知，，若，则的最值是（    ） A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．无最大值，最小值为 2．记，则函数的最小值是_____ ． 3．对，，记，则函数的最小值为_____． ◆题型6 由值域求参数 1．已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 6．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．已知，，则函数的值域为______ 2．函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 3．记表示x，y，z中的最小者，设函数，则等于______ 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 5．已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数__________. 6．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是__________． 7．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 8．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 9．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性与最值问题 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 题型1 初等函数的单调区间 题型2 由单调性求参数（重点） 题型3 复合函数的单调性 考点二 函数的最值 题型4 二次函数在区间上的最值（难点） 题型5 max、min 与绝对值的最值（高频） 题型6 由值域求参数 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 ◆题型1 初等函数的单调区间 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 2．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. ◆题型2 由单调性求参数（重点） 1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 3．已知函数，若在单调递增，则m的范围为______. 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. ◆题型3 复合函数的单调性 1．函数的单调递减区间为______. 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 2．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】分类讨论研究函数的单调性，由是函数减区间的子区间可得a的范围. 【详解】由题意得，， 当时，，不符合题意； 当时，，由， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 由在单调递减得，， 解得； 当时，开口向上，对称轴为， 则在单调递增，不存在单调递减区间； 当时，，由， 由，只需研究在区间的单调性， 当时，开口向下，对称轴为， 则在单调递增，在单调递减， 则在单调递减恒成立. 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为2可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，在 上 ，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 考点二 函数的最值 ◆题型4 二次函数在区间上的最值（难点） 1．已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D 2．已知函数，，且最大值为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】算出对称轴，分情况讨论，和讨论． 【详解】当时，对称轴，易得在时，单减，最大值为，不满足条件； 当时，，即， 故选C 【点睛】此题考查二次函数根据对称性解不等式问题，开口向上，离对称轴距离越远的点函数值越大，一般性题目． 3．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【详解】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． ◆题型5 max、min 与绝对值的最值（高频） 1．已知，，若，则的最值是（    ） A．最大值为3，最小值 B．最大值为，无最小值 C．最大值为3，无最小值 D．无最大值，最小值为 【答案】B 【分析】作出的图象，其实表示的是较小的值.如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故可得答案． 【详解】解：根据已知条件，可以求出， 如图所示，在A处取得最大值，没有最小值. 由得. 所以有最大值，无最小值. 故选：B． 2．记，则函数的最小值是_____ ． 【答案】 【分析】利用函数的定义画出图像即可得到最值. 【详解】在平面直角坐标系中绘制出函数与函数， 令，解得或. 由函数的定义，结合两函数图象，可知，， 由图可知，函数的最小值为. 故答案为：. 3．对，，记，则函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由题意画出的图象，由图象可知当时，函数有最小值求解即可. 【详解】由题意画出的图象： 由图象可知当时，. 故答案为：. ◆题型6 由值域求参数 1．已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，对称轴为，则； 当时，， 若，则，符合题意； 若，则，则，得； 若，则，符合题意； 综上，实数的取值范围是. 2．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 3．函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数满足对上的任意实数，， 恒有成立， 所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 2．已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数为增函数，进而可得，计算即得. 【详解】当时, 有，则函数为增函数， 则， 即实数的取值范围是. 故选： B. 3．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. 4．已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 5．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D 6．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、填空题 1．已知，，则函数的值域为______ 【答案】 【分析】先得出，再作出其图象求解. 【详解】由题意，， 得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数的值域为， 故答案为： 2．函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 3．记表示x，y，z中的最小者，设函数，则等于______ 【答案】 【分析】只需在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，算出交点坐标即可得解. 【详解】在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，如图所示， 由图可知. 故答案为：. 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数__________. 【答案】或0 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 6．已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 7．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数得到函数的递增区间，又由函数在上是增函数，则为递增区间的子集，建立关于参数m的不等式，解出即可求得结论. 【详解】解：， 当时， 当时，， 由对勾函数性质结合函数定义域， 函数在和单调递增，又在上，在上， 函数的递增区间为 在上单调递增， 解得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 8．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 9．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为， 当，即时，此时存在，使得，满足题意； 当，即时，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 要想存在，且，使得， 则，解得：， 与取交集得：. 综上：的取值范圃为. 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $