培优02 函数解析式的求法与分段函数常考题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 函数解析式的求法与分段函数常考题型 常考题型·精准突破 考点一 求函数解析式 题型1 待定系数法（重点） 题型2 换元法 题型3 配凑法（难点） 题型4 方程组法 考点二 分段函数 题型5 分段函数求值（高频） 题型6 分段函数解不等式 题型7 分段函数的值域（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求函数解析式 ◆题型1 待定系数法（重点） 1．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 2．已知二次函数满足，则（　　） A．1 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值. 【详解】设， 因为， 所以， 化简可得：， 所以，所以，所以， 所以，所以， 故选：B. ◆题型2 换元法 1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 2．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. ◆题型3 配凑法（难点） 1．已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 【答案】D 【分析】利用完全平方公式对右侧表达式变形，凑出的整体形式，换元得到，再代入得． 【详解】因为， 则， 所以． 2．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. ◆题型4 方程组法 1．已知函数满足，则________. 【答案】 【分析】先用替换原式中的，联立求出的表达式，代入求出的值即可. 【详解】由①，可得②， 联立①②，解得，所以. 2．已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 3．已知函数满足：，． (1)求的解析式； (2)若，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式中替换为得到新的等式，联立两个等式构成关于和的方程组，通过消元法求解； （2）通过的解析式求出的表达式，通过换元将转化为二次函数，结合二次函数单调性求出给定区间上的值域. 【详解】（1）由，，得，解得； 即的解析式为. （2）由，，得. . 当时，，则. 令，则. . 二次函数开口向上，对称轴为，在上单调递减； 当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； ，则在上的值域为. 考点二 分段函数 ◆题型5 分段函数求值（高频） 1．设函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 2．已知函数，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查分段函数求值问题，解题的关键在于根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】，所以，当时，无解； 当时，，解得，（正值舍去）． 故答案为． 3．已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. ◆题型6 分段函数解不等式 1．已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 【答案】或或 【分析】分，和三种情况讨论，解分式不等式即可求解. 【详解】当时，则， 即，解得或，又，所以； 当时，，符合题意； 当时，则， 即，解得或，又，所以； 综上所述，不等式的解集为或或. 2．函数，则的解集为_____． 【答案】 【分析】分、两类，代入对应分段表达式写出、，分别解不等式，再合并解集. 【详解】当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 当时，， ，， 所以，解得. 又，所以. 综上所述，解集为. 3．设函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： ◆题型7 分段函数的值域（难点） 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以 ， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 2．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为. 故选：C. 3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据给定的函数，分段讨论确定函数取最大值1的情况作答. 【详解】因函数在上的值域为，则当时，， 在上递增，在上递减，，因此，即， 当时，，若，显然在上单调递增，，解得， 则，综上得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意， 当时，显然单调递增，则； 当时，是开口向下，对称轴为的二次函数， 又函数的值域为， 当，即时，，即，解得：， 当，即时，，， 综上， 故选：D. 【点睛】分段函数的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论. 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意确定，考虑，两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案. 【详解】因为当时，，要使的值域为，必须满足当时，单调递增，故． 当时，，故当时， 当时，，不等式恒成立； 当时，，解得，即. 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为： 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 2．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 3．已知函数是一次函数，且恒成立，则（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】先利用换元法和代入法求出，再令即可求出答案. 【详解】因为函数是一次函数，且恒成立， 令，则， 所以，解得， 所以，， 故选：D 4．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 5．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 6．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 二、填空题 1．已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 2．设则的值是________． 【答案】24 【解析】由分段函数的解析式知：即可求值. 【详解】∵当时，，又， ∴， 故答案为：24 【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题. 3．已知函数，若的值域为，则实数的值是__________. 【答案】/ 【分析】先由反比例函数的性质分析得，再由二次函数的性质确定的取值范围，从而结合函数图像即可得解. 【详解】因为， 当时，当时，，不合题意； 当时，当时，，不合题意； 所以， 当时，，即， 当时，开口向下，对称轴为， 当时，， 令，即，解得或（舍去）， 令，即，解得或， 作出的大致图象，如图， 因为的值域为，所以，解得，经检验，满足题意. 故答案为：. 三、解答题 1．求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】(1)（）； (2) (3) 【分析】（1）使用换元法，令并确定的范围，代入原式化简即可求得解析式； （2）利用解方程组法，将替换为构造新方程，与原方程联立消去即得解析式； （3）运用待定系数法，设出二次函数一般式代入已知条件，利用对应项系数相等列方程组求解. 【详解】（1）令 ，则 ，，． ， （）． （2）　…① 把换成得　…② ①+②得，即， ． （3）设（）， 则， ， 由比较系数得 ，解得，，， ． 2．（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）换元法，设，反解x代入原式，注意新变量取值范围； （2）待定系数法，设二次函数一般式，代入相加后比较等式两边同类项系数求解参数； （3）构造方程组，将x替换为得到第二个方程，联立消元解出． 【详解】（1）令，则， ，故． （2）设二次函数，则， ， ， 故，解得，故． （3），解得，故． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数解析式的求法与分段函数常考题型 常考题型·精准突破 考点一 求函数解析式 题型1 待定系数法（重点） 题型2 换元法 题型3 配凑法（难点） 题型4 方程组法 考点二 分段函数 题型5 分段函数求值（高频） 题型6 分段函数解不等式 题型7 分段函数的值域（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求函数解析式 ◆题型1 待定系数法（重点） 1．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数满足，则（　　） A．1 B．7 C．8 D．16 ◆题型2 换元法 1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 2．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． ◆题型3 配凑法（难点） 1．已知函数，则（     ）． A． B．9 C． D．11 2．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． ◆题型4 方程组法 1．已知函数满足，则________. 2．已知函数满足，则函数的解析式为_______ 3．已知函数满足：，． (1)求的解析式； (2)若，求在上的值域． 考点二 分段函数 ◆题型5 分段函数求值（高频） 1．设函数，若，则______． 2．已知函数，若，则_____． 3．已知函数，若，则______. ◆题型6 分段函数解不等式 1．已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 2．函数，则的解集为_____． 3．设函数，若，则实数的取值范围是___________. ◆题型7 分段函数的值域（难点） 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是一次函数，且恒成立，则（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 6．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 二、填空题 1．已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 2．设则的值是________． 3．已知函数，若的值域为，则实数的值是__________. 三、解答题 1．求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 2．（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $