专题04 函数性质的灵活运用必考八类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题04 函数性质的灵活运用必考八类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 函数的单调性及其应用】 3 【类型2 函数的最值问题】 7 【类型3 函数的奇偶性及其应用】 10 【类型4 函数的对称性与周期性】 14 【类型5 函数图象的判断及应用】 17 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 23 【类型7 函数性质的综合应用】 28 【类型8 函数新定义】 36 知识点1 函数的单调性与最值问题的解题策略 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 (1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)； 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)； (2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)； (3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=4(b-a). 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 知识点5 抽象函数的解题策略 1．抽象函数及其求解方法 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决. 【类型1 函数的单调性及其应用】 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【解答过程】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 4．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【解答过程】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【解答过程】（1）在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 6．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数． (1)当时，函数在区间上单调递增，求的取值范围； (2)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解题思路】（1）根据二次函数的性质得到，解得即可； （2）分、两大类，当时，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解答过程】（1）当时， 又在区间上单调递增，所以，解得， 即的取值范围为； （2）当时，则，则， 对于，即，解得； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则，解得或； 当时不等式化为． 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【类型2 函数的最值问题】 7．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B. 8．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【解答过程】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A. 9．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【解答过程】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 10．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则最小值为__________. 【答案】/ 【解题思路】根据给定的函数，令，再利用单调性求出最小值. 【解答过程】函数的定义域为，， 令，函数在上单调递增， 则，所以最小值为. 故答案为：. 11．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 12．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【解答过程】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 【类型3 函数的奇偶性及其应用】 13．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【解答过程】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C. 14．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【解答过程】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 故选：A. 15．（26-27高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由于是定义在上的偶函数，故，结合单调性即可求解. 【解答过程】由于是定义在上的偶函数，故, 那么，又，在上单调递增， 所以在上单调递减，， 即，同理的解集为或； 由，得 或 ， 即 或， 解得 或，所以不等式的解集是. 故选：A. 16．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【解答过程】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为， 所以在中，令，得， 令，得， 令，得， 所以，于是 . 故答案为：. 17．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）证明：对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 18．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2)在定义域上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据题意，可得，结合，即可得解； （2）设，利用作差法判断的大小关系即可得证； （3）根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）由已知是定义在上的奇函数，可得， 又，所以，，.经检验，满足条件. （2）在定义域上单调递增，证明如下： 设，易知，，，. 则 则，所以在上单调递增. （3）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 由，可得 所以解得，故原不等式的解集为. 【类型4 函数的对称性与周期性】 19．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【解题思路】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【解答过程】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 故选：B. 20．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【解答过程】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 21．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【解题思路】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【解答过程】因为函数的图象关于点中心对称，所以，令，得，即①，又为偶函数， 得②，所以有， 所以，故的周期为4， 因为，①中令，得，所以， ②中令，所以，令，代入，所以， 解得，所以， 所以. 故选：D. 22．（2026高一上·全国·专题练习）函数的图象的对称中心为___________． 【答案】 【解题思路】分离常数后，利用函数的对称性可求解. 【解答过程】函数 ， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 故答案为：. 23．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【解题思路】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证； （2）当，则，且，即可得解. 【解答过程】（1）证明：由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； （2）当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 24．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)当，时，用定义证明在上单调递增； (3)当，时，若函数在定义域上单调，且函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）求的值即可判断的对称中心； （2）直接根据单调性定义证明即可； （3）求出函数的单调区间，根据题意分、两种情况讨论，并结合在区间的单调性，以及该区间内的值域列等式并转化为一元二次方程根的问题求解即可． 【解答过程】（1）， 所以可知函数可由平移变换过来，而仅有一个对称中心， 故只有一个对称中心， ， 所以是函数图象的对称中心． （2）证明：，，且， 有 ， 由，得，，于是， 即， 所以，函数在区间上单调递增． （3），为对勾函数， 根据对勾函数的图像性质可知函数在上递减，在上递增， ①当时，函数在区间上单调递增， 于是，所以方程在上有两个不同的根， 即方程在上有两个不同的根， 由函数在上单调递增，故不符合； ②当，函数在区间上单调递减， 于是，即，两式相减得， 所以，将代入方程得， 同理可得， 所以，方程在上有两个不同的根， 记，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 【类型5 函数图象的判断及应用】 25．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【解题思路】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【解答过程】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 故选：D. 26．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用偶函数的对称性，结合函数值即可作出判断. 【解答过程】由，且定义域为，所以是偶函数， 即图象关于轴对称，故排除AC， 因为，所以排除A，则D正确. 故选：D. 27．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由奇偶性的定义确定函数的奇偶性，结合恒成立及排除法确定答案. 【解答过程】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D. 故选：B. 28．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【解答过程】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 29．（26-27高一上·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) ； (2)2或0 (3)图象： 【解题思路】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象． 【解答过程】（1）由，知. （2）由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 （3）根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 30．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明； (3)画出函数图象． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)函数为奇函数，在和上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）直接根据解析式求解定义域，分析函数值的取值情况确定值域； （2）计算，比较其与的关系即可判断奇偶性，再取值、作差、因式分解即可判断其单调性； （3）根据函数的零点，奇偶性，单调性及函数值的变化规律作出对应的函数草图即可. 【解答过程】（1）解：要使函数有意义，则，即函数的定义域为, 当；；；， 所以函数的值域为. （2）函数为奇函数，在和上单调递增，证明如下： 证明：奇偶性证明 设，定义域为，关于原点对称， ． 是奇函数． 单调性证明： 证明：，，且， 则． ，，，，， ，即． 在上为增函数． ，，且，则． ，，且， ，，． ，即． 在上为增函数． （3）令，解得，即函数的零点为， 故当时，；时，； 时，；时，； 又时，；当时，， 所以，当时图象在下方，时，函数图象在上方， 故结合以上函数性质，的大致图象如图所示： 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 31．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 32．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【答案】D 【解题思路】先根据题设条件推得4为函数的一个周期，结合取值代入，利用奇函数的定义，函数周期性等性质逐一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，因函数是定义在上的函数，其图象关于点对称， 且，可得， 由可得， 则有，则， 故，即4为函数的一个周期， 又由可得， 由可得， 这些条件均无法确定，可以是任意满足的值， 故没有依据，故A错误； 对于B，由A已得， 假设，则恒成立，而题设没有这个条件，故B错误； 对于C，由可得，故为偶函数， 假设为奇函数，则恒成立，而题设没有这个条件，故C错误； 对于D，由函数的图象关于点对称可知， 令得，即， 又由A项，，可得：，， 且4为函数的一个周期， 故，故D正确. 故选：D. 33．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，分别代入检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误. 【解答过程】对于A，令，可得，所以，故A错误； 对于B，令，，所以， 令，时，可得， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，令，则，又，，所以，故C正确； 对于D，因为是奇函数，，所以由得， 则，又，所以， 又在上单调递减，则不等式等价于，解得，故D正确. 故选：A. 34．（25-26高一上·山东济宁·期中）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】先用赋值法得到，判断出函数为偶函数，然后利用判断单调性，最后分类讨论计算的解集即可． 【解答过程】因为对任意的，都有：， 令，可知， 令，可知， 令，得， 故函数为偶函数， 令， 要使， 则， 显然函数为偶函数； 因为当时，， 所以当时函数单调递减， 此时也单调递减， ， 因为需要， 故， 因为为偶函数， 所以当时，的解为， 故不等式的解集为， 故答案为：. 35．（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）证明：函数的定义域为R，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取R，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 36．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）证明：由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 【类型7 函数性质的综合应用】 37．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】变形恒成立的不等式并构造函数，探讨函数的奇偶性及在上的单调性，进而确定在上的单调性，再变形给定不等式求解即得答案. 【解答过程】对任意的且均有， 不妨设，则，即， 令，则当时，，函数在上单调递增， 而，则， 因此函数为奇函数，在上单调递增，则函数在上为增函数， 不等式， 即，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 38．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 39．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解题思路】①先证其奇偶性，再分离常数结合单调性求在上的范围，结合奇偶性可得；②根据在上的单调性以及奇偶性可得；③举反例；④求出在上的解析式即可. 【解答过程】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ， 因在内单调递减，则函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知当时，, 所以的值域是，故①正确； 对于②：因函数在内单调递增，且为奇函数，则 函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②正确； 对于③：当任意且时， 令，，，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时，， 可得，，， 以此类推可得， 因此，故④正确； 故答案为：①②④. 40．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上的单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用与求出m，n的值，即可得解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）转化为，结合第二问求出，分，与三种情况，结合函数的单调性，求出，列出不等式，求出实数k的取值范围. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，故， 又，故，解得，所以， 函数的定义域为，且， 所以为奇函数，故； （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）得，任取，且， 故 ， 因为，且， 所以， 故， 故，所以， 故单调递增； （3）因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 因为在上的单调递增，所以， 当时，，所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，故， 所以，解得，与取交集得； 当时，在上单调递减，故， 所以，解得，与取交集得， 综上：实数k的取值范围是. 41．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的非零实数，都有，且当时，. (1)求的值并判断函数的奇偶性（说明理由）； (2)讨论函数的单调性并证明； (3)若，对任意的成立，求实数的取值范围 【答案】(1)，为偶函数，理由见解析； (2)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）赋值，，代入可得，赋值，，代入可得，即可得答案；赋值，根据奇偶性的定义，即可得答案. （2）当时，设，则，由题设，则，根据单调性的定义，即可得证，当时，设，根据偶函数的性质及单调性的定义，即可得证. （3）令，根据条件，可得，将条件变形为，根据的单调性及奇偶性，可得，根据绝对值不等式的解法，结合函数的单调性，对勾函数的性质，分析计算，可得a的范围. 【解答过程】（1），为偶函数，理由如下： 令，，代入得：， 解得， 令，，代入得：， 即，解得，所以. 令，则， 又函数的定义域关于原点对称，故为偶函数； （2）在上单调递增，在上单调递减，证明如下： 当时，设，则，由题设， 由，得， 故在上单调递增； 当时，设，则， 由（1）知为偶函数，故，. 因在递增，故，即， 故在上单调递减； （3）令，由得，故， 不等式可化为： ， 因为偶函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 所以，即或， 所以或， 则或， 记，， 因为，在上分别为减函数， 所以在为减函数， 则最大值为，故； 记，， 根据对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 且，即在区间[1,2]上的最小值，故. 综上，的取值范围为. 42．（25-26高一上·云南曲靖·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 (1)写出函数图象的对称中心，并求的值; (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; (3)已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据对称中心结论可求函数图象的对称中心，根据函数为奇函数列式求解； （2）根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； （3）依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【解答过程】（1）根据题意可知，函数为奇函数，所以函数图象的对称中心为， 函数得，， 因为函数为奇函数，所以，即， 所以，解得. （2）函数在区间上单调递增； 证明：，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， （3）因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由（2）可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的取值范围是. 【类型8 函数新定义】 43．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，则，，，再结合奇偶性即可判断①；设，再结合“晨晖函数”的定义进行推导即可． 【解答过程】命题①：根据题意，则， ，， 故，一定有，即， 所以“晨晖函数”一定是奇函数，故命题①正确； 命题②，由可知，点在函数图象上， 根据“晨晖函数”定义，点也必在函数图象上， 由于这四个点的横坐标各不相同，不违背函数的定义， 故可以构造出满足条件的“晨晖函数”，因此存在这样的函数，命题②正确. 故选：A. 44．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据得到函数在上单调递增，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性即可求解. 【解答过程】不妨设，令 则， 则函数在上单调递增， 对于不等式 ，由定义域可知， 所以不等式可化为，即， 因为在上单调递增；所以或（舍去）， 所以不等式的解集为. 故选：B. 45．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】依题意的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出的解析式，则问题转化为方程，有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得. 【解答过程】依题意函数的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， 所以， 函数存在“隐对称点”，即方程，有解； 得，， 利用基本不等式， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 46．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)函数不存在“优美区间”，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【解答过程】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 47．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【解答过程】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 48．（25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心. (2)若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）根据对称中心定义得出函数对称中心； （2）（i）根据已知解析式结合中心对称得出的解析式；（ii）分类讨论应用函数单调性结合基本不等式求解. 【解答过程】（1）设函数的图象关于点成中心对称图形， 则令为奇函数， ， 即为奇函数， 解得 ∴函数图象的对称中心是. （2）（i）由函数的图象关于点成中心对称图形，令， 则的图象关于点成中心对称图形，即为奇函数. 当时，由，得. 当时，由，得. 又， （ii）. ①当时，在上单调递增； 当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令. 在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在上单调递增， ∴当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令， 则解得； ③当时，在上单调递增在上单调递增， 此时即 ，则易知在上单调递减， . 又当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ，此时无解. 综上可知，的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数性质的灵活运用必考八类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 函数的单调性及其应用】 3 【类型2 函数的最值问题】 4 【类型3 函数的奇偶性及其应用】 5 【类型4 函数的对称性与周期性】 6 【类型5 函数图象的判断及应用】 7 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 9 【类型7 函数性质的综合应用】 11 【类型8 函数新定义】 12 知识点1 函数的单调性与最值问题的解题策略 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 (1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)； 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)； (2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)； (3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=4(b-a). 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 知识点5 抽象函数的解题策略 1．抽象函数及其求解方法 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决. 【类型1 函数的单调性及其应用】 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为____________． 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数． (1)当时，函数在区间上单调递增，求的取值范围； (2)当时，求不等式的解集． 【类型2 函数的最值问题】 7．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 9．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 10．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则最小值为__________. 11．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 12．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【类型3 函数的奇偶性及其应用】 13．（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 17．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 18．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【类型4 函数的对称性与周期性】 19．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 20．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 22．（2026高一上·全国·专题练习）函数的图象的对称中心为___________． 23．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 24．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)当，时，用定义证明在上单调递增； (3)当，时，若函数在定义域上单调，且函数的值域为，求实数的取值范围． 【类型5 函数图象的判断及应用】 25．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    26．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 29．（26-27高一上·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 30．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)求函数的定义域、值域； (2)判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明； (3)画出函数图象． 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 31．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 32．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 33．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的定义域为，则说法错误的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，单调递减，则当时，不等式的解集为 34．（25-26高一上·山东济宁·期中）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足，则不等式的解集为___________． 35．（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 36．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【类型7 函数性质的综合应用】 37．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对任意的且均有，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 40．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 41．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的非零实数，都有，且当时，. (1)求的值并判断函数的奇偶性（说明理由）； (2)讨论函数的单调性并证明； (3)若，对任意的成立，求实数的取值范围 42．（25-26高一上·云南曲靖·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，解决下列问题: 已知函数，函数为奇函数 (1)写出函数图象的对称中心，并求的值; (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; (3)已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【类型8 函数新定义】 43．（25-26高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，记．若任取，都有，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数”，使得．则下面说法正确的是（    ）. A．命题①正确，命题②正确 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①正确，命题②错误 D．命题①错误，命题②错误 44．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 46．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 47．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 48．（25-26高一上·贵州黔南·期末）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心. (2)若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $