专题01 集合中含参·互异性·集合个数问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题01 集合中含参·互异性·集合个数问题题型突破（六大题型） 考点01 判断是否为同一集合 考点02 判断元素与集合的关系 考点03 利用集合元素的互异性求参数 考点04 利用集合中元素的性质求集合元素的个数 考点05根据集合相等关系进行计算 考点06 集合的简单应用 考点01 判断是否为同一集合 1．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 3．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 4．下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 5．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 6．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的所有解组成的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误． 故选：B． 7．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 8．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 9．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 10．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 考点02 判断元素与集合的关系 11．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【详解】由，集合，可分类讨论： 当时，，集合，不满足集合的互异性，舍去； 当时，，集合，满足集合的互异性，成立； 综上所述，. 12．下列关系中正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②正确； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 所以正确的个数为2个. 13．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 14．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 15．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 16．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 17．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 18．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 19．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 20．已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. 考点03 利用集合元素的互异性求参数 21．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 22．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 23．已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 【答案】B 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 24．已知集合，，则（    ） A． B．0 C．或 D．1 【答案】C 【详解】解：，或， 解得或，经检验符合题意， 或． 25．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 26．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 27．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 28．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 29．已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 30．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 考点04 利用集合中元素的性质求集合元素的个数 31．下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合元素的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合元素的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 32．有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意，得集合，故， 又，或， 由题意可知，为关于的方程的一根， 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时方程无实数根，则满足条件， 当时，则方程有三个实根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； 综上，的可能的取值为. 33．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 34．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意得集合，故集合的元素个数为5. 35．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素具有互异性的性质，即可做出判断. 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 36．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 37．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 38．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 39．已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 40．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 考点05根据集合相等关系进行计算 41．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 42．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 43．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 44．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 45．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ） A．为单元素集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 【答案】D 【分析】利用立方和因式分解公式拆分条件，分两类讨论，得到可取全体实数，判断集合的性质. 【详解】因为，， 所以令，原式：，所以或， 当，则，因为，所以； 当，得，得，所以，所以，则， 综上，． 46．，则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 47．设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 48．已知集合与相等，则实数__________． 【答案】2 【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的互异性列出方程组，解方程即可完成求解. 【详解】因为集合与相等，则，解得． 故答案为：2. 49．已知集合，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 50．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____ 【答案】 【分析】分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案. 【详解】因为为非零实数， 所以时，+++； 当中有一个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有两个小于0时，不妨设， 此时+++； 当中有三个小于0时，此时+++， 所以的所有值组成的集合为 考点06 集合的简单应用 51．已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用集合的两条封闭性质，先证，再对四个选项逐一推理，通过反例或代数推导判断命题真假． 【详解】对于A，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得， 若，令，，则，， 令，，不存在，即，矛盾，所以，A错误； 对于B，因为，根据性质②，得，进而，，…，，，B错误； 对于C，因为，，所以，因为，，所以，C正确； 对于D，若，，则，D错误． 52．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故时，满足题意， 时，不满足题意， 时，满足题意， 且时，此时，，不满足题意， 综上可得. 53．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以． 54．已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 55．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 56．定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 57．（多选）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 【答案】BCD 【分析】根据题意若，则，则；若，则，则，则；由此逐项判断即可. 【详解】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则， 所有元素之和为3，即，化简得， 两边同时除以得， 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 58．下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 59．下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据集合的概念以及性质逐一判断即可. 【详解】①错，集合中最小元素为0；②错，当，时的最小值为1； ③错，，则；④错，由集合中元素的互异性知，该集合为. 即正确的个数是0个， 故选：A. 60．设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． (1)当时，写出集合P的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； (3)若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)2或10 (3)4 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与1,4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且. 当时，的可能取值为2或3. 当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，根据，，可得，，. 由于且，所以且，且. 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10. （3）设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设 ，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，这6个值分别记为： ，，，，，. 从而有： ，即， ，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果差倍集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时. 再看： 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即； 若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时，即. 再看，将代入，可得. 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，而在时，，与矛盾，故. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数. 因此差倍集中元素个数的最小值为4. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中含参·互异性·集合个数问题题型突破（六大题型） 考点01 判断是否为同一集合 考点02 判断元素与集合的关系 考点03 利用集合元素的互异性求参数 考点04 利用集合中元素的性质求集合元素的个数 考点05根据集合相等关系进行计算 考点06 集合的简单应用 考点01 判断是否为同一集合 1．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 3．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 5．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的所有解组成的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 7．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 8．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 10．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 考点02 判断元素与集合的关系 11．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 12．下列关系中正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 14．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 16．设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 17．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 19．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 20．已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 考点03 利用集合元素的互异性求参数 21．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 22．含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 23．已知集合，若，则（    ）. A． B．0 C．1 D．或0 24．已知集合，，则（    ） A． B．0 C．或 D．1 25．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 26．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 27．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 28．已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 29．已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 30．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 考点04 利用集合中元素的性质求集合元素的个数 31．下列说法正确的是（    ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 32．有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 34．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 35．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 36．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 37．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 38．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 39．已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 40．下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 考点05根据集合相等关系进行计算 41．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 42．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 43．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 44．集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 45．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ） A．为单元素集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 46．，则______． 47．设，集合，若，则__________. 48．已知集合与相等，则实数__________． 49．已知集合，则不等式的解集为______. 50．设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____ 考点06 集合的简单应用 51．已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 52．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 53．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 54．已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 56．定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 57．（多选）已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 58．下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 59．下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 60．设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． (1)当时，写出集合P的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； (3)若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $