专题02 特殊的因式分解法（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题02 特殊的因式分解法 常考题型·精准突破 题型1 因式分解要彻底分解（重） 题型2 利用整体法提公因式因式分解（高频） 题型3 十字相乘法因式分解（高频） 题型4 分组分解法因式分解（难） 题型5 因式分解的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 因式分解要彻底分解 1．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）将下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型2 利用整体法提公因式因式分解 4．（25-26八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 5．（25-26八年级下·河南郑州·期末）阅读以下材料． 材料：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“m”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 6．（25-26八年级上·山东烟台·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． ◆题型3 十字相乘法因式分解 7．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 8．（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 9．（25-26七年级下·山东聊城·期末）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． ◆题型4 分组分解法因式分解 10．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）观察甲、乙两人分解因式的过程： 甲： 乙： 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 11．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法”进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务． 典例引领 请用分组法将下面多项式因式分解：． 解：原式 ． 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式因式分解； (2)，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先对多项式分组，再提取公因式，即可求出答案． （2）先对多项式分组，再提取公因式，最后根据三角形三边和大于0的性质可求出有2条边相等，得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）略． 12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． ◆题型5 因式分解的应用 13．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）【观察】 ； ． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大的数的平方与此偶数平方的差能被整除； 【验证】 (1)的结果是的________倍； (2)设偶数为（为整数），试说明比大的数的平方与平方的差能被整除； 【延伸】 (3)比任意一个整数大的数的平方与此整数平方的差被整除的余数是几？请说明理由． 【答案】(1) (2)由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除 (3)余数为3， 理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）解：， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）略 （3）略 14．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为51，直接写出阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除，见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为． 15．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式法因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（   ） A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据乘法公式进行整理原式，然后根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴． ∴， 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）若a是实数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不等于0 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式， 先从后两项中提出2，再提出，然后得完全平方公式解答即可. 【详解】解：原式， 所以整式的值不是负数. 故选：A. 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 7．（2026九年级下·安徽宣城·竞赛）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26九年级下·四川内江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若为任意整数且，则的值总能被 整除． 【答案】11 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式对式子进行因式分解． 先利用平方差公式对进行因式分解，再结合化简式子，从而确定能整除该式子的数． 【详解】解： 因为已知，将其代入上式，得到． 这表明是11的倍数，即它的值总能被11整除． 故答案为：11． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆·期中）因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，完全平方公式，结合提公因式法求解； （1）提公因式法结合平方差公式，可分解因式； （2）根据完全平方公式，可分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用提公因式法因式分解； （3）利用公式法分解因式即可； （4）利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． ． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 18．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)分解因式：； (3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊的因式分解法 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1因式分解要彻底分解（重） 题型2利用整体法提公因式因式分解（高频） 题型3十字相乘法因式分解（高频） 题型4分组分解法因式分解（难） 题型5因式分解的应用（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1因式分解要彻底分解 1.(26-27八年级上湖南永州阶段检测)因式分解： (1)a2b-4ab2+4b3 (2)9(m+n)}2-(m-n)}2 2.(26-27八年级上广西桂林阶段检测)将下列各式因式分解： (1)a3-ab2 (2)a2(x-y)-2ab(x-y)+b2(x-y) 3.(26-27八年级上湖南娄底阶段检测)因式分解： ①)x2(x-y)+(y-x)； (2)3x2y-12y+12y ◆题型2利用整体法提公因式因式分解 4.(25-26八年级下广东深圳期末)先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则： 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原式=+2A+1=(4+.再将“A”还原，得原式=(x+y+. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：(x-y)+2(x-y)+1= (2证明：无论a,b取何值时，(ab2-40(ab-4a-2+l的值一定是非负数。 5.(25-26八年级下河南郑州期末)阅读以下材料. 材料：因式分解：(a+b)+6(a+b)+9. 解：将“a+b”看成一个整体，令a+b=m,则原式=m2+6m+9=(m+3)2. 再将“m”还原，得原式=(a+b+3), 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：(a-2b)2-2(a-2b)+1: (2)因式分解：(a2-4a+3)(a-4a+5)+1； (3)试证明：无论n为何值，式子n+4n+10(n+4n-2+38的值一定是一个不小于2的数. 6.(25-26八年级上山东烟台阶段检测)阅读下列材料： 材料1：将一个形如x+pr+9的二次三项式因式分解时，如果能满足9=mn且卫=m+n,则可以把 x2+px+9因式分解成(x+m)x+m),如：x2+4x+3=(x+1)x+3) 材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则原式=AP+2A+1=(A+) 再将“A”还原，得：原式=(x+y+) 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法 材料3：因式分解：x2-4y2-2x+4y,将前两项结合，后两项结合，即 x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)x+2y-2). 这种分解因式的方法叫分组分解法 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把x2-6x+8分解因式 (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3: ②分解因式：m(m+2)(m2+2m-2)-3. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)结合材料3分解因式x2-2y+y2-16 ◆题型3十字相乘法因式分解 7.(26-27八年级上湖南娄底·阶段检测)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=xx,-35=(-5)×(+7) -5 ②交叉相乘，验中项： +7 →7x-5x=2x. ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， 试用上述方法分解因式： (1)x2+5x+4 (2)2x2-7x+3 8.(25-26八年级下·山西运城期末)利用整式的乘法运算法则推导得出： (ar+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系 可得acr2+(ad+bc)x+bd=(a+b)(cx+d).通过观察可把acx+(ad+bc)x+bd看作以x为未知数，a、 b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数aC与常数项bd分别进行适当 的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解 的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分 解，如图2，则2x2+11x+12=(x+4)(2x+3) X axd+cXb=ad+bc 1×3+2×4=11 图1 图2 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：x2+6x-27: (2)用十字相乘法分解因式：6x2-7x-3: (3)结合本题知识，分解因式：(x+y)-7(x+y)+6 9.(25-26七年级下·山东聊城期末)在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究.如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分 解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁.请同学们阅读以下材料，尝试解决 问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例 如，分解因式(x2+2x(x2+2x+2)+1: 解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y: 原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=0+102=x2+2x+1)2=(x+): 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把x+4分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和 (x+2的形式，要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+4-4x2=x2+2)2-4x2=x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2): 人们为了纪念苏菲姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”， 材料3：十字相乘法 将一个形如x+px+9的二次三项式因式分解时，如果能满足p=m+n且9=mn,则可以把x+px+q因 式分解成(x+m)x+n) 例如分解x2+3x+2时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解 常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种 方法称为“十字相乘法”.这样，我们可以得到：x+3x+2=(x+)(x+2). .2 1×2+1×1=3 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：(x2-6x+8(x-6x+10)+1: (2)用姬曼定理因式分解：x+4y: (3)用十字相乘法因式分解：x2+2x-15: (4)因式分解：x2-2ax-b2-2ab 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4分组分解法因式分解 10.(26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测)观察甲、乙两人分解因式的过程： 甲：x2-xy+4x-4y 乙：a2-b2-c2+2bc =(x2-y)+(4x-4y) =a2-(b2+c2-2bc =x(x-y)+4(x-y) =a2-(b-c)2 =(x-y)x+4) =(a+b-ca-b+c) 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)m23-2m2-4m+8; (2)x2-2y+y2-9 11.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)漯河某初中数学小组学完“因式分解”后，对“分组分解法” 进行了探讨，请认真阅读如下表格，完成项目式学习任务 请用分组法将下面多项式因式分解：a2+a-b2-b」 解：原式=(a-b2)+(a-b) 典例引领 =(a-b)(a+b)+(a-b)x1 =(a-b)(a+b+1). 技巧总结 分组分解的关键是分组，要特别掌握提公因式法和公式法 迁移应用 (1)将多项式4m2+m-4n2-n因式分解： (2)a,b,c是△ABC的三边，且满足ac-bc+a2-b2=0,请判断△ABC的形状，并说明理由. 12.(25-26八年级下广东深圳期中)初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运 用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用. ①分组分解法： 例如：x-2gy+y2-4=(x2-2y+y2）-4=(x-y)}2-22=(x-y-2)(x-y+2). ②拆项法： 例如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3). (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x-y2+1: 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②（拆项法）x2-6x-16: (2)因式分解的综合运用 ①已知：ab、c为△ABC的三条边，a2+b+c2-4a-4h-6c+17=0,则△ABC的周长为一； ②已知：ab、c为△ABC的三条边，满足a2+b+c2-ab-bc-ac=0,试确定△ABC的形状，并说明理 由. ◆题型5因式分解的应用 13.(25-26七年级下河北秦皇岛·期末)【观察】 (2+3)2-2=(2+3+2)×(2+3-2)=7×3: (4+3)2-42=(4+3+4)×(4+3-4)=11×3 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数的平方与此偶数平方的差能被3整除： 【验证】 (①)(6+3)2-62的结果是3的 倍 (2)设偶数为2n(n为整数)，试说明比2n大3的数的平方与2n平方的差能被3整除 【延伸】 (3)比任意一个整数大3的数的平方与此整数平方的差被6整除的余数是几？请说明理由. 14.(25-26七年级下·河南平顶山期中)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么 称这个正整数为“和谐数”.例如：8=32-1P,16=52-32,24=72-52,则8,16,24都是“和谐数”. A D 35·.. (1)特例感知：40_“和谐数”，2026_“和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2k-1和2k+1,其中k是正整数，那么“和谐 数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明： (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD，其边长为 51,直接写出阴影部分的面积为_ 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26七年级下·江苏宿迁·期中)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公 式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成2+b (a,b是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为l0=32+1P,所 以10是“和谐数”. 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有_·（填序号） ①12：②20；③45：④60， 【探究问题】 (2)若a-8a+25可配方成(a-m+n(m,n为常数)，则mm的值· (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由， 【拓展应用】 (4)已知P=3x2+4y+15,2=2x2-y2+10x-17,比较P,0的大小. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国课后作业)分解因式2x2-32的结果是（) A.2(x2-16)B.2(x+8)(x-8)C.2(x+4)(x-4)D.(2x+8)(x-8) 2.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)已知a、b、c是三角形的三边，则代数式a2-2b+b2-2的值 () A.不能确定 B.大于0 C.等于0 D.小于0 3.(25-26七年级下全国单元测试)若a是实数，则整式a(a2-2)-2a2+4的值() A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 4.(2025八年级上·全国专题练习)已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足 a2+2b2-2b(a+c)+c2=0,判断此三角形的形状为() A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上重庆·期中)在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解， 将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解.如： ar+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).下列说法中： ①因式分解：x2-2y+y2-1=(x-y+1)(x-y-1) ②若a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC为等腰三角形， ③若a,b,c为实数满足a2+2b2+c2+28=4a+8b+8c,则以a,b,c作为三边能构成等腰三角形.其中 正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 6.(25-26七年级下河北单元测试)因式分解：(x-)+4(y-)=一 7.(2026九年级下安徽宣城竞赛)分解因式：m3-3m2-6m+8= 8.(25-26九年级下四川内江阶段练习)分解因式：(x+y)-12(x+y)+35= 9.(25-26八年级下陕西咸阳期末)若k为任意整数且a+b=11,则(k+-(k-b)的值总能被 整除 10.(25-26九年级上江苏泰州阶段练习)定义：一个整数能表示成Q+b(a、b是整数)的形式，则称 这个数为“完美数”.己知S=x2+4y+4红-12y+k(c、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试写 出符合条件的一个k值一· 三、解答题 11.(25-26八年级上重庆期中)因式分解 (1)a(x-y)-x+y; (2)(x+y)2-4(x+y-1) 12.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)因式分解： (1)-16m3+16m2-4m; (2)4(x-y3-6(0y-x: (3)(2a+3b)2-4(2a+3b)-12: (449(a+b)2-25(a-b)2 13.(25-26八年级上·陕西延安·期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整 数为“奇巧数”，如12=42-22,20=62-42,28=82-6，…，因此12,20,28这三个数都是奇巧数. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)设两个连续偶数为2n,2n+2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为 什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证， 14.(2025八年级上全国专题练习)【阅读理解】由多项式乘法：(x+P)(x+9)=+(p+9)x+9,将 该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：x+(D+9)x+p9=(x+P)(x+q),示 例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3), 【问题解决】分解因式： (1)x2+5x+4= (2)x2-6x+8= (3)x2+2x-3= (4)x2-6x-27= 15.(25-26八年级上湖南阶段练习)我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)的形式，这就是将多 项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可 以尝试用下面的办法来分解因式。 a2+6a+8=a2+6a+9-1 =(a+3)2-1 =[(a+3)+1][(a+3)-1] =(a+4)(a+2) 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)x2-6x-27: (2x2-2y-3y2: 3)(x2-2x)(x2-2x+4+3 16.(2025八年级上·全国·专题练习)整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,得x2+(a+b)x+ab=(x+a)x+b),利用这个式子可以将某些二次项系数 是1的二次三项式分解因式. 例如：分解因式x2-8x+12,这个式子的常数项12=(-2)×(6)，一次项系数8=-2+(-6)，故原式可分 解为(x-2)x-6),这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1×(-2)+1×(-6)=-8 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：x2+4x-12: (②)将代数式(x-1(x+2x-3(x+4)+9先分解因式，再求值，其中x2+x=4. 17.(25-26八年级上湖南郴州阶段练习)阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：2x2-x-3, (1)二次项系数：2=1×2： (2)常数项：-3=(-)x3=1×(-3), (3)验算：“交叉相乘之和” ② ③ ④ 发现第③个“交叉相乘之和”1×(-3)+2×1=-1，与一次项系数-1相等，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”· 仿照以上方法，因式分解： (1)x2-10x+9 (2)2.x2-x-10 18.(25-26八年级上广东江门阶段练习)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分 多项式只用上述方法就无法分解，如-2y+y-16.我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全 平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解。 过程如下：x2-2y+y2-16 =(x-y)2-16 =(x-y+4)(x-y-4) 这种分解因式的方法叫分组分解法， 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (分解因式：ax+a四+2-y= (2)分解因式：a2+b2-n2+2ab: (3)已知a,b,c分别是△ABC三边的边长且a2+b2+ac-bc-2ab=0,请判断△ABC的形状，并说明理由. 10/10 专题02 特殊的因式分解法 常考题型·精准突破 题型1 因式分解要彻底分解（重） 题型2 利用整体法提公因式因式分解（高频） 题型3 十字相乘法因式分解（高频） 题型4 分组分解法因式分解（难） 题型5 因式分解的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 因式分解要彻底分解 1． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型2 利用整体法提公因式因式分解 4． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 5． 【答案】(1) (2) (3)证明：令， ， 将还原， ， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【分析】（1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“m”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“m”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， ， 将“”还原，得； （2） 解：令， ， 将“”还原，得： ； （3）证明详见答案 6． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． ◆题型3 十字相乘法因式分解 7． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 8． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 9． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． ◆题型4 分组分解法因式分解 10． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 11． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由如下： ∵， 即 ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先对多项式分组，再提取公因式，即可求出答案． （2）先对多项式分组，再提取公因式，最后根据三角形三边和大于0的性质可求出有2条边相等，得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）略． 12． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． ◆题型5 因式分解的应用 13． 【答案】(1) (2)由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除 (3)余数为3， 理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）解：， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）略 （3）略 14． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除，见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为． 15． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 二、填空题 6． 7． 8． 9．11 10．13 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，完全平方公式，结合提公因式法求解； （1）提公因式法结合平方差公式，可分解因式； （2）根据完全平方公式，可分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用提公因式法因式分解； （3）利用公式法分解因式即可； （4）利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 14． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 15． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和分组法进行因式分解是解题的关键． （1）（2）（3）仿照阅读材料中的方法，将各式变形，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 17． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 18． 【答案】(1) (2) (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $