专题09 分式方程压轴应用题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版+压轴挑战”构建分式方程应用体系，聚焦工程、行程等五大题型，提炼可迁移方法，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3要点|单位统一、分式规范、验根完整|奠定分式方程应用基础技能| |工程问题|1典例+3变式|先求单独工期，再列不等式组求方案|从量关系到最值优化，培养推理意识| |行程问题|1典例+3变式|相遇速度和、追及速度差，画图破题|物理情境数学化，发展几何直观| |销售利润|1典例+3变式|单利公式+销量关系，列表梳理数据|经济问题模型构建，提升数据观念| |新能源相关|1典例+3变式|“新背景旧公式”，设分母简量为x|跨学科情境迁移，强化应用意识| |方案问题|1典例+3变式|列方案表达式，比较不等式与函数|实际决策优化，培养创新意识| |压轴挑战|15题|综合应用五大题型方法|从基础到拔高，覆盖中考命题趋势|

专题09 分式方程压轴应用题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、工程问题 题型二、行程问题 题型三、销售利润 题型四、新能源相关 题型五、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 单位统一：小时和分钟，千米和米，先换算再列式，否则全盘皆输。分式写法：列方程时，分子有加减项（如 x+3）必须加括号，否则计算必错。答要完整：最后写“经检验，x=... 是原分式方程的解，且符合题意”。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、工程问题 典例1 低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 题型模版 1.特征：题干中出现“单独做需几天”、“合作提前几天”、“中途请假几天”等关键句。 2.方法：先列分式方程求出甲乙单独工期。再设甲干 m 天，乙干 n 天，根据工期限制列不等式组，求整数解。费用比较：若甲贵但快，乙便宜但慢，极值通常在“刚好按期完成”的临界点取得，直接代两端比大小。 变式1-1某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 变式1-2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 变式1-3．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 题型二、行程问题 典例1 某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 题型模版 1.特征：题干中给出路程或速度等相关信息。 2.方法：相遇速度和，追及速度差；顺加逆减水，画图破万法。 变式1-1一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 变式1-2．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 变式1-3．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 题型三、销售利润 典例1 素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 题型模版 1.特征：题干中含单价利润等相关信息。 2.方法：单利售价减进价，销量受变调公式；列表理清两套数，选根紧扣题中话。 变式1-1阅读下列素材，完成任务． 随县是中国现代香菇产业起源地，是闻名海内外的“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”，其所产香菇肉质厚实、香味浓郁，同时出产的黑木耳也口感脆嫩、品质优良，均为广受欢迎的农特产品． 素材1：某特产店计划用元购进随县香菇和木耳进行销售。已知香菇的进价比木耳的进价高元/千克，用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多． 素材2：根据该特产店所定的售价，每千克木耳的利润是每千克香菇利润的倍．同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克． 问题解决 (1)确定进价：分别求出香菇和木耳每千克的进价． (2)确定利润：分别求出香菇和木耳每千克的利润． (3)确定购进方案：要使总利润不低于元，则最多能购进香菇多少千克？ 变式1-2．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 变式1-3．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． (1)A，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 题型四、新能源相关 典例1 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 题型模版 1.特征：题干中含“新能源”,已机器人，新能源车等作为背景。例如：比较电动车和燃油车的购车价、每公里能耗或每年行驶里程。 2.方法：把“新能源”看成“新皮肤”，内核公式照旧。遇到“电耗”就按“速度”算，遇到“安装”就按“工程”算，优先设分母最简单的那个量为 x。 变式1-1．项目式学习： 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 变式1-2．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一，我校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：45L 电池容量： 油价：8元/L 电价：0.6元 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：____________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2000元和5300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 变式1-3．问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 题型五、方案问题 典例1 ．中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． (1)求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 题型模版 1.特征：题干出现“有几种方案”、“选择哪种最划算”、“不超过预算”、“不少于需求量”。 2.方法：考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键，分别列出不同方案的表达式，直接比较或列不等式函数等进行比较。 变式1-1中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 变式1-2．连江县被誉为“中国鲍鱼之乡”，1月份某经销商采购甲、乙两种鲍鱼，甲种鲍鱼用了元，乙种鲍鱼用了元，甲种鲍鱼的采购数量比乙种鲍鱼多千克，乙种鲍鱼的采购单价是甲种鲍鱼的倍， (1)求1月份甲、乙两种鲍鱼的采购单价各是多少？ (2)2月份该经销商计划用于采购甲、乙两种鲍鱼的总费用与1月份相同，且采购甲、乙两种鲍鱼的费用各为总费用的一半，现提供两种采购方案． 方案一：甲、乙两种鲍鱼单价分别为元／千克和元／千克； 方案二：甲、乙两种鲍鱼单价均为元／千克． 若，试通过计算说明该经销商选用哪种方案采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 变式1-3．根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同 素材二 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票，其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元．已知小明旅行团中共有5名成人和6名儿童 问题解决 任务1确定票价 请计算成人票和儿童票的售价 任务2拟定购票方案 根据素材二，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 2．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（     ） A． B． C． D． 5．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 6．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 8．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 9．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 10．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 11．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 12．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/L 电价： 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：___________元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 13．（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 14．国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表． 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分析 距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟 距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍． (1)求日常情况下方案一需要的时间； (2)国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由． 15．我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 分式方程压轴应用题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、工程问题 题型二、行程问题 题型三、销售利润 题型四、新能源相关 题型五、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 单位统一：小时和分钟，千米和米，先换算再列式，否则全盘皆输。分式写法：列方程时，分子有加减项（如 x+3）必须加括号，否则计算必错。答要完整：最后写“经检验，x=... 是原分式方程的解，且符合题意”。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、工程问题 典例1 低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 题型模版 1.特征：题干中出现“单独做需几天”、“合作提前几天”、“中途请假几天”等关键句。 2.方法：先列分式方程求出甲乙单独工期。再设甲干 m 天，乙干 n 天，根据工期限制列不等式组，求整数解。费用比较：若甲贵但快，乙便宜但慢，极值通常在“刚好按期完成”的临界点取得，直接代两端比大小。 变式1-1某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、 (2)甲队施工16天，乙队施工14天 【详解】（1）解：设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积， 由题意得， 解得， 经检验，是该方程的根， ， 所以甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、； （2）解：设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：， 解得， 所以（天）， 所以甲队施工16天，乙队施工14天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 变式1-2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 【分析】（1）设乙队单独施工1天能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解； （2）①设甲队施工的天数是天，则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成．列方程求解，再根据方程的解，求出施工经费即可； ②根据甲、乙的工作效率及施工费用，得到乙队施工天数多一些，更节省开支．设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务．列方程求解得到，再计算金额即可． 【详解】（1）解：由题意，可得甲队单独完成这项工作需要（天）， 则甲队1天能完成总工作量的． 设乙队单独完成这项工作需要天，则乙队施工1天能完成总工作量的． 依题意可列方程为， 解得． 经检验是方程的解． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天． （2）解：①两队施工的天数一共是130天，设甲队施工的天数是天， 则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成． 依题意可列方程为， 解得． 乙队施工的天数是（天）． 总支出是， 当时，． 因此甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元． ②由题意可知，甲队施工1天需支出9000元，乙队施工1天需支出4000元， 乙队2天的支出是8000元，其2天的工作量相当于甲队1天的工作量， 因此乙队施工天数多一些，更节省开支． 假设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务． 依题意可列方程为， 解得． 为整数， 的值取53，即甲队施工53天． 又甲队半天的工作量等于乙队1天的工作量， 乙队只需要施工74天． 支出的最少金额为（元）． 答：甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天． 变式1-3．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 题型二、行程问题 典例1 某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 题型模版 1.特征：题干中给出路程或速度等相关信息。 2.方法：相遇速度和，追及速度差；顺加逆减水，画图破万法。 变式1-1一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 变式1-2．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2) 解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）略 （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 变式1-3．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 题型三、销售利润 典例1 素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 【答案】(1)“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元． 【分析】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元，根据每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元和购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设每杯“栀子花开”利润为元，根据每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，可得每杯“茉莉花开”利润为元，再根据题意即可列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元， 由素材可得：， 解得：， 答：“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； （2）设每杯“栀子花开”利润为元， ∵每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍， ∴每杯“茉莉花开”利润为元， 由素材可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元 题型模版 1.特征：题干中含单价利润等相关信息。 2.方法：单利售价减进价，销量受变调公式；列表理清两套数，选根紧扣题中话。 变式1-1阅读下列素材，完成任务． 随县是中国现代香菇产业起源地，是闻名海内外的“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”，其所产香菇肉质厚实、香味浓郁，同时出产的黑木耳也口感脆嫩、品质优良，均为广受欢迎的农特产品． 素材1：某特产店计划用元购进随县香菇和木耳进行销售。已知香菇的进价比木耳的进价高元/千克，用元购进的香菇数量和用元购进的木耳数量一样多． 素材2：根据该特产店所定的售价，每千克木耳的利润是每千克香菇利润的倍．同样获得元的利润，需要出售的香菇数量比需要出售的木耳数量多千克． 问题解决 (1)确定进价：分别求出香菇和木耳每千克的进价． (2)确定利润：分别求出香菇和木耳每千克的利润． (3)确定购进方案：要使总利润不低于元，则最多能购进香菇多少千克？ 【答案】(1)香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元 (2)每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元 (3)最多购进香菇千克 【详解】（1）解：设每千克木耳的进价是元，则每千克香菇的进价是元， 由题意得：   ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意， 香菇的进价：（元）， 答：香菇每千克的进价是元，木耳每千克的进价是元； （2）解：设每千克香菇的利润是元，则每千克木耳的利润是元， 由题意得， ， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解，符合题意； 每千克木耳的利润是：（元）； 答：每千克香菇的利润是元，每千克木耳的利润是元； （3）解：设购进香菇千克，则购进木耳 千克， 由题意得：，   解得 ， ∴最多购进香菇千克． 变式1-2．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 【答案】(1)购买半盔型个，全盔型个 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键． （1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可． （2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可． 【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个． 由题意得：， 解得 故半盔型个，全盔型为：． 答：购买半盔型个，全盔型个． （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意． 故． 变式1-3．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． (1)A，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】(1)种图书每本30元，种图书每本36元 (2)至多购进A种图书50本 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）先设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元，再根据题意列方程求解即可； （2）先设购进A种图书m本，则购进B种图书本，再根据“销售完后所获利润不少于1500元”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 答：A种图书每本的进价为30元，B种图书每本的进价为36元． （2）解：设购进A种图书m本，则购进B种图书本， 由题意得，， 解得，． 答：至多购进A种图书50本． 题型四、新能源相关 典例1 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 题型模版 1.特征：题干中含“新能源”,已机器人，新能源车等作为背景。例如：比较电动车和燃油车的购车价、每公里能耗或每年行驶里程。 2.方法：把“新能源”看成“新皮肤”，内核公式照旧。遇到“电耗”就按“速度”算，遇到“安装”就按“工程”算，优先设分母最简单的那个量为 x。 变式1-1．项目式学习： 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1) 单枪充电桩单价为2000元/个，双枪充电桩单价为3200元/个 (2) 小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购支出不超过26880元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购支出不超过26880元， ∴， 解得， ∵为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 变式1-2．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一，我校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：45L 电池容量： 油价：8元/L 电价：0.6元 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：____________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为2000元和5300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据总费用除以续航里程，即可得到新能源车每千米行驶费用的代数式； （2）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，列分式方程，求解检验后得到两款车的每千米行驶费用； （3）设年行驶里程为未知数，根据新能源车年费用更低列一元一次不等式，求解得到行驶里程的范围． 【详解】（1）解：由表格信息可得，新能源车总费用为（元），续航里程为a千米，因此每千米行驶费用为元． （2）由题意得： 整理得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 因此燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元． （3）设每年行驶里程为m千米，由题意得： 整理得 解得 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 变式1-3．问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)元 (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据素材中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）． （2）解：由题意列分式方程得：， 整理得，， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 题型五、方案问题 典例1 ．中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． (1)求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． (2)经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】(1)A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元 (2)当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少 【分析】（1）设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套，求出两种方案的费用，进而分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元． 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， 此时． 答：A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元； （2）解：设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套． ∵，两种类型均购买，型民族服饰不超过35套， ∴为正整数，且， 按方案一购买需要的费用为． 按方案二购买需要的费用为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 答：当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少． 题型模版 1.特征：题干出现“有几种方案”、“选择哪种最划算”、“不超过预算”、“不少于需求量”。 2.方法：考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键，分别列出不同方案的表达式，直接比较或列不等式函数等进行比较。 变式1-1中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】(1)青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元 (2)当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【详解】（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 变式1-2．连江县被誉为“中国鲍鱼之乡”，1月份某经销商采购甲、乙两种鲍鱼，甲种鲍鱼用了元，乙种鲍鱼用了元，甲种鲍鱼的采购数量比乙种鲍鱼多千克，乙种鲍鱼的采购单价是甲种鲍鱼的倍， (1)求1月份甲、乙两种鲍鱼的采购单价各是多少？ (2)2月份该经销商计划用于采购甲、乙两种鲍鱼的总费用与1月份相同，且采购甲、乙两种鲍鱼的费用各为总费用的一半，现提供两种采购方案． 方案一：甲、乙两种鲍鱼单价分别为元／千克和元／千克； 方案二：甲、乙两种鲍鱼单价均为元／千克． 若，试通过计算说明该经销商选用哪种方案采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 【答案】(1)甲种鲍鱼的采购单价是元/千克，乙种鲍鱼的采购单价是元/千克． (2)该经销商选用方案一采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 【详解】（1）解：设甲种鲍鱼的采购单价为元/千克，则乙种鲍鱼的采购单价为元/千克，根据题意，可列方程: 解得； 把代入，故是原方程的解，且符合题意． 则乙种鲍鱼的采购单价为(元/千克)． 答:甲种鲍鱼的采购单价为元/千克，乙种鲍鱼的采购单价为元/千克． （2）解：1月份采购甲、乙两种鲍鱼的总费用为(元)． 2月份采购甲、乙两种鲍鱼的费用均为(元)． 方案一：采购甲种鲍鱼的数量为千克，采购乙种鲍鱼的数量为千克，则方案一采购总数量为千克； 方案二：采购甲、乙两种鲍鱼的总数量为千克． 方案一采购的总数量多． 答：时，选用方案一采购两种鲍鱼的总数量多． 变式1-3．根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同 素材二 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票，其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元．已知小明旅行团中共有5名成人和6名儿童 问题解决 任务1确定票价 请计算成人票和儿童票的售价 任务2拟定购票方案 根据素材二，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价 【答案】任务1：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元；任务2：购买2张家庭票，再购买1张成人票和2张儿童票，购票总价最低，总票价为1230元 【详解】解：任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元； 任务2：因为单独购买2张成人票和2张儿童票的价格为 元， 大于家庭票的售价450元， 所以应尽量多购买家庭票， 旅行团中共有5名成人和6名儿童，最多可购买2套家庭票， 故购买2套家庭票、1张成人票和2张儿童票的方案总价最低， （张），（张）． 购买2套家庭票，再买1张成人票，2张儿童票，所需费用为（元）． 答：当购买2套家庭票，1张成人票，2张儿童票时，购票总价最低，最低价为1230元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先求出顺流、逆流的实际航速，再根据时间相等的等量关系列方程． 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 2．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设骑车的速度为，则汽车速度为，且， 根据题意得． 3．掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以总工作量为单位，结合两模型的时间关系与合作完工条件列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵设单独处理需要小时，单独处理时间比少3小时， ∴单独处理需要小时， 将总工作量看作单位1，则的工作效率为，的工作效率为， ∵两模型合作2小时完成全部工作， ∴，整理得． 4．在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以植树时间相等为等量关系，先表示原计划每天植树棵数，再分别表示两种情况的植树时间列方程． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树棵， 根据题意，列方程为． 5．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 6．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 【答案】 【分析】由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个，再结合“用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个”列出分式方程即可． 【详解】解：由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个． 根据题意，得． 7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【答案】 【分析】设进价与A，B两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B进货量的关系，再根据总利润之比列方程即可求解B降价后的利润率． 【详解】解：设每部手机进价为，A种手机总进货量为，B种手机总进货量为，B种手机降价销售时的利润率为， 由题意，A的定价为，B的定价为， 根据已售出部分营业额比为，列方程得：， 约去后化简得：，即，即， A种手机价格不变，全部售完后总利润为：， B种手机总利润分两部分计算：， 根据总利润比为，列方程得：， 将代入，约去得：，即， 交叉相乘计算得：，解得， 则B种手机在降价销售时的利润率为． 8．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】将总工作量看作单位，根据题意表示出甲、乙的工作时间与工作效率，根据甲、乙工作效率的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：∵设单独用甲碾完需小时，乙完成时间比甲多小时， ∴乙单独完成需要小时； 将总工作量看作单位，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵甲每小时碾米量是乙的倍，即甲的工作效率乙的工作效率， ∴，整理得． 9．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程问题，根据工作总量工作时间工作效率，结合总工作量为，即可列出正确方程． 【详解】解：设乙队单独施工需要个月，则乙队的工作效率为， 由题意可知，甲队单独施工个月完成总工程的，因此甲队的工作效率为， 甲先单独完成的工作量，之后甲乙两队共同工作半个月（即个月），总工作量为， 列方程得：， 整理可得：． 10．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为，根据去程行驶情况建立方程，求解得，再计算去程实际时间和返回时间，求时间差即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 11．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 12．“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示：根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元． 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/L 电价： 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：___________元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用___________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 13．（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）慢车的速度为（2）当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设慢车的速度的速度为，根据快车的速度是慢车速度的1.2倍，慢车先行，出发后，快车前行，两车同时到达游览区，列出方程进行求解即可； （2）根据两种方案分别列出代数式，进行求解判断即可． 【详解】解：（1）设慢车的速度的速度为，由题意，得： ， 解：， 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：慢车的速度为； （2）按照方案一付费：元； 按照方案二付费：； 当，即：时，两种付费方式费用相同； 当，即：时，按照方案二付费更优惠； 当，即：时，按照方案一付费更优惠； 答：当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费． 14．国庆期间，小明和小李两家打算自驾去某地游玩．制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表． 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分析 距离短，路上货车较多，影响速度，比方案二晚到10分钟 距离长，速度快，平均速度是方案一平均速度的2倍． (1)求日常情况下方案一需要的时间； (2)国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择走高速．同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60千米以上，请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下，哪家能先到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)方案一需要的时间为70分钟 (2)当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． （1）设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟．根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的2倍”列出方程并解答； （2）由（1）先计算出小李家到达目的地的时间，设小明家的平均速度为千米/分钟，利用两家同时达到建立分式方程，求出小明家到达目的地的平均速度，再根据平均速度比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设方案一需要x分钟，则方案二需要分钟， 由题意得：， 解得：， 答：方案一需要的时间为70分钟； （2）解：由（1）知，小李家达到目的地所用的时间：（分钟）， 小明家一开始的平均速度为：（千米/分钟）， 20分钟后，小明家的平均速度达到每小时60千米以上，即每分钟1千米以上， 设小明家的平均速度为千米/分钟， 由题意得小明家到目的地所用的时间：， 则， 解得：， （千米/小时）， 答：当小明家的平均速度达到每小时90千米时，两家同时到达；当小明家的平均速度小于每小时90千米时，小李家先到达，当小明家的平均速度大于每小时90千米时，小明家先到达． 15．我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【答案】(1)一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球拍需70元 (2)方案B 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需元，根据“350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副，”列方程求解即可； （2）设购买m（且m为整数）副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍副，分别求得选择方案A所需总费用为（元），选项方案B所需总费用为（元），再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球拍需70元； （2）解：设购买m（且m为整数）副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍副， 选择方案A所需总费用为：（元）， 选项方案B所需总费用为：（元）， 当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， ∵， ∴． 答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $