第十八章 分式（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版八年级上册

2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十八章 分式 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示0.0000025为（   ） A．2.5×10－5 B．2.5×10－6 C．2.5×10－7 D．2.5×10－8 3．若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 4．下列分式中，是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 7．若，则分式的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（    ）． A．-1 B．0 C．0或    2 D．0.5或-1 10．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在分式，，，中，最简分式有__________个． 12．若分式有意义， 则的取值范围是_________. 13．计算：_____________. 14．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 15．若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是______. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．化简： （1）；     （2）． 17．计算： (1) (2) 18．解方程：(1)           (2) 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式如．这种方法我们称为“分离常数法”． (1)如果，求常数a的值； (2)利用分离常数法，解决下面的问题∶当m取哪些整数时，分式的值是整数？ 20．和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍． （1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？ 21．下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 方程两边同乘_____，得．…………第一步 去括号，得…………第二步 移项、合并同类项，得…………第三步 系数化为1，得…………第四步 任务一： (1)第一步横线处应填写的最简公分母是_____，这一步的依据为____________________； (2)上述解分式方程的过程体现的数学思想是（    ） A．类比思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．公理化思想 (3)小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步____________________； 任务二： (4)分式方程的解是__________． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．观察下列等式＝1﹣，＝，＝；将以上三个等式两边分别相加得：＝1﹣﹣﹣＝1﹣＝． （1）猜想并写出＝_______；＝______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①+……+＝______． ②+……+＝______． （3）探究并计算：+……+． 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十八章 分式 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示0.0000025为（   ） A．2.5×10－5 B．2.5×10－6 C．2.5×10－7 D．2.5×10－8 3．若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 4．下列分式中，是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 7．若，则分式的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（    ）． A．-1 B．0 C．0或    2 D．0.5或-1 10．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在分式，，，中，最简分式有__________个． 12．若分式有意义， 则的取值范围是_________. 13．计算：_____________. 14．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 15．若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是______. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．化简： （1）；     （2）． 17．计算： (1) (2) 18．解方程：(1)           (2) 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式如．这种方法我们称为“分离常数法”． (1)如果，求常数a的值； (2)利用分离常数法，解决下面的问题∶当m取哪些整数时，分式的值是整数？ 20．和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍． （1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？ 21．下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 方程两边同乘_____，得．…………第一步 去括号，得…………第二步 移项、合并同类项，得…………第三步 系数化为1，得…………第四步 任务一： (1)第一步横线处应填写的最简公分母是_____，这一步的依据为____________________； (2)上述解分式方程的过程体现的数学思想是（    ） A．类比思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．公理化思想 (3)小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步____________________； 任务二： (4)分式方程的解是__________． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．观察下列等式＝1﹣，＝，＝；将以上三个等式两边分别相加得：＝1﹣﹣﹣＝1﹣＝． （1）猜想并写出＝_______；＝______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①+……+＝______． ②+……+＝______． （3）探究并计算：+……+． 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十八章分式（参考答案） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D C A B D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．2 12． 13．7 14．2 15．9 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．解：（1）原式=；................4分 （2）原式= ．................8分 17．（1）原式 ；................4分 （2）原式 ．................8分 18．（1）去分母得： 去括号得： 移项得， 合并同类项，系数化为1，得：x=-5 检验：将x=-5代入（x2-16）中，x2-16=(-5)2-16≠0， ∴x=-5是方程的解；................4分 （2） 去分母得： 去括号得：2x-2 +3x+3=6 移项得，2x+3x=6+2-3 合并同类项，得5x=5 系数化为1得，x=1 检验：将x=1代入（x2-1）中，x2-1=12-1=0 ∴x=1是方程的增根 ∴原方程无解.................8分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（1）解：∵， 而， ∴．................3分 （2）， ∵m为整数，分式的值为整数， ∴或， ∴解得或或或．................9分 20．（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元， 依题意，得：2， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意， ∴x+50＝200． 答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．................4分 （2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个， 依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390， 解得：m＞112． ∵m为正整数， ∴m的最小值为113． 答：该商店本次购进甲种零件至少是113个．................9分 21． (1)（或）；等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立（等式的基本性质） ................2分 (2)B................3分 （3）解：解分式方程必须有检验步骤，原解答过程遗漏了这一步， 因此补全为：检验：当时，，所以是原分式方程的解．................5分 （4）解：， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为．................9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22． （1）；；................2分 （2）①；②；................7分 （3）原式= = =................12分 23．（1）解：∵ ∴， ∴， ∴；................2分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴；................6分 （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴；................12分 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十七章 分式（全解全析） 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式是分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义：形如 (A、B都是整式且B中含有字母)的式子叫分式． 根据分式的定义进行分析判断． 【详解】解：A、是整式，不是分式，符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、该式是整式，不是分式； D、该式的分母有字母，是分式， 故选∶D． 2．用科学记数法表示0.0000025为（   ） A．2.5×10－5 B．2.5×10－6 C．2.5×10－7 D．2.5×10－8 【答案】B 【详解】0.0000025=2.5×10－6 故选B. 3．若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【分析】将扩大后的x,y代入原分式，利用分式基本性质化简后，与原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵ x,y都扩大到原来的3倍，即变为和， ∴将其代入原分式可得 与原分式对比，可知分式的值扩大3倍． 4．下列分式中，是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简分式是分子与分母没有除常数外的公因式，无法继续约分的分式． 只需判断各选项分式能否约分即可得到结果． 【详解】解：选项A、，分母无法分解因式，分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式； 选项B、，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C、，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D、，分解分母得，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 5．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等． 【详解】解：A. 从左到右的变形不正确； B. 从左到右的变形不正确； C. 从左到右的变形不正确； D. 从左到右的变形正确． 故选择：D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先通分，然后根据同分母分数的减法进行计算后化到最简分式即可． 【详解】解：原式 故选：C． 7．若，则分式的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】∵， ∴x≠0，y≠0， ∴xy≠0. ∴===== 故答案为 8．《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程． 【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得， 即． 故选：B． 9．若关于x的分式方程无解，则m的值是（    ）． A．-1 B．0 C．0或    2 D．0.5或-1 【答案】D 【分析】根据解分式方程的方法和关于的分式方程无解， 可以求得相应的的值， 本题得以解决 ． 【详解】解：分式方程可化为： 方程两边同乘以，得 解得， 关于的分式方程无解， 或或， 解得或， 故选：D． 10．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式求值，由，得，然后把的两边同时除以即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在分式，，，中，最简分式有__________个． 【答案】2 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】其中的是整式， ∵， ∴不是最简分式， ∴最简分式有2个； 故答案为：2. 12．若分式有意义， 则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】由题意得 ，解之得， . 13．计算：_____________. 【答案】7 【分析】根据有理数的乘方、负整数指数幂和零指数幂等知识点进行计算． 【详解】原式=﹣1+9﹣1=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0数的0次幂等于1． 14．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【分析】设改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨，根据“20吨水改造后比原来多用5天”的等量关系列分式方程求解即可； 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 15．若实数a使关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是______. 【答案】9 【分析】本题主要考查了分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法是解题的关键． 先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，结合题意求出满足条件的a的值分别为或4或7，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程有非负整数解，且由且a是整数， ∴或或或， ∴或1或4或7 ∵， ∴，即 ∴或4或7， ∴满足条件的所有整数a之和是， 故答案为9． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．化简： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据分式的乘除、分式的加减运算法则，以及先算乘除再算加减的运算顺序，即可化简； （2）根据分式的乘除、分式的加减运算法则，以及先算乘除再算加减的运算顺序，即可化简． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式= ． 故答案为（1）；（2）． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 18．解方程：(1)           (2) 【答案】①x=-5; ②原方程无解. 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 试题解析：（1）去分母得： 去括号得： 移项得， 合并同类项，系数化为1，得：x=-5 检验：将x=-5代入（x2-16）中，x2-16=(-5)2-16≠0， ∴x=-5是方程的解； （2） 去分母得： 去括号得：2x-2 +3x+3=6 移项得，2x+3x=6+2-3 合并同类项，得5x=5 系数化为1得，x=1 检验：将x=1代入（x2-1）中，x2-1=12-1=0 ∴x=1是方程的增根 ∴原方程无解. 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式如．这种方法我们称为“分离常数法”． (1)如果，求常数a的值； (2)利用分离常数法，解决下面的问题∶当m取哪些整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的加减运算的逆运算，熟练掌握分式的加减运算的逆运算是解题的关键． （1）先把化为，再比较即可得到结论； （2）由，结合m为整数，分式的值为整数，可得或，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴． （2）， ∵m为整数，分式的值为整数， ∴或， ∴解得或或或． 20．和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍． （1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？ 【答案】（1）每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元；（2）该商店本次购进甲种零件至少是113个． 【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x＋50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m＋6）个，根据总利润＝单个利润×销售数量结合总获利大于3390元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元， 依题意，得：2， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意， ∴x+50＝200． 答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元． （2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个， 依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390， 解得：m＞112． ∵m为正整数， ∴m的最小值为113． 答：该商店本次购进甲种零件至少是113个． 21．下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 方程两边同乘_____，得．…………第一步 去括号，得…………第二步 移项、合并同类项，得…………第三步 系数化为1，得…………第四步 任务一： (1)第一步横线处应填写的最简公分母是_____，这一步的依据为____________________； (2)上述解分式方程的过程体现的数学思想是（    ） A．类比思想        B．转化思想        C．数形结合思想        D．公理化思想 (3)小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步____________________； 任务二： (4)分式方程的解是__________． 【答案】(1)（或）；等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立（等式的基本性质） (2)B (3)检验：当时，，所以是原分式方程的解 (4) 【分析】先对分母因式分解得到最简公分母，明确去分母的依据，再判断解分式方程体现的数学思想，补全解分式方程遗漏的检验步骤，最后按照标准步骤求解任务二的分式方程即可． 【详解】（1）解：对原方程的分母因式分解，得，两个分母分别为和， ∴最简公分母为，即； 去分母这一步的依据是等式的基本性质：等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立． （2）解：解分式方程的过程是将分式方程转化为整式方程求解，把未知问题转化为已学的整式方程问题，因此体现的是转化思想，故选B． （3）解：解分式方程必须有检验步骤，原解答过程遗漏了这一步， 因此补全为：检验：当时，，所以是原分式方程的解． （4）解：， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．观察下列等式＝1﹣，＝，＝；将以上三个等式两边分别相加得：＝1﹣﹣﹣＝1﹣＝． （1）猜想并写出＝_______；＝______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①+……+＝______． ②+……+＝______． （3）探究并计算：+……+． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3） 【分析】（1）利用材料中的“拆项法”解答； （2）利用（1）中的规律解题； （3）利用材料中的规律解答． 【详解】解：（1）==； ； （2）①原式= = =； ②原式= = =； （3）原式= = = 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $