第11章 整式的乘除（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册第11章整式的乘除培优冲刺单元卷，通过新定义（如“智慧数”“公正数”）、几何与代数结合（图形面积推导）等设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解、整式运算|结合密码编译情境（题2）考查应用意识| |填空题|5/15|完全平方数、图形面积计算|以正方形平移（题14）体现几何直观| |解答题|8/75|新定义证明、公式推导|通过“平方匹配数对”（题20）培养推理能力，图形面积推导公式（题21）发展数学眼光|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 【答案】C 【分析】本题运用平方差公式对进行因式分解，得到原式的因数，即可判断出不能整除它的数． 【详解】解：由平方差公式， 含有因数3，5，17，不含因数7， 不能被7整除． 2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 3．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 4．某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 【答案】B 【分析】先展开第k批次成本的多项式，再根据累计成本的系数特征确定批次个数，求出p和m的值，最终计算． 【详解】解：， ∵展开后每个批次成本的一次项系数均为，题目给出累计成本的一次项系数为， ∴从第2批次开始共有个批次相加． ∵展开后每个批次的二次项系数都是， ∴累计二次项系数， ， ∴， ∴， ∴． 5．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【答案】C 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 6．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 【答案】A 【分析】先根据定义，利用平方差公式推导“公正数”的特征，再找出不超过2026的最大公正数对应的奇数，最后利用裂项相消法计算所有公正数的和． 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数）， 。 要求公正数不超过2026，即， 得， 最大取，此时最大的奇数为， 所有不超过2026的公正数之和为： ． 7．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 【答案】B 【分析】根据“智慧数”的定义，即正整数能表示为两个正整数的平方差，将变形为，其中、为正整数，，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，符合智慧数定义，是智慧数，A正确； 选项B：从小到大枚举可得，前4个智慧数依次为：3，5，7，8，因此第4个智慧数是8，不是9，B说法错误； 选项C：设大于1的奇数为，其中为正整数，，且和都是正整数， 所有大于1的奇数都是智慧数，C正确； 选项D：设两个奇数分别为，，其中、为非负整数，， 计算平方差得： 连续两个整数的乘积为偶数， 和都是偶数， 是偶数， 即原式等于乘正整数，即这个智慧数能被整除，D正确； 综上，说法不正确的是B． 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 【答案】B 【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为，，为正整数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得：， 即“美好数”可表示为， 由题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为， 最大的对应奇数为， 所有“美好数”之和为． 9．如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 10．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．把式子化简的结果为___________． 【答案】 【分析】在原式前乘，其值为不改变原式结果，再连续利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 12．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 13．某校今年学生人数是一个完全平方数．若增加了120人，则学生人数比一个完全平方数多1；若再增加120人，则学生人数是一个完全平方数．该校今年有学生________人． 【答案】 【分析】设该校今年学生人数为，由题意，存在正整数a，b，c，使得，根据题意列出平方差等式，用平方差公式分解后结合因数分解讨论正整数解，验证后得到符合条件的结果． 【详解】解：设该校今年学生人数为，由题意，存在正整数a，b，c，使得 整理得： 消去得， 因式分解得 ∵，且与同奇偶、， ∴ 解得， 将代入，得 ， 即，符合原数为完全平方数； ，符合加120后比完全平方数多1； ，符合再加120后为完全平方数． ∴该校今年有学生3481人． 14．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 15．已知，满足，，则_________． 【答案】2 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）已知：，求的值 【答案】 【分析】先根据已知方程，两边同除以得到的值，再利用完全平方公式变形所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：已知 当时，方程左边为，因此（1分） 方程两边同时除以得 整理得（3分） 代入（4分） 得原式（6分） 17．（8分）已知m、n都是实数，且，求的值． 【答案】或 【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可． 【详解】解： ， ，（3分） 可得或，（4分） 当时，； 当时，，（6分） ，， 综上，的值为或．（8分） 18．（8分）求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】证明：∵ ，， ∴ 原式 ．（3分） 设， 则原式 ．（6分） ∵ 对任意实数，， ∴ 多项式的值一定是非负数．（8分） 【分析】先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】略 19．（8分）先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 【答案】，0 【详解】解： ，（4分） ， ∵a，b使关于x的多项式不含一次项， ∴，（6分） ∴原式．（8分） 20．（9分）若正整数对满足：，（ ， 为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． (1)判断是否为平方匹配数对； (2)若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 【答案】(1)是平方匹配数对（2分） (2)证明：∵是平方匹配数对， ∴，，（3分） 设 ，， ， ，（5分） ∵ ， 为正整数，∴为正整数， 是一个正整数的平方， ∵，，（7分） ∵ ， ∴，（8分） ∴ 与 都是正整数，满足平方匹配数对的定义， ∴也是平方匹配数对．（9分） 【分析】（1）根据平方匹配数对的定义求解即可判断； （2）设 ， ，计算得出，，再根据平方匹配数对的定义求解即可判断． 【详解】（1）解：∵ ， ，，， ∴ ， ，都是正整数，满足平方匹配数对的定义， ∴是平方匹配数对； （2）略 21．（12分）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 【答案】(1)①; ② (2)49 (3)61 (4)19 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： .（1分） ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： .（2分） （2）解：．（5分） （3）解： ．（8分） （4）解：， ， ∴ （12分） 22．（12分）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ．（3分） （2）解：令， 则， ．（7分） （3）解：设， ， ．（8分） 则图中阴影部分的面积为 ．（12分） 23．（12分）【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 【答案】(1)奇；7和6（2分） (2)证明：设两个数分别为，，其中，且k为整数． 则， ， ．（5分） ， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．（6分） （3）解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数， 其中；；；……， 而， ∴第100个智慧数也是4的倍数，（8分） ∵第4个数，第7个数，第10个数， ∴第100个智慧数是，（9分） 由（2）知，，解得，（10分） ∴136的智慧分解：和，（或）； ∵也满足智慧数的定义， ∴136的智慧分解为19和15，（或）．（12分） 【分析】（1）根据智慧分解的定义得到答案； （2）类比奇数的证明过程，结合条件证明能被4整除的偶数都是智慧数； （3）根据列举出的这些数寻找规律，根据规律再进一步求解得到答案． 【详解】（1）解：∵是偶数，∴是奇数； ∵， 解得， ∴， 即13的智慧分解为7和6（写成这样：或者也给分）； （2）略 （3）解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数， 其中；；；……， 而， ∴第100个智慧数也是4的倍数， ∵第4个数，第7个数，第10个数， ∴第100个智慧数是， 由（2）知，，解得， ∴136的智慧分解：和，（或）； ∵也满足智慧数的定义， ∴136的智慧分解为19和15，（或）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章整式的乘除·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各数不能整除22-1的是() A.3 B.5 C.7 D.17 2.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m:Q-b'X+yX-y:分 别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”.现将mX1a-b-2mya-b+mya-b因式分解，根据 小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是() A.爱数学 B.数中学 C.爱中国 D.中国学 3.已知正实数a,b,x,y,满足ax=y+9,ay=bx+3,若图1中阴影部分的面积为9，则图2中阴影 面积为() x+V 图1 图2 A.8 B.9 c.12 D.15 4.某工厂生产一批产品，第k批次的成本为x+k-1x-k万元，其中x是原材料单价（万元/吨），从第 2批次到第n批次的累计成本为pX-4x-m万元，则p-m的值为（） A.-34 B.-36 C.40 D.44 5.有两类正方形A、B,其边长分别为a、ba>b,现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造 新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70.若将两个正方形A和两个正方形B如图3 摆放，则阴影部分的面积为() 115 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 A.61 B.76 C.80 D.144 6.若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：16=52-32， 24=72-52:则16,24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为() A.257048 B.257068 C.255054 D.255024 7.定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，例如，13=7-6， 所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（) A.12是智慧数 B.将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C.所有大于1的奇数都是智慧数 D.若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 8.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”.如8=32-12， 16=52-3即8,16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为(） A.17687 B.17688 C.17689 D.17670 9.如图1，现有2个边长为a的正方形A,一个长为2a、宽为Q的长方形B,将它们按图2放置在一个长为 3a、宽为b的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,若满足 S+S2=S,+S4'则a与6满足的关系为() 3a 2a ② Q b b A B A 3a 图1 图2 A.4a=3b B.3a=2b C.5a=3b D.5a=4b 215 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 l0.已知a,b,c,d均为常数，e,f均为非零常数，有两个整式A=x+ex+f, B=5x-6X+10=ax-1+bx-1P+cx-1+d下列结论中，正确的个数为（) ①当A与B的乘积不含x项时，f=4; ②a-b+c=-1: ③当A能被x-2整除时，2e+f=-4; A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1山.把式子2+122+12+12+1小225+1化简的结果为 12.已知多项式+y-2y2-2x+my-3=ax+by+cldk+ey+f代其中a'bcd'e'f均为整数. 则m= 13.某校今年学生人数是一个完全平方数.若增加了120人，则学生人数比一个完全平方数多1；若再增 加120人，则学生人数是一个完全平方数.该校今年有学生 人 14.如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点A,B,E在同一条线上，点O为AE的中点， 图中阴影部分的面积记为S1.将小正方形往左平移，使得点E与点B重合，得到图2，点O为AB的中点， 图中阴影部分的面积记为S2.若S1-S2=18,则小正方形的面积为 D A O'B' B(E) 图1 图2 15.已知x>y,满足xx+y=24,yx+y=12,则x-y= 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(6分)己知：x2-45x+1=0,求x2+之的值 17.(8分)已知m、n都是实数，且m3+n3+3mn=1,求m+n的值， 18.(8分)求证：多项式x-4x2-10x+21+100的值一定是非负数. 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分)先化简，再求值：2a-b2a+bl+a-3b川2a+b+b4b-a÷ _3,其中，b使关 于x的多项式x+ax-b不含一次项. 20.(9分)若正整数对m,n满足：m+n=a,m-n=b2(a,b为正整数)，则称m,n为平方匹配 数对.例：17+8=25=52,17-8=9=32，则17,8为平方匹配数对. (1)判断26,10是否为平方匹配数对： (②若(m,n是平方匹配数对，求证：(m2-mn,mn-n也是平方匹配数对. 21.(12分)【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式， 如图1，可以得到a+b=a2+2ab+b2,若把等式中的b换成-b就可得到a-bP=a2-2ab+6 6 b a b b b a 图1 图2 图3 (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式 ②写出图3中所表示的数学等式 【模型运用】 ②)若实数，y满足x-y=5且xy=6:求x+yP的值： (3)若a+b+c=13,ab+bc+ac=54,求a+b2+c2的值： (4)若a-b=2,b-c=3,求a+b2+c2-ab-bc-ac的值. 22.（12分)我们可以将a+b2=a+2ab+62进行变形，得到a2+b2=a+b-2ab: b=Q+b-Q+b等.。请灵活利用这些变形解决下列问题： 2 415 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知a+6=12,a+b2=30'则ab=一 ②)若x满足13-xx-3=17求13-x2+x-3的值： 3)如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB,EB⊥AB,AD=AC,BE=BC,连接CD,CE,若 AC·BC=25,求图中阴影部分的面积. E C B 23.(12分)【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧 数”，两个正整数为它的“智慧分解”.例如，因为16=52-32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是 16的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究. 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=2-12,5=3-22,7=42-32,9=52-42,11=62-52， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1,k,其中k≥1，且k为整数.则 k+12-k2=k+1+kk+1-k=2k+1 (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有 数都是智慧数，13的智慧分解为 (2)继续探究，他们发现8=32-12,12=42-22,16=52-32…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们 猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想， (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17， 19,…,根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解. 515 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A B C A B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12．5或 13．3481 14．36 15．2 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分） 【详解】解：已知 当时，方程左边为，因此（1分） 方程两边同时除以得 整理得（3分） 代入（4分） 得原式（6分） 17．（8分） 【详解】解： ， ，（3分） 可得或，（4分） 当时，； 当时，，（6分） ，， 综上，的值为或．（8分） 18．（8分） 【答案】证明：∵ ，， ∴ 原式 ．（3分） 设， 则原式 ．（6分） ∵ 对任意实数，， ∴ 多项式的值一定是非负数．（8分） 19．（8分） 【详解】解： ，（4分） ， ∵a，b使关于x的多项式不含一次项， ∴，（6分） ∴原式．（8分） 20．（9分） 【答案】(1)是平方匹配数对（2分） (2)证明：∵是平方匹配数对， ∴，，（3分） 设 ，， ， ，（5分） ∵ ， 为正整数，∴为正整数， 是一个正整数的平方， ∵，，（7分） ∵ ， ∴，（8分） ∴ 与 都是正整数，满足平方匹配数对的定义， ∴也是平方匹配数对．（9分） 21．（12分） 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： .（1分） ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： .（2分） （2）解：．（5分） （3）解： ．（8分） （4）解：， ， ∴ （12分） 22．（12分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ．（3分） （2）解：令， 则， ．（7分） （3）解：设， ， ．（8分） 则图中阴影部分的面积为 ．（12分） 23．（12分） 【答案】(1)奇；7和6（2分） (2)证明：设两个数分别为，，其中，且k为整数． 则， ， ．（5分） ， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．（6分） （3）解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数， 其中；；；……， 而， ∴第100个智慧数也是4的倍数，（8分） ∵第4个数，第7个数，第10个数， ∴第100个智慧数是，（9分） 由（2）知，，解得，（10分） ∴136的智慧分解：和，（或）； ∵也满足智慧数的定义， ∴136的智慧分解为19和15，（或）．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数不能整除的是（     ） A．3 B．5 C．7 D．17 2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 3．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 4．某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 5．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 6．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：，，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（     ） A．257048 B．257068 C．255054 D．255024 7．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 9．如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 10．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．把式子化简的结果为___________． 12．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 13．某校今年学生人数是一个完全平方数．若增加了120人，则学生人数比一个完全平方数多1；若再增加120人，则学生人数是一个完全平方数．该校今年有学生________人． 14．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 15．已知，满足，，则_________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）已知：，求的值 17．（8分）已知m、n都是实数，且，求的值． 18．（8分）求证：多项式的值一定是非负数． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 20．（9分）若正整数对满足：，（ ， 为正整数），则称为平方匹配数对．例：，，则为平方匹配数对． (1)判断是否为平方匹配数对； (2)若是平方匹配数对，求证：也是平方匹配数对． 21．（12分）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 22．（12分）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 23．（12分）【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $