辽宁朝阳市第二高级中学2026-2027学年高二上学期10月学情诊断数学试题

朝阳市第二高级中学2026—2027学年度上学期高二年级学情诊断（数学学科） 考试时间：120分钟 试卷分值：满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 2. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 7.“费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．中，点和点，点为直线与直线的交点，记的费马点为，记，，的面积分别为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若直线：，：，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 直线必过定点 10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则实数___________． 13. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，． （1）用向量表示向量，并求； 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 17.已知向量． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $朝阳市第二高级中学2026—2027学年度上学期高二年级学情诊断(数学学科) 考试时间:120分钟 试卷分值:满分150分. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面的对称点为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等,且为下底边长的一半,侧面积为,则该正四棱台的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设正四棱台的上底边长为,则侧棱长为,下底边长为;设正四棱台的高为,斜高为. 正四棱台的侧面积为,一个侧面积. ,解得. 在正四棱台中,,即,. . . . 3. 如图,一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形,其中,,则原梯形中长度为( ) A. B. C. D. 2 【答案】C 【详解】过 作 ,垂足为 . 因为 是等腰梯形,且 ,,所以 . 又 ,故 为等腰直角三角形,从而 . 原梯形中的 与 轴平行,在斜二测画法中 ,所以 . 4. 已知点,若直线与线段相交,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由直线的方程为,变形得, 显然直线过定点, 而,, 由图可知,要使直线与线段AB相交, 则或,即k的取值范围是. 5. 如图,圆锥的轴截面为等边三角形,为弧的中点,分别为母线的中点,则异面直线和所成角的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】取中点O,连接如图以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 不妨设,则, 又分别为母线的中点,所以, 则, 设异面直线和所成角为, 则, 又因为,所以. 故选:C. 6. 如图,在正方体中,为底面的中心,为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 对于A,则, , 则,所以不垂直,故A错误; 对于B,则, ,则,所以不垂直;故B错误; 对于C,则, ,则,所以垂直,故C正确; 对于D,则, ,则,所以不垂直,故D错误. 7.“费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答:当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.中,点和点,点为直线与直线的交点,记的费马点为,记,,的面积分别为,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得,所以费马点在内部,且.令,利用三角形面积公式表示并化简,然后利用基本不等式求最小值. 【详解】直线的斜率为,直线的斜率为, 因为,所以两直线垂直,则恒有, 所以费马点在内部,且. 令,, 则,,. , ,, , 当且仅当时,等号成立. 即当时,有最小值. 故选:D. 8.如图,在棱长为2的正方体中,点,分别是棱,的中点,点在面内(包含边界)运动,且直线平面,则三棱锥的外接球的表面积的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 连接,. 因为分别是的中点,所以, 又平面,平面,所以平面. 过作,交于点. 因为且, 所以四边形为平行四边形,为的中点.同理平面. 而平面,故平面平面. 所以的轨迹为线段. 设为的中点. 因为, ,所以为的外心,, 外接球球心在过且垂直于平面的直线上,设,则. 设(). 作 平面于,则在线段上,,, 在中,,, 由余弦定理得. 由(均为外接球半径),且到平面的距离为,到平面的距离为, 得, 化简得,又,所以. 所以,当时取等号,此时在线段内,满足条件. 所以外接球表面积的最小值为. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 给出下列命题,其中正确的命题是( ) A. 若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线 B. 若直线:,:,则“”是“”的充分不必要条件 C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线 D. 直线必过定点 【答案】BC 【详解】对于选项,由已知得,则, 即直线或者,故选项错误; 对于选项,若直线,则两直线的斜率之积为,即, 解得或,所以“”“”,即“”是“”的充分不必要件, 故选项正确; 对于选项,由空间向量基本定理得三个不共面的向量可以成为空间的一个基底,若两个非零向量不共线,则存在向量使得与这两个向量不共面,此时这三个向量可成为空间的一个基底,由此可知,若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线,故选项正确; 对于选项,直线必过定点,故选项错误; 故选:. 10. 如图,在正三棱柱中,为棱的中点,,则下列结论正确的是( ) A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 【答案】ABD 【详解】对于A,因为在正三棱柱中,面,而面,所以, 因为底面是正三角形,为棱的中点,所以, 又面,所以面, 因为面,所以,故A正确; 对于B,因为在正三棱柱中,面,所以为直线与面所成角, 因为面,所以,又, 所以,则,故B正确; 对于C,在正中,,则, 所以,故C错误; 对于D,记的中点为,连接,如图, 因为是的中点,又易知四边形是平行四边形,所以, 因为,所以,所以四边形是平行四边形,则, 又面,面,所以直线面,故D正确. 故选:ABD. 11. 如图,在棱长为2的正方体中,M,N分别是线段,上的动点(不含端点),且,则下列结论正确的是( ) A. 若,则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在,使得平面 D. 若,则三棱锥外接球的表面积为8 【答案】ABC 【详解】对A,因为,所以 当时,分别为的中点,所以也是的中点. 过M作于Q,连接,则,所以. 因为,所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角,即. 又因为,所以,故A正确. 对B,过M作于Q, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面,即三棱锥的高为, 又, 所以三棱锥体积, 当时,,故B正确. 对C,当时,是的中点,所以也是的中点. 因为是的中点,所以. 又平面,平面,所以平面,故C正确. 对D,当时,,故Q为的中点, 又N为的中点,所以,, 所以Q到A,B,M,N的距离都为1, 即三棱锥外接球的球心为Q,球半径为1,所以外接球表面积,故D错误. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知空间向量,若,则实数. 【答案】 【详解】因为,所以存在,使得, 所以,解得, 故答案为: 13. 在直线上有一点P,点,,求的最小值是. 【答案】6 【详解】设关于直线的对称点为,连接, 则,当且仅当三点共线时等号成立. 而, 解得,故,故直线,所以. 故的最小值为6. 14. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,过点且方向向量为的直线的方程为,阅读上面材料,并解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两个平面与的交线,则平面的法向量为;直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】 ①. ②. 【详解】由题意,平面的法向量为; 设直线的一条方向向量为, 因平面的一条法向量为,平面的一条法向量为, 则有故可取, 因平面的法向量为, 设直线与平面所成角为,则. 故答案为:;. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,. (1)用向量表示向量,并求; (2)求. 【答案】(1), (2) 【小问1详解】 , 则 , 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则,可得, 因为且, 所以 , , 则. 16. 已知直线和的交点为P. (1)若直线l经过点P且与直线平行,求直线l的方程: (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线m的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【小问1详解】 联立,解得,即, 直线l经过点P且与直线平行, 故设直线l方程为,将代入得, 故直线l方程为; 【小问2详解】 由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5, 则其在坐标轴的截距不为0,设其方程为, 与两坐标轴的交点分别为,则, 解得或, 故直线m的方程为或, 即或. 17.已知向量. (1)若,求实数k; (2)若向量与所成角为锐角,求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【小问1详解】 因为, 所以, 因为,则, 解得; 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角, 所以,且与不同向共线. 由(1)知,, 若向量与同向共线,则存在,使得,即, 可得,解得,若两个向量不同向共线,则, 故,解得且, 即的取值范围为. 18. 如图,在四棱锥中,,,平面,二面角的大小为,点,满足:,. (1)若平面,求的值; (2)求与平面所成角的正弦的取值范围; (3)若平面与平面的夹角的余弦值为,求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【小问1详解】 在平面中,过作的垂线,则平面, 因为平面,所以. 因为平面,,平面,所以,, 所以为二面角的平面角,所以. 以为坐标原点,分别以所在直线,及直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 则,,,,, 所以,,,,, 设平面的一个法向量,则, 即. 令,得,,所以. 由,得, 由,得, 所以, 因为平面,所以, 所以, 解得. 【小问2详解】 因为,所以, 设平面的一个法向量, 则,即. 令,得,, 所以. 设与平面所成的角为,则 . 当时,; 当时,, 当且仅当时等号成立. 所以,即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【小问3详解】 由(1)知,所以. 设平面的一个法向量, 则,即. 令,得,,所以, 由(2)知平面的一个法向量, 设平面与平面的夹角为,则 , 即, 解得. 19. 如图①所示,矩形中,,,点M是边CD的中点,将沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图②的四棱锥,N为PB中点. (1)求证:平面; (2)若平面平面,求直线BC与平面所成角的大小; (3)设的大小为 ,若,求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【小问1详解】 取中点,连接,由N为PB中点,得, 依题意,,则, 于是四边形是平行四边形,,而平面,平面, 所以平面. 【小问2详解】 取中点,连接,由,得,而平面平面, 平面平面平面,则平面, 过作,则平面,又平面,于是, 在矩形中,,,则, 以点为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则, , 设平面的法向量为,则,令,得, 设直线BC与平面所成的角为,则, 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接,由,得,而,则为的平面角,即, 过点作平面,以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则,,, 显然平面,平面,则平面平面, 在平面内过作于点,则平面, 设,而,则,,, 即,, 所以, 于是,, 设平面PAM的法向量为,则, 令,得,设平面的法向量为, 因为,, 则,令,得, 设平面和平面为, 则 令,,则,即,则当时,有最小值, 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 学科网(北京)股份有限公司 $