章末检测（四）数列-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

章末检测（四）　数列 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.观察数列，－，（　　），－，，（　　），…的特点，则括号中应分别填入（　　） A.，－ B.－， C.，－ D.，－ 解析：D　由题可得数列的通项公式an＝（－1）n＋1·，∴a3＝，a6＝－.故选D. 2.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13＝（　　） A.10 B.20 C.30 D.40 解析：D　由已知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，则a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.故选D. 3.若正项数列{an}满足－＝0，a4＋a5＝3，则a2＋a3＝（　　） A. B.1 C.6 D.12 解析：D　由－＝0可得＝，即an＋1＝an，即数列{an}是公比q＝的等比数列，又a4＋a5＝3，可得a2q2＋a3q2＝（a2＋a3）q2＝3，将q＝代入计算可得a2＋a3＝12. 4.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝（　　） A. B.2 C. D.3 解析：B　由S6＝9S3可知q≠1，故＝＝1＋q3＝9，∴q＝2，故S5＝＝＝62，故a1＝2，故选B. 5.设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 026＝（　　） A.－2 B.1 C.－1 D.2 解析：B　由a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，则数列{an}是以3为周期的周期数列，又a1a2a3＝2××（－1）＝－1，且2 026＝3×675＋1，∴T2 026＝（－1）675＋a1＝－1＋2＝1.故选B. 6.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9（单位：L）依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3，a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝（　　） A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5 解析：B　因为a1，a2，…，a9依次成等差数列，a1＋a2＋a3＝3，所以3a2＝3，即a2＝1，又a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝＝＝＝6.3. 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4（a1＋a3＋…＋a2n－1），a1a2a3＝27，则a6＝（　　） A.27 B.81 C.243 D.729 解析：C　由已知得解得即公比q＝＝3，所以a6＝a1q6－1＝1×35＝243. 8.已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋a8＝1，且＝（n＝1，2，…，7），则a1＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为＝，则an＝a1···…·＝a1···…·＝·a1＝2a1（－）（n＝2，…，7，8），当n＝1时，a1＝2a1（1－）＝a1，符合上式，故an＝2a1（－）（n＝1，2，…，7，8），所以a1＋a2＋…＋a8＝2a1［（1－）＋（－）＋…＋（－）］＝2a1（1－）＝＝1，解得a1＝. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－7，S2＝－12，则下列结论正确的是（　　） A.an＝2n－9 B.{an}为递减数列 C.a3＋a6＝0 D.S7＝a1 解析：ACD　设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝－7，S2＝－12，可得a2＝S2－a1＝－12－（－7）＝－5，解得d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝－7＋2（n－1）＝2n－9，所以A正确；因为d＝2＞0，所以数列{an}为递增数列，所以B错误；由a3＝－3，a6＝3，可得a3＋a6＝0，所以C正确；因为S7＝7×（－7）＋×2＝－7，所以S7＝a1，所以D正确. 10.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论正确的是（　　） A.a5＝－16 B.S5＝－31 C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn＋1}是等比数列 解析：ABC　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选A、B、C. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn＋3）（n∈N*）在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an（n∈N*），其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（　　） A.Sn＝2Tn B.Tn＝2bn－1 C.Tn＞an D.Tn＜bn＋1 解析：BD　因为点（n，Sn＋3）在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－（3×2n－1－3）＝3×2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式，所以an＝3×2n－1.设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.对于A，Sn＝3×2n－3≠2Tn＝2×2n－2，故A错误；对于B，2bn－1＝2n－1＝Tn，故B正确；对于C，Tn－an＝2n－1－3×2n－1＝－－1＜0，故Tn＜an，故C错误；对于D，Tn－bn＋1＝2n－1－2n＝－1＜0故Tn＜bn＋1，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a6＝4a4，记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝63，则m＝　6　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，且q＝＝2，且Sm＝＝2m－1＝63，所以2m＝64，解得m＝6. 13.在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，令an＝log3Tn，则数列{an}的通项公式是　an＝＋1　. 解析：设这n＋2个数构成的等比数列的公比为q，则3＝1×qn＋1，即qn＋1＝3，所以Tn＝1×q×q2×…×qn×3＝3＝3（qn＋1＝，所以an＝log3Tn＝＋1. 14.已知数列{an}满足a1＝，＝，若a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤成立，则n的最大值为　6　. 解析：因为数列{an}满足a1＝，＝，可得＝＋1，可得数列{}是首项为3，公差为1的等差数列，则＝3＋n－1＝n＋2，即an＝，则a1a2a3…an＝×××…×·＝＝2（－），可得a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2a3…an＝2（－＋－＋－＋…＋－）＝2（－）＝1－，因为a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤，可得≥，解得n≤6，即所求n的最大值为6. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. （1）求{an}的通项公式； （2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 解：（1）因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. （2）由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，设{bn}的公差为d，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2，所以Sn＝13n＋×（－2）＝－n2＋14n. 16.（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且当n≥2（n∈N*）时，2Sn·Sn－1＝－an. （1）证明：数列{}是等差数列； （2）设数列{bn}满足bn＝，求b1＋b101的值. 解：（1）证明：因为2Sn·Sn－1＝－an（n≥2）， 所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1， 则2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1. 因为S1＝a1＝≠0，易知Sn≠0， 所以＝－＝2. 又＝＝2， 所以数列{}是首项与公差都为2的等差数列. （2）由（1）得＝2＋2（n－1）＝2n，则Sn＝， 当n＝1时，b1＝＝＝＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－·， 所以bn＝＝， 所以b1＋b101＝－2＋＝－. 17.（本小题满分15分）已知首项为1的等差数列{an}满足：a1，a2，a3＋1成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1＝3n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）设{an}的公差为d，又a1，a2，a3＋1成等比数列， 所以＝a1（a3＋1），即（a1＋d）2＝a1（a1＋2d＋1）， 又a1＝1，即（1＋d）2＝2＋2d， 解得d＝1或d＝－1， 而当d＝－1时，a2＝a1＋d＝0，不满足a1，a2，a3＋1成等比数列，所以d＝1， 所以an＝1＋（n－1）×1＝n. （2）令Dn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1＝3n－1， 所以Dn＋1＝a1bn＋1＋a2bn＋…＋an＋1b1＝3n＋1－1， 两式相减得Dn＋1－Dn＝a1bn＋1＋（bn＋bn－1＋…＋b1）＝2·3n， 所以数列{bn}的前n＋1项和为2·3n，即Tn＋1＝2·3n， 又D1＝a1b1＝2，即b1＝2，所以b1＋b2＋…＋bn＝2·3n－1， 所以Tn＝2·3n－1. 18.（本小题满分17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. （1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ （2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 解：（1）设引进该生产线n年后总盈利为f（n）万元，设除去该生产线引进费用，第n年的成本为an，由题意知{an}是等差数列，前n年成本之和为［24n＋×8］万元， 所以f（n）＝100n－[24n＋4n（n－1）＋196]＝－4n2＋80n－196＝－4（n－10）2＋204，n∈N*， 所以当n＝10时，f（n）max＝204（万元）， 即引进该生产线10年后总盈利最大，为204万元. （2）设n年后平均盈利为g（n）万元， 则g（n）＝＝－4n－＋80，n∈N*， 即g（n）＝－4（n＋）＋80， 当n∈N*时，n＋≥2＝14， 当且仅当n＝，即n＝7时取等号， 故当n＝7时，g（n）max＝g（7）＝24（万元）， 即引进该生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 19.（本小题满分17分）设数列{an}的前n项和为Sn.若≤≤2（n∈N*），则称{an}是“紧密数列”. （1）已知数列{an}是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； （2）若Sn＝（n2＋3n），判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理由； （3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围. 解：（1）因为数列{an}为“紧密数列”， 所以x≠0，且 解得≤x≤，故x的取值范围为［，］. （2）数列{an}为“紧密数列”.理由如下： 当n＝1时，a1＝S1＝×（1＋3）＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋3n）－[（n－1）2＋3（n－1）]＝n＋， 又＋＝1＝a1，所以a1＝1满足上式， 所以an＝n＋（n∈N*）， 所以对任意n∈N*，＝＝＝1＋∈（1，2）， 所以数列{an}为“紧密数列”. （3）因为数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn， 所以当q＝1时，an＝a1，Sn＝na1， 所以＝1，＝＝1＋∈（1，2]， 所以{an}和{Sn}都是“紧密数列”，满足题意. 当q≠1时，an＝a1qn－1，Sn＝， 因为{an}为“紧密数列”， 所以≤＝q≤2， 即≤q＜1或1＜q≤2， 当≤q＜1时，＝＞＝1， ＝≤＝＝1＋qn＜2， 所以1＜＜2，所以{Sn}为“紧密数列”，满足题意； 当1＜q≤2时，＝＝1＋q＞2， 所以{Sn}不是“紧密数列”，不符合题意. 综上，实数q的取值范围是［，1］. 学科网（北京）股份有限公司 $