第01讲 导数的概念及其意义（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦导数的概念及其意义，系统梳理从瞬时速度、平均变化率等具体实例抽象出导数定义，再延伸至导数的几何意义（切线斜率、导函数）的知识脉络，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料通过运动、气温等现实情境例题及变式训练，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维推理概念，以规范符号语言表达规律。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习题巩固知识、查漏补缺。

第01讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程（s的单位为米，t的单位为秒）做直线运动，则其从秒到秒这段时间里的平均速度（单位：米/秒）为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·广东东莞·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，该物体在时的瞬时速度是（  ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式2.2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【题型3 导数定义中的计算】 【例3】（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式3.1】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【变式3.2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的值为（    ） A．-1 B．3 C．8 D．16 【变式3.3】（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁盘锦·期末）已知函数在上的导函数为，且的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（2025高二下·全国·专题练习）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式6.3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）观察函数的图像如图所示，平均变化率表示（    ） A．直线的点斜式方程 B．直线的斜截式方程 C．直线的两点式方程 D．直线的斜率 7．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 二、多选题 9．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 三、填空题 12．（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为 . 13．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 . 14．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 四、解答题 15．（24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 16．（24-25高三·上海·随堂练习）下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 17．（24-25高二·全国·课后作业）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位： 求： (1)物体在内的平均速度； (2)物体的初速度； (3)物体在时的瞬时速度. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程（s的单位为米，t的单位为秒）做直线运动，则其从秒到秒这段时间里的平均速度（单位：米/秒）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平均速度的定义即可代入化简求解. 【解答过程】从秒到秒这段时间里的平均速度为． 故选：D． 【变式1.1】（24-25高二下·广东东莞·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，该物体在时的瞬时速度是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的物理意义直接求解即可. 【解答过程】 ， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用瞬时速度公式即可求得 时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度. 【解答过程】， 所以.即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为； 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得. 【解答过程】. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解题思路】根据平均变换率的公式先计算，利用作差法比较大小即可. 【解答过程】由题意有，， 所以， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 【题型3 导数定义中的计算】 【例3】（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义计算进行求解. 【解答过程】由， 则. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【解答过程】根据导数的定义可知， ， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的值为（    ） A．-1 B．3 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据导数的定义求解即可. 【解答过程】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 【变式3.3】（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数与极限的定义求解． 【解答过程】， 所以， 故选：D. 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【解答过程】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 【变式4.1】（24-25高二上·辽宁盘锦·期末）已知函数在上的导函数为，且的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数的几何意义结合条件即得. 【解答过程】 分别作曲线在，和处切线， 设切线的斜率分别为，则， 又，，， . 故选：A. 【变式4.2】（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【解答过程】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解题思路】结合函数的图象，利用导数的几何意义和割线的倾斜角与斜率的关系逐一判断即得.， 【解答过程】 对于①和②，分别过点作函数的图象的切线， 由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，即②正确，①错误； 对于③，过点作直线，则直线的斜率为， 由图知，直线的倾斜角满足，故，即，故③正确； 对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接， 则，于是直线的斜率， 由图知直线的倾斜角满足，故，即，故④正确. 故选：D. 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【解答过程】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【解题思路】求出，从而求出，根据导数的几何意义计算可得. 【解答过程】因为， 所以，． 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是． 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案. 【解答过程】 ， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（2025高二下·全国·专题练习）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案 【解答过程】设， 所以 . 因为， 所以曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【解答过程】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【变式6.3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1). (2)或. 【解题思路】（1）设出切点坐标，利用导数的定义求出切线的斜率，再求切线方程，将点的坐标代入，即可进一步求得切线方程； （2）根据导数公式求切点坐标，再求切线方程. 【解答过程】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解即可. 【解答过程】由导数的定义得，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】由切线方程即可求解. 【解答过程】由点在切线上，可得：， 由切线斜率可知：， 所以， 故选：C. 3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平均速度的定义求解即可. 【解答过程】由题意可得平均速度是. 故选：A. 4．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数的几何意义，结合图象，判断求解即可． 【解答过程】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零，故选项D错误； 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以，故选项A错误； 记，则直线的斜率，表示函数在区间上的平均变化率， 由函数图象知，即，故选项B错误，C正确； 故选：C． 5．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由有， 所以. 故选：A． 6．（25-26高二下·全国·课堂例题）观察函数的图像如图所示，平均变化率表示（    ） A．直线的点斜式方程 B．直线的斜截式方程 C．直线的两点式方程 D．直线的斜率 【答案】D 【解题思路】根据平均变化率的定义结合斜率计算判断. 【解答过程】． 故选：D. 7．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【解答过程】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】记点、、，利用斜率的几何意义和导数的几何意义逐项判断即可. 【解答过程】记点、、， 设直线、的倾斜角分别为、，函数在点、处的切线的倾斜角分别为、， 对于A选项，由图可知，，则， 即，即，A错； 对于B选项，由图可知，，所以，，B对； 对于C选项，由图可知，，所以，，C对； 对于D选项，由图可知，，所以，，D错. 故选：BC. 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合极限的运算法则和导数的定义，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，由 ，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C不正确； 对于D中，由 ，所以D正确； 故选：ABD. 11．（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】BC 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二下·重庆·月考）设函数，当x由1变到时，的平均变化率为 . 【答案】 【解题思路】直接根据平均变化率的定义可得. 【解答过程】因为函数，， ∵，∴当x由1变到时，的平均变化率为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 . 【答案】 【解题思路】由导数的定义求解即可. 【解答过程】. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 【答案】 【解题思路】根据导数的定义和几何意义即可求解. 【解答过程】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【解答过程】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 16．（24-25高三·上海·随堂练习）下图为函数及其在点P处切线的图象， (1)求切线方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由直线过点、可得答案； （2）求出、可得答案． 【解答过程】（1）由题意得，直线过点、， 所以切线方程为， 即； （2）因为切线的斜率为， 所以，又， 所以． 17．（24-25高二·全国·课后作业）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位： 求： (1)物体在内的平均速度； (2)物体的初速度； (3)物体在时的瞬时速度. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）计算时间变化量为，其位移变化量为，即可求出物体在，内的平均速度； （2）求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度，求出物体在附近位移的平均变化率，再利用极限的思想求出瞬时速度； （3）求出物体在附近位移的平均变化率，再利用极限的思想求出瞬时速度； 【解答过程】（1）解：由已知在时，其时间变化量为， 其位移变化量为， 故所求平均速度为； （2）解：求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度. 因为物体在附近位移的平均变化率为 所以物体在处位移的瞬时变化率为， 即物体的初速度. （3）解：因为物体在附近位移的平均变化率为 ， 故物体在时的瞬时速度为，即物体在时的瞬时速度为． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s． (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【解答过程】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【解题思路】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【解答过程】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $