第四章 培优课 等差数列-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

培优课　等差数列 1.能利用等差数列前n项和求解项的比值问题（数学运算）. 2.掌握简单的构造等差数列问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求数列{｜an｜}的前n项和（数学运算）. 一、利用等差数列前n项和求解项的比值问题 （1）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（　B　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：利用等差数列前n项和的性质得＝＝＝. （2）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（　B　） A. B. C. D. 解析：因为数列{an}，{bn}均为等差数列，故由＝，可设Sn＝n（2n＋1）k，Tn＝n（3n－1）k，则a7＝S7－S6＝105k－78k＝27k，b5＝T5－T4＝70k－44k＝26k，则＝＝.故选B. 规律方法 　　若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 训练1　（1）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（　C　） A. B. C. D. 解析：＝＝＝＝＝.故选C. （2）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝　　. 解析：＝×，即＝×，所以＝×＝. 二、构造等差数列的应用 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N*）. （1）求证：数列{}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由题意得＝＝＝＝＝＋， 所以－＝，故数列{}是等差数列. （2）由（1）知＝＋（n－1）×＝，所以an＝. 规律方法 　　当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列； （2）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （3）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （4）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （5）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列. 训练2　在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式. 解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0， 在等式两侧同除以anan－1，得3＋－＝0⇒－＝3， 即数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列， 故有＝1＋3（n－1）⇒an＝. 三、求数列{｜an｜}的前n项和 若等差数列{an}的首项a1＝13，公差d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn. 解：因为a1＝13，d＝－4， 所以an＝17－4n. 令an＝17－4n≥0，得n≤， 又因为n∈N*，所以n≤4， 记等差数列{an}的前n项和为Sn. 则当n≤4时，Tn＝Sn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×（－4）＝15n－2n2； 当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an）＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn＝2×－（15n－2n2）＝56＋2n2－15n. 所以Tn＝ 规律方法 求数列{｜an｜}的前n项和的步骤 　　已知等差数列{an}，求{｜an｜}的前n项和的步骤： （1）确定{an}的通项公式； （2）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点； （3）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加. 训练3　已知等差数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，且a2＝3，S8＝64. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：设等差数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S8＝64， ∴即解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）设bn＝｜9－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）得bn＝｜9－an｜＝｜9－（2n－1）｜＝｜10－2n｜，设cn＝10－2n，{cn}的前n项和为Pn， 则Pn＝×n＝－n2＋9n， 当1≤n≤5时，bn＝cn，Tn＝－n2＋9n. 当n≥6时，bn＝－cn， Tn＝（c1＋c2＋…＋c5）－（c6＋c7＋…＋cn）＝P5－（Pn－P5）＝2P5－Pn＝n2－9n＋40， 综上，Tn＝ （时间：45分钟　满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知数列{an}满足an＋1－an－2＝0，a1＝－5，则a6＝（　　） A.5 B.9 C.15 D.18 解析：A　an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2，可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以a6＝5. 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　） A.－1　　　 B.－ C.　　 　D.1 解析：D　＝＝＝×＝1. 3.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为＝，所以可设Sn＝kn（2n＋70），Tn＝kn（n＋3），k≠0，所以a7＝S7－S6＝588k－492k＝96k，b6＝T6－T5＝54k－40k＝14k，所以＝＝，故选A. 4.已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a20＝（　　） A.99 B.101 C.399 D.401 解析：C　由an＋1＝an＋2＋1，可得an＋1＋1＝（＋1）2，故－＝1，所以{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝n2－1，故a20＝202－1＝399，故选C. 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和为（　　） A.20 B.40 C.60 D.80 解析：C　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2－5n＋7，则an＝Sn－Sn－1＝2n－6（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，故an＝则数列{an}从第2项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{｜an｜}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60. 6.〔多选〕等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有（　　） A.数列是递增数列 B.＝ C.＝ D.＝ 解析：AB　＝＝＝2－，所以是递增数列，A选项正确；＝＝＝＝，所以＝＝，B选项正确；＝＝，C选项错误；当n＝1时，＝＝≠，D选项错误.故选A、B. 7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的是（　　） A.an＝34－2n B.仅有S16为Sn的最小值 C.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272 D.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450 解析：AC　A选项，Sn＝33n－n2中，当n＝1时，a1＝33－12＝32，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33（n－1）＋（n－1）2＝－2n＋34，显然a1＝32满足an＝34－2n，故an＝34－2n，A正确；B选项，因为当1≤n≤16时，an＞0，a17＝0，当n≥18时，an＜0，故S16，S17为Sn的最大值，B错误；C选项，a16＝34－32＝2，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝a1＋a2＋…＋a16＝＝272，C正确；D选项，a17＝0，a30＝34－60＝－26，｜a17｜＋｜a18｜＋…＋｜a30｜＝－（a17＋a18＋…＋a30）＝－＝182，由C知，｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝272＋182＝454，D错误.故选A、C. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和为　202　. 解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1＋1＋3＋…＋21＝＋＝202. 9.若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋＋，则a7＝　16　. 解析：因为an＋1＝an＋＋＝（＋）2，所以－＝，即{}是首项为＝1，公差为的等差数列，可求得an＝（n＋1）2，故a7＝＝16. 10.（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*. （1）证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； （2）求S20. 解：（1）证明：∵2Sn－an＝n2， ∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝（n－1）2， 两式相减得2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝n2－（n－1）2＝2n－1， 又∵2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1. ∴an＋an－1＝2n－1， 故（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[2（n＋1）－1]－（2n－1）＝2，且a2＋a1＝3， ∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知an＋an－1＝2n－1（n≥2）， ∴S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋…＋（a19＋a20） ＝3＋7＋11＋…＋39＝＝210. 11.（15分）在等差数列{an}中，a8＝－6，S6＝18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜， 求Tn的值. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝10－2n，n∈N*. （2）设数列{an}的前n项和为Sn， 则由（1）可得，Sn＝8n＋×（－2）＝－n2＋9n，n∈N*. 由（1）知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5， 当n＞5时，an＜0，当n＜5时，an＞0. 因此当n≤5时，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n， 当n≥6时，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn， 因为S5＝45－25＝20，所以Tn＝40－（－n2＋9n）＝n2－9n＋40. 所以Tn＝n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $