第四章 培优课 构造法求数列的通项公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

培优课　构造法求数列的通项公式 第四章　数列 1 重点解读 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法（数学运算）. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题（数学运算）. 一、形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） 设数列{an}满足a1＝4，an＋1＝ an＋2，则a100＝ 　​ 　. 解析：在数列{an}中，由an＋1＝ an＋2，得an＋1－3＝ （an－3），而a1 －3＝1，因此数列{an－3}是首项为1，公比为 的等比数列，an－3＝1× （ ）n－1，即an＝3＋ ，所以a100＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 规律方法 　　求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an} 的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an ＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝ ）. 数学·选择性必修第二册 训练1　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（　　） A. 2 045 B. 1 021 C. 1 027 D. 2 051 解析：∵an＋1＝2an＋3可变形为an＋1＋3＝2（an＋3），故数列{an＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－3＝2n＋1－3，∴a10＝2 045.故选A. √ 数学·选择性必修第二册 二、形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0） 角度1　f（n）为一次多项式 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式 为 ⁠. an＝3n－n－1 数学·选择性必修第二册 解析：设an＋1＋A（n＋1）＋B＝3（an＋An＋B），∴an＋1＝3an＋2An ＋2B－A. 与原式比较系数得 解得 ∴an＋1＋（n ＋1）＋1＝3（an＋n＋1）.令bn＝an＋n＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1 ＋1＝3≠0，∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴bn＝3·3n－1＝ 3n，∴an＝3n－n－1. 数学·选择性必修第二册 规律方法 　　一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan ＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2） 的形式来求通项公式. 数学·选择性必修第二册 角度2　f（n）为指数式 （1）已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n（n≥2），且a1＝1，则an ＝ ⁠； 解析：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得 ＝ ＋1，即 － ＝1，又 ＝ ，所以{ }是以 为首项，1为公差的等差数列，即 ＝ ＋（n－1）×1＝n－ ，所以an＝（n－ ）×2n. （ n－ ）×2n 数学·选择性必修第二册 （2）已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝ ⁠ ⁠. 解析：令an＋1－A·3n＋1＝2（an－A·3n），则an＋1＝2an＋ ·3n＋1， 由已知， ＝1，得A＝3，所以an＋1－3×3n＋1＝2（an－3×3n），即an＋1 －3n＋2＝2（an－3n＋1），又a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{an－3n＋1}是首 项为－3，公比为2的等比数列，于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1 －3×2n－1. 3n＋1－3×2n －1 数学·选择性必修第二册 规律方法 1. 形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式，一般等式两边除以pn，构 造出一个新的数列{ }，再求an. 2. 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋ λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}， 然后再求an. 数学·选择性必修第二册 训练2　（1）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an} 的通项公式为 ⁠； 解析：设an＋2－x1an＋1＝x2（an＋1－x1an），结合已知可得x1＝x2＝1，a2 －a1＝3－2＝1≠0，于是{an＋1－an}是首项为1，公比为1的等比数列，所 以an＋1－an＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n ＋1. an＝n＋1 数学·选择性必修第二册 （2）已知数列{an}满足 ＝ ＋ ，且a1＝1，则an＝ 　​ 　. 解析：由题意，等式两边同乘2n，得 ＝ ＋1，即 － ＝1，所以 { }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝2＋（n－1）×1＝n＋ 1，即an＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 三、形如an＋1＝ （p，q，r≠0） 在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝ ，n∈N*，则bn＝ ⁠. 解析：对递推式bn＋1＝ 的两边同时取倒数，得 ＝ ，即 ＝2· ＋3，因此 ＋3＝2（ ＋3）， ＋3＝2，故{ ＋3}是以2为 首项，2为公比的等比数列，于是 ＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝ ， n∈N*. ​ 数学·选择性必修第二册 规律方法 　　一般地，形如an＋1＝ （p，q，r≠0）结构的递推式往往可以 通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2， A，B是常数），进而求出原数列的通项公式. 数学·选择性必修第二册 训练3　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则an＝ 　​ 　. 解析：∵an＋1＝ ，∴ ＝ ＋2，即 － ＝2，∴{ }是公差 为2的等差数列.又 ＝1，∴ ＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 课时作业>>（时间：45分钟　满分：76分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 17 1. 数列{an}满足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{an－ 1}是等比数列，则λ＝（　　） A. 1 B. －1 C. D. 2 解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ（an－ ）.∵数列{an－1}是等比数列，∴ ＝1，λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 数学·选择性必修第二册 2. 已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝ （n∈N*），则a16＝（　　） A. B. C. D. 解析：由an＋1＝ 得， ＝ ＝ ＋ ，又 ＝1，所以数列{ }是以1为首项， 为公差的等差数列，所以 ＝1＋ （n－1）＝ ，所以an＝ ，则a16＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 3. 已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝ an＋ ，则此数列的通 项公式an＝（　　） A. 2n B. n（n＋1） C. D. 解析：∵an＋1＝ an＋ ，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan＝2＋（n－1）×2＝2n，∴an＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝ （　　） A. 12×210 B. 12×211 C. 12×212 D. 12×213 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 解析：　由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，又an ＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），因此 数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－ 2an＝4×2n－1＝2n＋1，于是 － ＝1，因此数列{ }是以1为首项，1 为公差的等差数列，得 ＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n·2n.所以a12 ＝12×212. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 5. 已知数列{an}满足a1＝t，an＋1－2an＝－n＋1，若{an}是递减数列， 则实数t的取值范围为（　　） A. （－1，1） B. （－∞，0） C. （－1，1] D. （1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 解析： 　由an＋1－2an＝－n＋1得an＋1－（n＋1）＝2（an－n），易知 当t＝1时，a1＝1，a2＝2，不满足{an}是递减数列，故t≠1，因此数列 {an－n}是以a1－1＝t－1为首项，2为公比的等比数列，故an－n＝（t－ 1）2n－1，因此an＝n＋（t－1）2n－1，又{an}是递减数列，所以an＋1＜an 恒成立，即n＋1＋（t－1）2n＜n＋（t－1）2n－1恒成立，即（1－t）2n －1＞1恒成立，故1－t＞ 恒成立，因此1－t＞ ＝1，解得t＜0.故 实数t的取值范围为（－∞，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 6. 〔多选〕已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说 法正确的是（　　） A. a4＝4 B. {a2n}是等比数列 C. a2n－a2n－1＝2n－1 D. a2n－1＋a2n＝2n＋1 解析：∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，∴ ＝2，∴{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综上可知，A、B、C正确，D错误. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 7. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝9，且an＋2＋an＝2an＋1＋8，则an ＝ ⁠. 解析：因为an＋2＋an＝2an＋1＋8，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＋8，所以数 列{an＋1－an}是公差为8的等差数列，其首项为a2－a1＝8，于是an＋1－an ＝8n，则an－an－1＝8（n－1），an－1－an－2＝8（n－2），…，a3－a2 ＝8×2，a2－a1＝8，所以an－a1＝8（1＋2＋…＋n－1）＝ 8× ＝4n2－4n，所以an＝4n2－4n＋1（n≥2）.而a1＝1 符合该式，故an＝4n2－4n＋1. 4n2－4n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 8. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7 ＝ ⁠. 解析：当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1　①， 得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）·an－1＝（n－2）·2n－1＋1　②，①－ ②，得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1 （n≥2），当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，则a7＝64. 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125， 则k的最小值为 ⁠. 解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝ a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所 以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得 k≥6.所以k的最小值为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 10. （15分）已知正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a4＝64，且anan＋2＝ k （n∈N*）. （1）求k的值； 解：当n＝1时，a1a3＝k ，得a3＝4k， 当n＝2时，a2a4＝k ，即128＝k·（4k）2， 解得k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）求数列{an}的通项公式. 解：因为k＝2，所以anan＋2＝2 ， 又an＞0，则 ＝2· ， 令bn＝ ，则bn＞0，所以bn＋1＝2bn，则{bn}是等比数列， 因为b1＝ ＝2，q＝2，所以bn＝b1qn－1＝2n，所以 ＝2n， 则an＝ × ×…× ×a1＝2n－1×2n－2×…×21×1＝ （n≥2），当n＝1时，a1＝1，满足上式，故an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 11. （15分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3（n≥2）. （1）若an＝bn，求{an}的通项公式； 解：当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1， 所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3， 整理得an－ ＝－（an－1－ ）， 所以{an－ }是以a1－ ＝ 为首项，－1为公比的等比数列. 故an－ ＝ ×（－1）n－1， 即an＝ ＋ ×（－1）n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）若b1＝0，an－1＋bn＝1（n≥2），证明{an}为等差数列，并求{an} 和{bn}的通项公式. 解：当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3， 又an－1＋bn＝1， 所以an＋1－an－1＝2（n≥2）. 因为b1＝0，所以a2＝3， 则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋（k－1） ×2＝2k，k∈N*； {a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋（k－1）×2＝2k ＋1，k∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 综上所述，an＝n＋1. 所以an－an－1＝（n＋1）－n＝1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n， 所以bn＝1－n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 $