4.4 数学归纳法-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

4.4　*数学归纳法 课标要求 情境导入 1.了解数学归纳法的原理（数学抽象）. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题（逻辑推理）. 　　往一匹健壮的马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后，马竟不堪重负瘫倒在地.这在社会学里，取名为“稻草原理”.这也是多米诺骨牌效应的一个体现，其中更蕴含着一种递推的数学思想，下面我们来学习一下这种数学思想. 知识点一　数学归纳法 问题　（1）如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确. （2）在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的. 1.定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题. 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 提醒：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（　×　） （2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.（　×　） （3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（　√　） （4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（　×　） 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 3.设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝”的过程中，第二步从k到k＋1应添加的项为　（k＋1）2＋k2　. 解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添加的项是（k＋1）2＋k2. 规律方法 数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律； （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 知识点二　用数学归纳法证明等式 （链接教材P47例2）用数学归纳法证明：＋＋…＋＝1－（n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，显然等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即＋＋…＋＝1－， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝1－＋＝1－＋＝1－， 故当n＝k＋1时，等式也成立， 由（1）（2）可得，＋＋…＋＝1－（n∈N*）成立. 规律方法 用数学归纳法证明等式的策略 　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）n＝n0时，等式的结构； （2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系. 训练1　用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝n（n＋1）（n＋2）（n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝2，右边＝×1×2×3＝2，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＝k（k＋1）·（k＋2）， 那么当n＝k＋1时， （12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＋[（k＋1）2＋（k＋1）]＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）2＋（k＋1）＝k（k＋1）（k＋2）＋（k＋1）（1＋k＋1）＝（k＋1）·（k＋2）（k＋3）＝（k＋1）[（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]，即当n＝k＋1时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立. 知识点三　用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）. 证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，∵＜，∴不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立， 即＋＋＋…＋＜1－. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－. ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 规律方法 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 （1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法； （2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 训练2　（1）用数学归纳法证明：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）； （2）已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＞. 证明：（1）①当n＝2时， 左边＝＋＋＋＞，不等式成立. ②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立， 即＋＋…＋＞， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋（3×－）＝， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立. （2）①当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立. ②假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝＞＝＝，所以1＋＋＋…＋＋＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立. 知识点四　归纳—猜想—证明 （链接教材P48例3）在数列{an}中，a1＝，an＋1＝（n＝1，2，3，…）. （1）求a2，a3，a4； （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 解：（1）a2＝＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝. （2）猜想数列{an}的通项公式为an＝， 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝a1＝，右边＝＝，结论成立. ②假设当n＝k（k≥1）时，结论成立，即ak＝， 那么ak＋1＝＝＝， 即当n＝k＋1时结论也成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝. 规律方法 “归纳—猜想—证明”的一般环节 训练3　已知函数y＝f（n）（n∈N*），设f（1）＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f（n1＋n2）＝f（n1）·f（n2）. （1）求f（2），f（3），f（4）的值； 解：由f（1）＝2，且任意的n1，n2∈N*， 有f（n1＋n2）＝f（n1）·f（n2）， 得f（2）＝f（1＋1）＝f（1）·f（1）＝22，f（3）＝f（2＋1）＝f（2）·f（1）＝23，f（4）＝f（3＋1）＝f（3）·f（1）＝24， 所以f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝16. （2）试猜想f（n）的解析式，并用数学归纳法给出证明. 解：由（1）猜想：f（n）＝2n（n∈N*）. 证明如下： ①当n＝1时，f（1）＝21＝2，猜想正确； ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，猜想正确，即f（k）＝2k， 则当n＝k＋1时，f（k＋1）＝f（k）·f（1）＝2k·2＝2k＋1，因此当n＝k＋1时，猜想正确. 由①②知，对任意的n∈N*，都有f（n）＝2n. 1.用数学归纳法证明：1＋2＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）·（2n＋1），在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是（　　） A.1　　　　　　　　　　 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 解析：C　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. 2.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　　） A.2 B.3 C.5 D.6 解析：C　当n取1，2，3，4时，2n＞n2＋1都不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，所以第一个能使2n＞n2＋1成立的n的值为5.故起始值n0应取5. 3.〔多选〕用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（　　） A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D.当n＝2时不等式左边是 解析：CD　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋＋…＋（k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确. 4.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上　（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2　. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）. （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2， 可得a2＝，S2＝1＋＝； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3， 可得a3＝，S3＝1＋＋＝； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.猜想Sn＝. （2）①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2·（Sk＋1－Sk）， ∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·， ∴Sk＋1＝. 故当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝. 又∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $