4.3.1 第三课时 等比数列的综合应用-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第三课时　等比数列的综合应用 课标 要求 1.能运用等比数列的性质简化计算（数学运算）. 2.能利用等差、等比数列的通项公式求解简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）. 3.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题（数学建模）. 知识点一　灵活设项求解等比数列 〔一题多解〕有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为，a，aq， 则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 法二　设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第1个数为（4－d）2， 由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 规律方法 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为，a，aq.推广到一般，奇数个数成等比数列，可设为…，，，a，aq，aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为，，aq，aq3.推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 训练1　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差数列，则这四个数的和是　45　. 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 知识点二　等比数列的实际应用 （链接教材P31例4）从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： （1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ 解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－，第n＋1次操作后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－）， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列，所以an＝a1qn－1＝（1－）n， 即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－）n. （2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？ 解：当a＝2时，由an＝（）n＜，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 规律方法 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 训练2　某公司的销售额下跌严重，从2025年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？ 解：设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售收入构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1（1－x）， a3＝a1（1－x）2＝128（1－x）2＝32，解得x＝50%. 设an＝8，an＝128（1－50%＝8，解得n＝5， 所以从2025年的7月算起第5个月，即2025年的11月该公司的销售收入跌至8万元. 提能点　由等比数列衍生的新数列 问题　若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋2}呢？ 提示：{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列. 证明：设{an}的公比为q，则＝＝q，即{2an}仍然是公比为q的等比数列；又＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an＋2}一般不是等比数列. 1.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}，{}，{｜an｜}，{}，{anan＋1}都是等比数列，公比分别为　q，，｜q｜，q2，q2　. 2.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与{}也都是等比数列，公比分别为　pq　和　　. 3.在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列. 4.在数列{an}中，依次每k项的和（或积）构成公比为qk（或）的等比数列. （1）〔多选〕如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是（　　） A.{} B.{} C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1} 解析：ABC　取等比数列an＝（－1）n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D不一定是；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. （2）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：依题意，a1＝4，a5＝， 由等比数列的通项公式，得＝4×q4， 解得q＝±. 当q＝时，插入的3个数分别为4×＝2，2×＝1，1×＝；当q＝－时，插入的3个数分别为4×（－）＝－2，（－2）×（－）＝1，1×（－）＝－. 因此，插入的3个数分别为2，1，或－2，1，－. 规律方法 1.证明新数列是否为等比数列时常可借助定义法. 2.由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q＜0的情况. 训练3　（1）已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝3，a3＋a4＋a5＝5，则a5＋a6＋a7＝（　D　） A. B. C. D. 解析： {an＋an＋1＋an＋2}为等比数列，则（a3＋a4＋a5）2＝（a1＋a2＋a3）（a5＋a6＋a7），可知a5＋a6＋a7＝＝. （2）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积（i＝1，2，…），则数列{An}为等比数列的充要条件是（　D　） A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 解析：因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积（i＝1，2，…），所以Ai＝aiai＋1（i＝1，2，3，…，n，…），则数列{An}的通项公式为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，数列{An}（n＝1，2，3，…）为等比数列的充要条件是＝＝＝q（常数且大于0）. 1.已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，则下列数列不是等比数列的是（　　） A.{3an}　　　　　　　 　 B.{} C.{2an－3bn} D.{2an·3bn} 解析：C　易证得A、B、D都是等比数列. 2.若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为　q7　. 解析：由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，故＝＝q7. 3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　. 解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝. 4.已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数. 解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则解得或故所求四个数依次为－，，－2，8或8，－2，，－. 教材挖掘　等差、等比数列转化 由教材P32例5我们可以看出：将等差数列{an}的每一项作为同底数的指数所得到的新数列是等比数列；而将正项等比数列{an}的每一项取同底数的对数所得到的新数列是等差数列. 【问题探究】 已知b＞0且b≠1，如果数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正数且公比为q的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？ 提示：（1）＝＝bd，所以数列{}是公比为bd的等比数列； （2）logban＋1－logban＝logb＝logbq，所以数列{logban}是公差为logbq的等差数列. 【迁移应用】 1.已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，则数列{bn}的通项公式为　bn＝2n－1　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝＝28.∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2（n≥2），b1＝log2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1. 2.数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1（n∈N*），若a1＋a3＋…＋＝2n，求log2（a2＋a4＋a6＋…＋）的值. 解：由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，即log2 ＝－1，得＝， ∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为， ∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＝2n－1，则log2（a2＋a4＋a6＋…＋a2n）＝n－1. （时间：60分钟　满分：102分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　） A.等差数列 B.以q为公比的等比数列 C.以q2为公比的等比数列 D.以2q为公比的等比数列 解析：C　因为＝＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列. 2.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4 km的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为a1，第2次对折后的纸张厚度为a2，…，以此类推，设纸张未折之前的厚度为a，则a13＝（　　） A.212a B.412a C.213a D.413a 解析：C　由题意数列{an}是等比数列，公比是2，且a1＝2a，所以a13＝2a×212＝213a. 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1，a3，a2成等差数列，则＝（　　） A.＋1 B.－1 C.4＋2 D.4－2 解析：C　设等比数列{an}的公比为q，因为a1，a3，a2成等差数列，所以2×a3＝a1＋a2，则a1q2＝a1＋a1q，又因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝1±，而数列{an}的各项均为正数，所以q＝1＋.所以＝q2＝（1＋）2＝4＋2. 4.已知等比数列{an}中，a2＝，a5＝，则数列{log2an}的前10项和为（　　） A.－55 B.－33 C.33 D.55 解析：A　设等比数列{an}的公比为q，由a2＝，a5＝，可得a2q3＝×q3＝，解得q＝，又由a1q＝a1×＝，解得a1＝，所以an＝（）n，则log2an＝log2（）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列{log2an}的前10项之和为S10＝＝－55. 5.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（　　） A.210 B.220 C.216 D.215 解析：B　设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220. 6.下列说法正确的是（　　） A.若＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列 B.若anan＋2＝，n∈N*，则{an}为等比数列 C.若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列 D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列 解析：C　由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C. 7.〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（　　） A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 B.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 C.按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 D.由大到小排列，是第七个矩形块中的数字 解析：BCD　设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×（）n－1＝，故A中结论错误；a8＝＝，故B中结论正确；第n－1个矩形块中所填数字是，故C中结论正确；a7＝＝，故D中结论正确.故选B、C、D. 8.已知三个圆柱的体积成以10为公比的等比数列.第一个圆柱底面的直径为65 mm，第二、三个圆柱底面的直径均为325 mm，第三个圆柱的高为230 mm，则第一、二个圆柱的高分别为　 mm　和　23 mm　. 解析：设第一个圆柱的高为h1，第二个圆柱的高为h2，则＝＝10，故h2＝23 mm，h1＝ mm. 9.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为　8　. 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b＞0，所以b＝2（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 10.（10分）〔一题多解〕有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq－a. 由题意得 解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18； 当q＝时，a＝，这四个数为，，，. 法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d， 则第一个数为， 因此这四个数为，a－d，a，a＋d. 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或，，，. 11.已知数列{an}为正项递增等比数列，a1＋a2＋a3＝，＋＋＝，则{an}的公比q＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：A　由题意得a1＞0，q＞1，由a1＋a2＋a3＝，＋＋＝＋＝＝，得＝，所以a2＝3（a2＝－3舍去），所以a1＋a3＝＋3q＝－3＝，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2（q＝舍去）. 12.〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7＝1 C.K9＞K5 D.K6与K7均为Kn的最大值 解析：ABD　对于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，因为a7＝1，所以a8＜1，则＝a6a7a8a9＝（a7a8）2＝＜1，所以K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 13.设有4项的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为　［，＋∞）　. 解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项为，∴数列{an}为，2－d，2，2＋d.∴m＝＋2－d＋2＝d2－3d＋6＝（d－3）2＋≥. 14.（15分）某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值； （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：（1）设购买新车n年后，这辆车的价值为an万元， 依题意a1＝13.5（1－10%）， n＋1年后车的价值an＋1＝（1－10%）an＝0.9an， 由此知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5×0.9，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9×0.9n－1＝13.5×0.9n， 所以n年后车的价值为an＝13.5×0.9n万元. （2）由（1）得a4＝13.5×0.94≈8.9（万元）， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 15.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋1）Sn＝，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由nSn＋1－（n＋1）Sn＝，得－＝， ∴数列{}是首项为＝1，公差为的等差数列， ∴＝1＋（n－1）＝（n＋1），∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也适合上式，∴an＝n. （2）由（1）知an＝n，Sn＝. 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则＝ak·a4k，即［］2＝k·4k. ∵k为正整数，∴（2k＋1）2＝4， 得2k＋1＝2或2k＋1＝－2， 解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾. ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $