4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第一课时　等比数列的前n项和公式 课标要求 情境导入 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路（逻辑推理、数学运算）. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题（数学运算）. 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，…. 　　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么你能求出知晓这个信息的人数吗？ 知识点一　等比数列的前n项和公式 问题　对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，如何求其前n项和Sn呢？ 提示：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即（1－q）Sn＝a1（1－qn），当q≠1时，Sn＝，当q＝1时，Sn＝na1. 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 提醒：求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和. （链接教材P35例7）求下列等比数列前8项的和： （1），，，…； 解：因为a1＝，a2＝，可得q＝， 所以S8＝＝. （2）a1＝27，a9＝，q＜0. 解：由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q＜0，可得q＝－， 所以S8＝＝ ＝＝. 规律方法 　　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公比q＝1是否成立. 训练1　（1）在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝　26　； 解析：S3＝＝26. （2）〔一题多解〕求数列{（－1）n}的前100项的和S100. 解：法一　a1＝（－1）1＝－1，q＝－1.∴S100＝＝0. 法二　数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…，∴S100＝50×（－1＋1）＝0. 知识点二　利用等比数列前n项和公式求基本量 （链接教材P36例8）在等比数列{an}中. （1）若a1＝－1，＝，求S8； 解：当q＝1时，＝＝2，矛盾，所以q≠1. 由＝＝1＋q5＝，q5＝－⇒q＝－， 所以S8＝＝＝－. （2）〔一题多解〕若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：法一　由已知条件得 解得 法二　由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1qn－1，得96＝3×2n－1，解得n＝6. 规律方法 与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解 （1）在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； （2）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 训练2　（1）在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为　5　； 解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则解得故此数列共有5项. （2）在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，则an＝　2n－2　. 解析：设等比数列{an}的公比为q.由已知条件知S6≠2S3，则q≠1.由S3＝，S6＝，得②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①，解得a1＝.因此an＝a1qn－1＝2n－2. 知识点三　利用等比数列前n项和公式判断等比数列 问题　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝（q≠1）的函数特征吗？ 提示：Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 等比数列前n项和公式的函数特征 （1）当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn－1），即Sn是n的指数型函数； （2）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝　na1　，Sn是n的正比例函数. 提醒：（1）Sn＝Aqn－A（q≠1）时，{an}是首项为（Aq－A），公比为q的等比数列；（2）当q≠1时，qn的系数与常数项互为相反数. 记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. （1）当λ＝3时，求{an}的通项公式； 解：当λ＝3时，Sn＝2n＋3， 所以a1＝S1＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1. 又a1＝5不适合上式，所以an＝ （2）是否存在实数λ，使得{an}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由. 解：由Sn＝2n＋λ，得a1＝S1＝2＋λ； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 若存在实数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列. 规律方法 1.已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式. 2.若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 训练3　（1）若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1（t∈R），则此数列是（　D　） A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对 解析：当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1（t－1），当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1（t－1），所以{an}是等比数列. （2）〔一题多解〕等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则＝　－4　. 解析：法一　a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为{an}为等比数列，则＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－4t，故＝－4. 法二　Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4. 1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（　　） A.×（510－1）　　　　　 B.×（510－1） C.×（59－1） D.×（511－1） 解析：B　易知题中数列是首项为1，公比为5的等比数列，则S10＝＝×（510－1）. 2.已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 解析：D　由等比数列前n项和公式，知＝2n＋1－2＝126，n＝6，故选D. 3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝　　. 解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝. 4.已知数列{an}是等比数列. （1）若an＝3×2n，求S6； （2）若a3＝12，a8＝，Sn＝93，求n. 解：（1）因为an＝3×2n， 所以a1＝3×2＝6，且公比为2， 所以S6＝＝378. （2）设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝12，a8＝， 所以q5＝＝＝，解得q＝， 所以a1＝＝＝48. 所以Sn＝＝96×［1－（）n］＝93，解得n＝5. （时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　） A.2－ B.2－ C.2－ D.2－ 解析：B　易知公比q＝，则S10＝＝2－. 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　） A.－ B.1 C.－或1 D.或1 解析：C　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意. 3.已知在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则{an}的前n项和Sn＝（　　） A.2n－1 B.2n－1 C.2n－1 D.n2 解析：B　设等比数列{an}的公比为q，由a2a3＝8，得a1q·a1q2＝8，由a1＝1，得q3＝8，解得q＝2，所以Sn＝＝＝2n－1. 4.在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：B　因为{an}是递增等比数列，所以a1an＝a2an－1＝64.由可得可得Sn＝＝＝62，解得q＝2.由an＝2×2n－1＝2n＝32，可得n＝5. 5.在等比数列{an}中，若Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则＋＋…＋＝（　　） A.（2n－1）2 B.（2n－1） C.4n－1 D.（4n－1） 解析：D　在数列{an}中有Sn＝2n－1，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1（n≥2），a1＝1，＝22（n－1）（n≥2），＝1，＝＝22＝4（n≥2），∴＋＋…＋＝＝（4n－1）. 6.〔多选〕已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则（　　） A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比 C.ac＜0 D.{an}可能为常数列 解析：ABC　设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，显然不满足Sn＝a·bn＋c，所以D错误；当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－＜0，所以A、B、C正确. 7.在等比数列{an}中，若q＝2，S4＝1，则S8＝　17　. 解析：设首项为a1，因为q＝2，S4＝1，所以＝1，解得a1＝，所以S8＝＝＝17. 8.对于数列{an}，若点（n，an）（n∈N*）都在函数f（x）＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝　30　. 解析：由题设可得an＝2n，故＝＝2（n≥2），故数列{an}是首项为a1＝2，公比为2的等比数列，故S4＝＝30. 9.一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝　1　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴Sn＝－＝（1－2λ）＋λ·2n，则可得λ＝1. 10.（13分）在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由题意得an＝qn－1，q4＝4q2， 解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2. 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. （2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得＝63， 即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 11.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：C　∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4. 12.〔多选〕已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则（　　） A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 解析：BC　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C. 13.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是　（－1，0）∪（0，＋∞）　. 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）. 14.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1（n∈N*）. （1）证明：数列{an}是等比数列； （2）求的值. 解：（1）证明：由an＋Sn＝1（n∈N*），　① 得an＋1＋Sn＋1＝1，　② ②－①得2an＋1＝an，即＝， 又a1＋S1＝1，a1＝， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知a10＝a1·（）9＝（）10， S10＝＝1－， 所以＝＝210－1＝1 023. 15.（15分）将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表. 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列； ③a66＝. 请解答以下问题： （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）. 解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝. （2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列. 故a66＝b10·q2， 又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2. 故S（k）＝＝（2k＋2－1）. 学科网（北京）股份有限公司 $