4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第一课时　等差数列的概念及通项公式 课标要求 情境导入 1.理解等差数列、等差中项的概念（数学抽象）. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 　　北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，从内到外每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，※.你能猜出※代表的数字吗？ 知识点一　等差数列的概念 问题　观察下列三个问题中的数列： （1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； （2）在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986； （3）为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（1），24.5－25＝－0.5，…；对于（2），1758－1682＝76，…；对于（3），10－10＝0，….观察可知这3个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 文字语言 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个常数　，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的公差，公差通常用字母　d　表示 符号语言 an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*） 提醒：（1）作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；（2）差必须是同一个常数；（3）公差可以是正数、负数、零. 【微思考】 等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）常数列是等差数列.（　√　） （2）等差数列的公差不能为负数.（　×　） （3）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　×　） （4）若数列{an}满足an＋1－an＝1（n＞1，n∈N*），则数列{an}是等差数列.（　×　） 2.已知数列是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝（　　） A. B.1 C. D.2 解析：D　由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2. 3.判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. （1）1，3，5，7，9，…； （2）9，6，3，0，－3，…； （3）1，3，4，5，6，…； （4）7，7，7，7，7，…； （5）1，，，，，…. 解：（1）是，a1＝1，d＝2. （2）是，a1＝9，d＝－3. （3）不是. （4）是，a1＝7，d＝0. （5）不是. 规律方法 利用定义判断等差数列的策略 　　从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 知识点二　等差中项 问题　（1）如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：由等差数列的定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. （2）若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立. 提醒：（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一；（2）等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝；（3）等差数列{an}中，an是an－k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系. （1）若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题知a，b的等差中项为（＋）＝（－＋＋）＝. （2）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 规律方法 等差中项的应用策略 （1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝； （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列. 训练1　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的等差中项为　11　； 解析：因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝2a－1＋2a＋1，解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等差中项为＝11. （2）已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列. 证明：∵，，成等差数列， ∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）. ∵＋＝ ＝＝＝＝， ∴，，成等差数列. 知识点三　等差数列的通项公式 问题　你能根据等差数列的定义an－an－1＝d（n≥2），推导出等差数列的通项公式吗？ 提示：法一（归纳法）　由题意知，an＝＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，归纳可得an＝a1＋（n－1）d（n≥2）.当n＝1时，上式也成立，故an＝a1＋（n－1）d. 法二（累加法）　a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝（n－1）d，即an＝a1＋（n－1）d. 法三（迭代法）　因为{an}是等差数列，所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d. 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋（n－1）d　. 角度1　等差数列基本量的计算 （链接教材P14例1）在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解：设数列{an}的公差为d， 由已知得，解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. 角度2　等差数列通项公式的应用 （链接教材P15例2）已知等差数列10，7，4，…. （1）求这个数列的第10项； 解：记数列为{an}，则由题意知a1＝10，公差d＝7－10＝－3， 因此数列的通项公式为an＝10＋（n－1）×（－3）＝－3n＋13. 当n＝10时，有a10＝－3×10＋13＝－17， 因此第10项为－17. （2）－56是不是这个数列中的项？－40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：设－56是数列中的第n项， 则－3n＋13＝－56，解得n＝23， 所以－56是数列的第23项. 设－40是数列中的第k项， 则－3k＋13＝－40，解得k＝∉N*， 由此可知－40不是此数列中的项. 规律方法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，即“知三求一”. 训练2　（1）2 026是等差数列4，6，8，…的（　　） A.第1 009项 B.第1 010项 C.第1 011项 D.第1 012项 解析：D　∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 026＝2n＋2，解得n＝1 012. （2）在等差数列{an}中， ①已知a4＝10，a14＝70，求an； ②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，求公差d； ③已知{an}的前3项依次为2，6，10，求a15. 解：①由题意得 解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. ②由题意得 解得 ③由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. 1.〔多选〕（2026·无锡月考）下列数列是等差数列的有（　　） A.8，8，8，8 B.－2，－1，0，1 C.1，2，4，6 D.1，1，2，3 解析：AB　A选项中的数列是常数列，是等差数列，公差为0；B选项中的数列是公差为1的等差数列；C选项中的数列的第3项与第2项的差为2，第2项与第1项的差为1，因此该数列不是等差数列；D选项中的数列的第2项与第1项的差为0，从第3项开始，每一项与它的前一项的差是1，因此该数列不是等差数列. 2.（2026·长沙质检）若a是a2与1的等差中项，则a＝（　　） A.1 B.0或1 C.－2或1 D.－或1 解析：A　由a是a2与1的等差中项得2a＝a2＋1，解得a＝1. 3.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为（　　） A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 解析：C　设该等差数列的公差为d，因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，所以2（a＋1）＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1. 4.在等差数列{an}中，a1＝2，a15＝58. （1）求数列{an}的通项公式； （2）判断96是不是数列{an}中的项？ 解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 则a15＝a1＋14d＝58，因为a1＝2， 于是得d＝4，an＝a1＋（n－1）d＝4n－2， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n－2. （2）由（1）知，an＝4n－2，令4n－2＝96，得n＝不是正整数， 所以96不是数列{an}中的项. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　） A.90 B.96 C.98 D.100 解析：D　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100. 2.已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝（　　） A.0 B.2 C.－1 D.－2 解析：D　因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2（2＋2d），解得d＝－2.故选D. 3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　） A.25 B.30 C.32 D.64 解析：A　由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A. 4.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），则＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　∵b是x，2x的等差中项，∴b＝＝，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝，∴＝. 5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 解析：B　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项. 6.〔多选〕下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　） A.an＝3n＋1 B.an＝n2＋1 C.an＝1 D.an＝1－2n 解析：ACD　对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3，为常数，∴此数列为等差数列，A正确；对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－（n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确；对于C，an＋1－an＝1－1＝0，为常数，该数列是等差数列，C正确；对于D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2，为常数，该数列是等差数列，D正确.故选A、C、D. 7.〔多选〕在等差数列{an}中，a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则（　　） A.k＝49 B.k＝50 C.an＝ D.an＝ 解析：BC　设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5＝2a1＋7d＝，又a1＝，则d＝，an＝＋（n－1）×＝，故ak＝＝33，解得k＝50. 8.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为　an＝2（n＋1）2　. 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2. 9.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　等边三角形　. 解析：因为a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，所以则4b＝（＋）2＝a＋c＋2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形. 10.（13分）在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. （1）求该数列的第10项； （2）问112是数列{an}的第几项？ （3）在80到110之间有多少项？ 解：设数列{an}的公差为d， 则解得 （1）a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. （2）an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. （3）由80＜3n－5＜110， 解得28＜n＜38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 11.已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为（　　） A.2 B.4 C.8 D.16 解析：D　由等差中项的定义可得＋＝1，故a＋9b＝（a＋9b）·（＋）＝1＋＋＋9≥10＋2＝16（当且仅当a＝4，b＝时取等号）. 12.若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　） A.（3，＋∞） B.（－∞，） C.［3，） D.（3，］ 解析：D　由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数，∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤. 13.〔多选〕在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则（　　） A.a4＝ B.a3＝1 C.d＝ D.d＝ 解析：ABD　由题意得解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1. 14.（15分）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； （2）设bn＝，若bm＋＝，求正整数m的值. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得⇒或即数列{an}的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时，bn＝＝1， 又bm＋＝，而1＋1＝2＞1，不满足题意； 当an＝3n－2时， bn＝＝， 又bm＋＝， 所以＋＝， 整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数， 所以m＝6. 15.（15分）设数列{an}是等差数列，且公差为d.若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”； （2）若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由. 解：（1）证明：因为a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2（n－1）＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝（2s＋2）＋（2t＋2）＝2（s＋t＋1）＋2. 因为s＋t＋1∈N*， 所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. （2）数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3， 所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”. 学科网（北京）股份有限公司 $