4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝4，a2＋a4＝8，则S5＝(　　) A． B．20 C． D． 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q， 则解得 因此S5＝＝＝. 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝4(a1＋a3)，则公比q＝(　　) A．2 B． C．3 D． 解析：选C.由S4＝4(a1＋a3)，当q＝1时，显然不满足．当q≠1时，＝4a1(1＋q2)，解得q＝3. 3．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，S3＝，则S5＝(　　) A． B．15 C． D． 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a2＝1，S3＝，得＋1＋q＝，解得q＝或q＝2，而数列{an}是递增数列，且a2＝1>0，则q>1，即q＝2，a1＝，所以S5＝＝. 4．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　) A．3 B．2 C．－ D．－ 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1.由S6＝S3可得＝×，化简得q3＝－，解得q＝－，则a1＝＝＝－. 5．已知等比数列{an}的公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则k的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.由题可得，a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n-1.因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝2k-1·＝2k+9－2k-1＝214－24，解得k＝5. 6．(多选)已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn，若a2＝，S3＝，则(　　) A．a1＝1 B．a5－a3＝ C．S4＝ D．{Sm＋2}不是等比数列 解析：选AC.设{an}的公比为q(q≠1)，则由a2>0，{an}单调递增，得q>1.因为S3＝a2，所以＝，解得q＝或q＝(舍去).对于A，a1＝＝1，故A正确；对于B，an＝a1qn-1＝n-1，a5－a3＝－＝，故B错误；对于C，Sn＝＝＝2×n－2，S4＝2×－2＝，故C正确；对于D，Sm＋2＝2×m>0，当m≥2时，＝，所以{Sm＋2}是公比为的等比数列，故D错误． 7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2＝3，S3＝13，则＋＝________． 解析：＋＝＝＝＝. 答案： 8．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，其前n项和为Sn.若S3>S4，则q的取值范围为________． 解析：依题意，S3>S4，即S4－S3＝a4＝a1q3＝q3<0，所以q<0. 答案：(－∞，0) 9．若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋p(p为常数)，且{an}的公比为q，则p＋q＝________． 解析：在等比数列{an}中，由Sn＝2n＋p，得a1＝S1＝2＋p，a2＝S2－S1＝22＋p－2－p＝2，a3＝S3－S2＝23＋p－22－p＝4.因此公比q＝＝＝2，2＋p＝a1＝＝1，解得p＝－1.此时Sn＝＝2n－1，符合题意，所以p＋q＝－1＋2＝1. 答案：1 10．(13分)(2026·上海月考)设{an}是等比数列，a1＝1，a3＝2a2. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a2 026.(7分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题知a1q2＝2a1q，解得q＝2，则{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝2n-1. (2)结合(1)可知，{a2n}是首项为a2＝2，公比为q2＝4的等比数列．由等比数列的求和公式，得a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝＝＝. 11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝2n+1＋a，则a1a2－a2a3＋a3a4－…－a8a9＋a9a10＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由an＝Sn－Sn－1＝2n+1＋a－2n－a＝2n(n≥2)，因为{an}为等比数列，a1＝4＋a，a2＝4，a3＝8，所以＝，即＝2，可得a＝－2，a1＝2，易知a1a2，－a2a3，a3a4，…，－a8a9，a9a10构成首项为8，公比为－4的等比数列，所以a1a2－a2a3＋a3a4－…－a8a9＋a9a10＝＝. 12．(多选)已知公比q不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a8，a5成等差数列，下列说法正确的是(　　) A．q3＝－ B．若a1＝2，则a4＝1 C．S3，S9，S6成等差数列 D．若a1<0，则数列{an}的最大项为a2 解析：选ACD.对于A，由a2，a8，a5成等差数列，得2a8＝a2＋a5，即2a1q7＝a1q＋a1q4.因为a1≠0，q≠0，所以2q6－q3－1＝0.令t＝q3(t≠1)，方程变为2t2－t－1＝0，解得t＝－或t＝1(舍去)，即q3＝－，故A正确；对于B，若a1＝2，则a4＝a1q3＝2×＝－1≠1，故B错误；对于C，S3＝＝，S6＝＝＝＝，S9＝＝＝＝.因为2S9＝2×＝，S3＋S6＝＋＝，所以2S9＝S3＋S6，故S3，S9，S6成等差数列，故C正确；对于D，若a1<0，由q3＝－得q＝－<0.等比数列的项为：a1<0，a2＝a1q>0，a3＝a2q<0，a4＝a3q>0，…可见偶数项为正，奇数项为负，且|q|＝<1，所以偶数项的绝对值逐渐减小，即a2>a4>a6>…，因此数列的最大项为a2，故D正确． 13．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝3，an＋1＝Sn，则Sn＝________． 解析：方法一：因为a1＝3，an＋1＝Sn，所以当n＝1时，a2＝S1＝a1＝3；当n≥2时，Sn－1＝an，所以an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，得an＋1＝2an(n≥2)，所以数列{an}从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列．所以当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝3＋＝3×2n-1.当n＝1时，S1＝a1＝3，满足上式，所以Sn＝3×2n-1. 方法二：由an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn，得Sn＋1＝2Sn，又a1＝S1＝3，所以{Sn}是首项为3，公比为2的等比数列，得Sn＝3×2n-1. 答案：3×2n-1 14．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n，n∈N*. (1)求{an}的通项公式；(8分) (2)若等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a3，求{bn}的前n项和Tn.(5分) 解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n，n∈N*，当n＝1时，a1＝S1＝12＋3×1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2.又因为a1＝4＝2×1＋2，符合an＝2n＋2，所以{an}的通项公式为an＝2n＋2，n∈N*. (2)设等比数列{bn}的公比为q.因为等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a3，即b1＝6，b2＝8，所以q＝＝，所以Tn＝＝18×n－18，所以{bn}的前n项和Tn＝18×－18. 15．(15分)(2026·苏州月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝2an. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)求使得不等式a＋a＋…＋a<5×2n+1成立的最大的n的值．(9分) 解：(1)因为Sn＋1＝2an，所以当n≥2时，Sn－1＋1＝2an－1，两式作差得an＝2(an－an－1)，即an＝2an－1.当n＝1时，S1＋1＝2a1，得a1＝1≠0，则由以上递推关系可知，an≠0，故＝2，故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n-1. (2)由(1)可知，a＝4n-1，则a＋a＋…＋a＝40＋41＋…＋4n-1＝＝，由a＋a＋…＋a<5×2n+1，得<5×2n+1，即22n－30×2n－1<0，则(2n－15)2<226，即－＋15<2n<＋15.因为15<<16，所以30<＋15<31，故使得不等式a＋a＋…＋a<5×2n+1成立的最大的n的值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $