4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第一课时　等比数列的概念及通项公式 课标要求 情境导入 1.通过生活中的实例，理解等比数列与等比中项的概念（数学抽象）. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9，92，93，…，98.这个数列有何特点？ 知识点一　等比数列的概念 问题　观察下面两个问题中的数列，回答后面的问题： （1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8，…； （2）－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂，…，依次排成一列数：－，，－，…. 类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（1），＝2，＝2，＝2，…， 对于（2），＝－，＝－，…. 共同特征为从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 1.概念：一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一个　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 2.符号表示：＝q（n∈N*且n≥2）或＝q（n∈N*）. 【微思考】 常数列是不是等比数列？ 提示：不一定是，只有非零常数列才是等比数列，且此时公比为1. 判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； 解：不是等比数列. （2）10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1. （3），（）2，（）3，（）4，…； 解：是等比数列，公比为. （4）1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列. （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论. 训练1　〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足＝2，＝2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，＝q（q≠0），其中n∈N* 解析：ABC　A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 知识点二　等比中项 问题　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ 提示：不一定，若－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝　ab　. 【微思考】 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示：不一定.当G2＝ab时，a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0. （1）已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（　C　） A.6 B.－6 C.±6 D.±12 解析：因为a＝＝，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选C. （2）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b＝　3　. 解析：因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2＝1×9，解得b＝3或b＝－3，当b＝－3时，不满足1×b＝a2，故舍去；当b＝3时，经检验符合题意，所以b＝3. 规律方法 等比中项应用需注意的问题 （1）由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项； （2）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项； （3）a，G，b成等比数列等价于G2＝ab（ab＞0）. 训练2　已知等比数列{an}的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则a＝　－4　. 解析：由题意知，（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，{an}的前三项为－1，0，0，不满足等比数列的定义，故舍去；当a＝－4时，{an}的前三项为－4，－6，－9，满足题意，综上，a＝－4. 知识点三　等比数列的通项公式 问题　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由等比数列的定义可知＝q（n∈N*且n≥2）. 法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1，当n＝1时，上式也成立. 法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3，……由此可得an＝a1（n≥2），当n＝1时，上式也成立. 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　. （链接教材P29例1）在等比数列{an}中. （1）若a1＝3，q＝－2，求a6； 解：因为数列{an}为等比数列，且a1＝3，q＝－2，所以a6＝a1q5＝3×（－2）5＝－96. （2）若a3＝20，a6＝160，求a1和q； 解：由题可知解得 （3）若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：因为 由得q＝，所以a1＝32.又an＝1，所以32×（＝1，即26－n＝20，解得n＝6. 规律方法 关于等比数列基本量的运算 （1）a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以求出； （2）等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q，知三求一，解题时通常列方程（组）来解决. 训练3　（1）在等比数列{an}中，an＝625，n＝4，q＝5，则a1＝　5　； 解析：由通项公式an＝a1qn－1得a1＝＝＝5. （2）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数列{an}的通项公式为　an＝2n　. 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n. 1.下列数列为等比数列的是（　　） A.2，22，3×22，… B.，，，… C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D.0，0，0，… 解析：B　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. 2.数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　） A.8 B.±8 C.－8 D.1 解析：A　a5＝a1q4＝4，a9＝a1q8＝16，两式相比得q4＝4，q2＝2，a7＝a1q6＝a1q4·q2＝a5q2＝4×2＝8. 3.在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为　±4　. 解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±＝±4. 4.在等比数列{an}中. （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：（1）∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. （2）∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4， ∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n. （时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7＝（　　） A.32 B.－32 C.64 D.－64 解析：D　由题意知，a4＝a1q3＝－q3＝8，所以q＝－2，所以a7＝a1q6＝－（－2）6＝－64.故选D. 2.若b≠0，则“b＝”是“a，b，c成等比数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由b＝，得b2＝ac，又b≠0，所以a，b，c成等比数列.若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝±，所以“b＝”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件.故选A. 3.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（　　） A.607.5 B.608 C.607 D.159 解析：C　因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1＝5×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝＝607. 4.〔一题多解〕在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是（　　） A.1 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－2 解析：C　法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 法二　因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 5.已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝（　　） A.2n＋1 B.2n＋2 C.n＋1 D.n＋2 解析：D　因为a2，a4，a7成等比数列，故＝a2a7，又因为等差数列{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2. 6.〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则（　　） A.q＝2 B.an＝2n C.18是数列中的项 D.an＋an＋1＜an＋2 解析：ABD　由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. 7.〔多选〕已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第4项可能是（　　） A. B.2 C.4 D.8 解析：AD　不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前三项为1，2，4，则第4项为8，若数列前三项为4，2，1，则第4项为. 8.若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝　2　. 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2. 9.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an＝　×3n－1（答案不唯一）　. 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1，∴a1＜，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. 10.（13分）在等比数列{an}中. （1）若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； （2）已知a1a2＝2，a3a4＝32，a1＞0，q＞0，求公比q和通项公式； （3）若an＋4＝a4，求公比q. 解：（1）设等比数列{an}的公比为q， a1＝5，a2＝－15，a3＝45， 则q＝＝－3，所以a5＝a1q4＝5×（－3）4＝405. （2）因为a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3， 所以由a1a2＝2，a3a4＝32，得 又a1＞0，q＞0，解得所以an＝2n－1. （3）因为an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，所以qn＝1， 所以当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 11.（2026·江苏无锡教学质量调研）在正项等比数列{an}中，a6a8＝64，且a7，，10成等差数列，则a9的值为（　　） A. B.18 C. D.24 解析：B　由题意得an＞0，a6a8＝＝64，则a7＝8，又a7，，10成等差数列，所以＝a7＋10＝18，则a10＝27，设等比数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，则a9＝a7q2＝8×（）2＝18. 12.已知数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，则＋＋＋＝（　　） A.255 B.85 C.16 D.15 解析：B　由题意得bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以b1＝1，b2＝3，b3＝5，b4＝7，an＝1×2n－1＝2n－1，a1＝1，a3＝4，a5＝16，a7＝64，所以＋＋＋＝a1＋a3＋a5＋a7＝1＋4＋16＋64＝85. 13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53＝　　. 　　 　　　　 … 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（）2＝. 14.（15分）在各项均为负数的数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝. （1）求数列{an}的通项公式； （2）－是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解：（1）因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝， 所以（）5＝（）3，由于各项均为负数， 故a1＝－，an＝－（）n－2（n∈N*）. （2）设an＝－，则－＝－（）n－2，（）n－2＝（）4， 所以n＝6， 所以－是该数列的项，为第6项. 15.（15分）已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列； （2）这个数列中的任一项是其后第5项的； （3）数列中任两项之积仍为数列中的项. 证明：（1）任取数列中的相邻两项an＝1，an＋1＝1， 则＝＝1，且a1＝1＝1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. （2）任取数列中的一项am＝1， 则其后第5项应为am＋5＝1. 则＝＝1＝10－1＝，得证. （3）任取数列中两项＝1，＝1， 则＝1·1＝1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2， ∴n1＋n2－2＞0，且n1＋n2－2∈N*， ∴符合已知数列中的项的特征， 即为数列中的项. 学科网（北京）股份有限公司 $