专题4.4 数列求和（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.4 数列求和（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 3 【题型3 倒序相加法求和】 6 【题型4 错位相减法求和】 9 【题型5 裂项相消法求和】 12 【题型6 分组（并项）法求和】 15 【题型7 放缩裂项求和】 17 【题型8 数列新定义中的求和问题】 21 考点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：. 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 【答案】C 【解题思路】根据等差数列前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出和即可求出. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则由题意，得，解得， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【解题思路】由等差数列的性质及前项和求解. 【解答过程】因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)100 【解题思路】（1）根据等差数列的性质，即可求解； （2）首先求首项，再代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【解答过程】（1）由等差数列的性质可知； （2）设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. 【变式1-3】（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【答案】A 【解题思路】首先根据已知条件求出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出. 【解答过程】根据题意，已知，且各项均为整数， 得到， 解得．则． 故． 故选：A． 【变式2-2】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）利用对数性质将等式转化为，然后利用等比数列定义证明等比数列； （2）由已知求出公比和首项，再用等比数列求和公式得. 【解答过程】（1）证明：因为， 所以，所以， 因为，所以，， 所以为等比数列. （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 【变式2-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【解答过程】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 考点2 数列求和的几种常用方法 知识点2 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型3 倒序相加法求和】 【例3】（25-26高二·全国·寒假作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【答案】B 【解题思路】先根据韦达定理得到，利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【解答过程】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得 ， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 【变式3-2】（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 【变式3-3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【解答过程】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【题型4 错位相减法求和】 【例4】（25-26高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【解答过程】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 【变式4-1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出. 【解答过程】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二下·山东日照·期末）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）已知与的关系，结合等比数列的定义求通项公式； （2）观察，应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求和. 【解答过程】（1）当时，，即，解得， 当时，由，得， 所以，即， 所以，，所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）由（1）知，又，所以， 所以①， 则②， ①② 得， ， ， ， ， ， 所以. 【变式4-3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2)． 【解题思路】（1）令，将其代入递推式，求出数列的通项公式，即可求证； （2）由（1）求得数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得其前项和． 【解答过程】（1）证明：设数列的通项为， 则，则． 将代入递推式， 得， 化简得，则． 因为，所以． 由此可知，对任意正整数，都有，即， 故数列是常数列，且． （2）由（1）得，故， 设①， 则②， 用，得， 则，由此得． 【题型5 裂项相消法求和】 【例5】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由递推关系求出，再由裂项相消法求解数列的前10项和即可. 【解答过程】因为， 所以， 两式相减可得，即，又也适合，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【解答过程】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【解答过程】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 ， 因为，所以，所以. 【变式5-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将取倒数，令，可得为等差数列，求解即可. （2）由（1）可得，，通过裂项相消求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以令，所以，所以为等差数列，因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以. （2），所以， 所以， 所以. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（2026·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【解答过程】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． （2）因为，所以， 则. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的前项和公式、等比中项性质列方程组求解即可. （2）通过分组求和法，结合等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为（）. 由题意知，即，解得， 所以， 故数列的通项公式为：. （2）由题意得. 所以 . 故数列的前项和为：. 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）可根据等差数列的定义，通过计算 是否为常数即可证明； （2）由（1）得到 的通项公式，再利用累加法求出 的通项公式； （3）先对 进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【解答过程】（1）证明：已知，移项可得， 则， 当时，， 因为（常数），且首项， 所以是以4为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知是以4为首项，4为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得， 当时，， 将代入上式可得：， ， 当时，，上式也成立， 所以数列的通项公式为； （3）证明：因为， 所以， 当时，，不等式成立； 当时，， ， 所以. 【变式7-1】（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）对等差数列，利用已知项的值列方程组解出首项和公差，对等比数列，利用，，成等差数列的条件建立方程求解出公比. （2）由（1）求解出数列的通项公式，并采用错位相减法求解. （3）将具体表达为，通过放缩法将求和转化为可裂项相消的形式，从而证明不等式. 【解答过程】（1）设首项为，公差为，因为， 即，化简可得：， 因为，即，则，解得，所以， 设首项为，公比为，则，， 因为，，成等差数列， 所以，即，求解得：， 所以. （2）由（1）可知，数列的通项公式为，所以，， 利用错位相减法可得： ， 两式相减可得： ， 其中，，代入上式可得： ， 所以. （3）证明：由（1）可知，，则，所以， 即，因为 所以，对，有成立， 所以，， 两边同时乘以，则， 即，证明完毕. 【变式7-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）根据错位相减法求和即可； （3），当时，放缩可得，据此求和即可得证. 【解答过程】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2）因为, 则    ①    ② ①②可得： ， ； （3）证明：由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时， ， 因为，所以，即. 综上所述，. 【变式7-3】（25-26高二下·黑龙江·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式； （2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得； （3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证. 【解答过程】（1）当时，， 而满足上式， 所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 令， 则， ， 两式相减，得 ， 故. 而， ， 两式相减，得， 故， 故. （3）证明：由题知 ， 所以 ，即命题得证. 【题型8 数列新定义中的求和问题】 【例8】（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【解答过程】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）若数列对于任意的，满足（为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，使得数列为“型数列”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，，当时和当时，分别求解，可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【解答过程】（1）因为为“型数列”，所以， 即，所以数列是等差数列， 又，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 则，两式相减，得， 当时，，所以， 由得，， 当时，，所以， 综上可得， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，因此. （2）由（1）可得，， 设， 当为正奇数时，， 故数列的前项的和为 . （3）不存在，理由如下： 由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以， 则， 假设存在实数，使得数列为“型数列”，则， 即， 整理得， 所以解得，不满足为非零常数， 因此不存在实数，使得数列为“型数列”. 【变式8-3】（25-26高二上·浙江·期末）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． (1)当时，求的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用积生长构造出等比数列，得到的表达式进行求解； （2）结合题意构造数列证明即可； （3）通过构造数列得到数列的通项公式，再求出的通项公式，整理得到，利用错位相减法和公式法对数列求和即可. 【解答过程】（1）设第次“积生长”后共插入项，即， 共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项， 则，可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故， 所以当时，； （2）证明：设第次“和生长”后得到的数列各项之和为， 则第次“和生长”后，新插入的各项之和为， 故， . 而，是以为首项，为公比的等比数列； （3）设第次“积生长”后得到的数列各项之积为， 则. 第次“积生长”后，新插入的各项之积为 ， 故， 因此， ， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， 由（2）可得， ， 记， 则， ， ， 则数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 数列求和（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 1 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 2 【题型3 倒序相加法求和】 4 【题型4 错位相减法求和】 5 【题型5 裂项相消法求和】 6 【题型6 分组（并项）法求和】 6 【题型7 放缩裂项求和】 7 【题型8 数列新定义中的求和问题】 9 考点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：. 【题型1 利用等差数列的前n项和公式求和】 【例1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A． B．-16 C．-25 D．-36 【变式1-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【变式1-2】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【变式1-3】（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【题型2 利用等比数列的前n项和公式求和】 【例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【变式2-1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【变式2-2】（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【变式2-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 考点2 数列求和的几种常用方法 知识点2 数列求和的几种常用方法 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【题型3 倒序相加法求和】 【例3】（25-26高二·全国·寒假作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【变式3-1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【变式3-3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【题型4 错位相减法求和】 【例4】（25-26高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·山东日照·期末）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【变式4-3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【题型5 裂项相消法求和】 【例5】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【变式5-3】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型6 分组（并项）法求和】 【例6】（2026·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【变式6-1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【题型7 放缩裂项求和】 【例7】（25-26高二上·陕西安康·期末）已知数列满足. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)证明：. 【变式7-1】（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 【变式7-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【变式7-3】（25-26高二下·黑龙江·期中）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【题型8 数列新定义中的求和问题】 【例8】（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【变式8-1】（25-26高二下·安徽亳州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）若数列对于任意的，满足（为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，使得数列为“型数列”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式8-3】（25-26高二上·浙江·期末）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． (1)当时，求的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $