4.3.1 第二课时 等比数列的判定及性质-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第二课时　等比数列的判定及性质 课标要求 情境导入 1.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系（数学抽象）. 2.掌握等比数列的判断及证明方法（逻辑推理）. 3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算（逻辑推理、数学运算）. 　　在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，推理使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列的性质. 知识点一　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 问题　（1）观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.因此等比数列{an}的图象是函数f（x）＝·qx（x∈R）图象上的一些孤立的点. （2）有人说，等比数列的通项公式与指数函数一样，所以当q＞1时，数列递增；0＜q＜1时，数列递减，你认为正确吗？ 提示：不对.比如q＞1的数列：－1，－2，－4，－8，…为递减数列；0＜q＜1的数列：－，－，－，…为递增数列. 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （1）当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），n∈N*； （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列； ④当q＜0时，等比数列{an}为　摆动数列　. 提醒：（1）q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点；（2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性. （1）根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是（　C　） A.an＝n B.an＝ C.an＝2－n D.an＝log2n 解析：等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. （2）下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述正确的是（　D　） A.q＞1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q＞1 C.0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D.q＞1⇒/{an}为递增数列，且{an}为递增数列⇒/q＞1 解析：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，q＝∈（0，1），B、C不正确，D正确. 规律方法 1.具备“an＝kqn（k≠0，q≠0）”形式，如an＝2n－1，an＝3（）n＋2为等比数列. 2.等比数列的单调性由a1和q共同决定，即a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1，{an}递增；a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，{an}递减. 训练1　（1）已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足（　D　） A.q＜－1 B.－1＜q＜0 C.q＞1 D.0＜q＜1 解析：{an}是等比数列，故an＝a1qn－1，当q＜0时，{an}各项符号正负间隔，不符合题意，故q＞0，显然q≠1，由a2＝a1q＜0得a1＜0，又{an}是递增的等比数列，故{qn－1}为递减数列，由指数函数的单调性知0＜q＜1. （2）（2026·洛阳月考）若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q＝　　. 解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的两个实数根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝－（舍去）. 知识点二　等比数列的判定与证明 问题　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？ 提示：＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列. 判定与证明等比数列的方法 （1）定义法：＝　q　（n∈N*且n≥2，q是不为0的常数）； （2）等比中项法：＝　an－1an＋1　（n∈N*且n≥2）； （3）通项公式法：an＝　a1qn－1　＝·qn＝A·qn（A≠0）. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. （1）求证：数列{an＋n}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 【破题思维】 题目信息 信息转化 已知a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，求证{an＋n}为等比数列 联想到等比数列的定义：需证明为常数 求数列{an}的通项公式 联想等比数列的通项公式，先求an＋n，再求an 解：（1）证明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an＋n），易知an＋n≠0， ∴＝2，且a1＋1＝2， ∴数列{an＋n}是首项与公比都为2的等比数列. （2）由（1）得an＋n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－n. 规律方法 判断一个数列是等比数列需注意 （1）证明{an}为等比数列常用定义法； （2）用定义法证明时，和中的n的范围不同. 训练2　（1）已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为（　　） A.an＝2n B.an＝2n－1 C.an＝n D.an＝2n－n 解析：B　由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝＝2，所以an＝2n－1. （2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.证明：数列{an}是等比数列. 证明：因为Sn＝（an－1），所以Sn＋1＝（an＋1－1）， 两式相减，得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an. 又当n＝1时，a1＝S1＝（a1－1），所以a1＝－. 所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列. 知识点三　等比数列的性质 问题　（1）类比等差数列中“若m，n∈N*， 则an＝am＋（n－m）d”，能否找到等比数列中任意两项an，am的关系呢？ 提示：类比可得an＝amqn－m.由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q（n－1）－（m－1）＝qn－m，即an＝amqn－m. （2）类比等差数列中“若m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*，则am＋an＝ak＋al”，能否发现等比数列中相似的关系呢？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝qk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则： （1）an＝am·　qn－m　（n，m∈N*）； （2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则　aman＝apaq　； 特别地，①若m＋n＝2r，则aman＝，m，n，r∈N*；②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）； （3）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差数列，则am，an，ap成等比数列. 已知{an}为正项等比数列. （1）若a5＝8，a7＝2，求an； 解：由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an＞0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×（）n－5＝（）n－8. （2）若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 解：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝（a3＋a5）2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. （3）若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＋log3a10的值. 解：根据等比数列的性质， 得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＋log3a10＝log3（a1a2…a9a10）＝log395＝10. 规律方法 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 训练3　（1）已知等比数列{an}中，a1a2a3＝2，a2a3a4＝8，则a9＝（　B　） A.28 B.32 C.36 D.40 解析：由数列{an}为等比数列，则a1a2a3＝＝2，a2a3a4＝＝8，则＝q3＝＝4，则＝（a3·q6）3＝·q18＝8×46＝23×163＝323，所以a9＝32. （2）在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（　A　） A.或 B. C.或 D.或 解析：由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝. 1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.8 解析：A　由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2. 2.在等比数列{an}中，若a2a6＋＝π，则a3a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为a2a6＝＝a3a5，所以a3a5＝. 3.在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（）n}的公比为，是递减数列；等比数列{－（）n}的公比为，是递增数列. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列. 解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）.当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2； 当a≠－1时，数列{an}不是等比数列. （时间：60分钟　满分：104分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，则a3＝（　　） A.4 B. C. D.2 解析：A　由等比数列的性质可得＝a9a3，得a3＝4. 2.已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 解析：D　根据等比数列定义由a2＋4a4＝4a3可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝.故选D. 3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（　　） A.a1＞0，q＞1 B.a1（q－1）＞0 C.（a1－1）q＞0 D.（a1－1）q＜0 解析：B　依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C、D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. 4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（　　） A.9 B.－9 C.±9 D.18 解析：A　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9. 5.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝”是“数列{an}是等比数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　当t＝时，由a1＝1得a2＝＋＝1，a3＝＋＝1，…，an＝1，所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an}是等比数列，则a2＝ta1＋t＝2t，a3＝ta2＋t＝2t2＋t，又因为a1，a2，a3也成等比数列，所以＝a1a3，即4t2＝2t2＋t，又t≠0，所以t＝，此时an＝1（n∈N*），满足题意，必要性也成立.所以“t＝”是“数列{an}是等比数列”的充要条件.故选C. 6.〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　　） A.ak·ak＋1＞0 B.ak·ak＋2＞0 C.ak·ak＋1·ak＋2＞0 D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0 解析：BD　对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D. 7.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝　1 536　. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 8.已知两个等比数列{an}，{bn}的前n项积分别为An，Bn，若＝3，则＝　243　. 解析：根据题意得，A5＝a1a2a3a4a5＝，B5＝b1b2b3b4b5＝，故＝＝35＝243. 9.在等比数列{an}中，a2·a10＝6，a2＋a10＝5，则＝　或　. 解析：由a2·a10＝6，a2＋a10＝5，得a2和a10为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2，设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝＝或. 10.（13分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，＝9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式. 解：（1）设数列{an}的公比为q， 由＝9a2a6得＝9，所以q2＝. 由已知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 11.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝（　　） A.±2 B.±4 C.2 D.4 解析：C　∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴（a8·a15）2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q＞0，∴a8a15＝2. 12.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a＝（　　） A. B. C. D.1 解析：B　设{an}的公比为q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且＝b1b3⇒（2＋aq）2＝（1＋a）·（3＋aq2）⇒aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根.由{an}唯一，知方程必有一根为0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝. 13.〔一题多解〕设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为　64　. 解析：法一　设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝（）n－4，从而a1a2…an＝（＝（，当n＝3或n＝4时，［（n－）2－］取到最小值－6，此时（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64. 法二　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 14.（15分）已知数列{an}满足an＞0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列. （1）证明：{an}为等比数列； （2）若a5＝2，a7＝8，求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列， 所以2lg an＋1＝lg an＋lg an＋2， 所以＝anan＋2， 又an＞0，所以数列{an}为等比数列. （2）由（1）可设等比数列{an}的公比为q，且q＞0. 由已知得 解得 因为q＞0，所以q＝2， 所以an＝×2n－1＝2n－4. 15.（15分）设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围. 解：（1）设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝（舍去）， 所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*. （2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n， 由bn＞bn＋1， 得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜（n＋1）min＝2， 故实数λ的取值范围为（－∞，2）. 学科网（北京）股份有限公司 $