4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.3.1　等比数列的概念 第三课时　等比数列的综合应用 第四章　数列 1 课标要求 1.能运用等比数列的性质简化计算（数学运算）. 2.能利用等差、等比数列的通项公式求解简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）. 3.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题（数学建模）. 目 录 CONTENTS 知识点一　灵活设项求解等比数列 知识点二　等比数列的实际应用 提能点　由等比数列衍生的新数列 小结与自测 教材挖掘　等差、等比数列转化 课时作业 知识点一　灵活设项求解等比数列 目录 4 〔一题多解〕有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为 ，a，aq， 则 ·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为 ，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ . 故所求的四个数为9，6，4，2. 数学·选择性必修第二册 目录 法二　设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第1个数为 （4－d）2， 由题意知 （4－d）2×（4－d）×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求得的四个数为9，6，4，2. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 巧设等比数列项的方法 （1）若三个数成等比数列，常设为 ，a，aq.推广到一般，奇数个数成 等比数列，可设为…， ， ，a，aq，aq2，…； （2）四个符号相同的数成等比数列，常设为 ， ，aq，aq3.推广到一 般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…， ， ， ，aq， aq3，aq5，…； （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a， aq，aq2，aq3. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差 数列，则这四个数的和是 ⁠. 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4， aq3－13成等差数列.即 整理得 解得 因此这四个数分别是3，6，12，24， 其和为45. 45 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等比数列的实际应用 目录 9 （链接教材P31例4）从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升， 然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去， 问： （1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ 数学·选择性必修第二册 目录 解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的 浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－ ，第n＋1次操作 后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－ ）， 所以{an}是首项为a1＝1－ ，公比为q＝1－ 的等比数列，所以an＝a1qn －1＝（1－ ）n， 即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－ ）n. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？ 解：当a＝2时，由an＝（ ）n＜ ，解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 等比数列实际应用的求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出 未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　某公司的销售额下跌严重，从2025年的7月销售收入128万元，到9 月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？ 若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？ 解：设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售收入构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1（1－x）， a3＝a1（1－x）2＝128（1－x）2＝32，解得x＝50%. 设an＝8，an＝128（1－50% ＝8，解得n＝5， 所以从2025年的7月算起第5个月，即2025年的11月该公司的销售收入跌至 8万元. 数学·选择性必修第二册 目录 提能点　由等比数列衍生的新数列 目录 15 问题　若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋2}呢？ 提示：{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列. 证明：设{an}的公比为q，则 ＝ ＝q，即{2an}仍然是公比为q的 等比数列；又 ＝ ，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an ＋2}一般不是等比数列. 设{an}的公比为q，则 ＝ ＝q，即{2an}仍然是公比为q的 等比数列；又 ＝ ，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an ＋2}一般不是等比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}，{ }，{｜an｜}， { }，{anan＋1}都是等比数列，公比分别为 ⁠. 2. 若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn} 与{ }也都是等比数列，公比分别为 和 　 　. 3. 在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N*）取出一项，按原来的顺序排 列，所得的新数列仍为等比数列. q， ，｜q｜，q2，q2　 pq　 　 4. 在数列{an}中，依次每k项的和（或积）构成公比为qk（或 ）的等 比数列. 数学·选择性必修第二册 目录 （1）〔多选〕如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中一定是等 比数列的是（　　） A. { } B. { } C. {an·an＋1} D. {an＋an＋1} 解析：取等比数列an＝（－1）n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D不一定是；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. √ √ √ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在4与 之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：依题意，a1＝4，a5＝ ， 由等比数列的通项公式，得 ＝4×q4，解得q＝± . 当q＝ 时，插入的3个数分别为4× ＝2，2× ＝1，1× ＝ ；当q＝－ 时，插入的3个数分别为4×（－ ）＝－2，（－2）×（－ ）＝1，1× （－ ）＝－ . 因此，插入的3个数分别为2，1， 或－2，1，－ . 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 1. 证明新数列是否为等比数列时常可借助定义法. 2. 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0， 主要是针对q＜0的情况. 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　（1）已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝3，a3＋a4＋a5＝5，则 a5＋a6＋a7＝（　D　） A. B. C. D. 解析： {an＋an＋1＋an＋2}为等比数列，则（a3＋a4＋a5）2＝（a1＋a2＋ a3）（a5＋a6＋a7），可知a5＋a6＋a7＝ ＝ . D 数学·选择性必修第二册 目录 （2）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积 （i＝1，2，…），则数列{An}为等比数列的充要条件是（　D　） A. {an}是等比数列 B. a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C. a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D. a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比 相同 D 数学·选择性必修第二册 目录 解析：因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积（i＝1，2，…），所以Ai＝ aiai＋1（i＝1，2，3，…，n，…），则数列{An}的通项公式为An＝anan＋ 1.根据等比数列的定义，数列{An}（n＝1，2，3，…）为等比数列的充要 条件是 ＝ ＝ ＝q（常数且大于0）. 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 24 数学·选择性必修第二册 目录 1. 已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，则下列数列不是等比数列的是 （　　） A. {3an} B. { } C. {2an－3bn} D. {2an·3bn} 解析：　易证得A、B、D都是等比数列. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为 ⁠. 解析：由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14， 故 ＝ ＝q7. q7 数学·选择性必修第二册 目录 3. 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石， 甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 ⁠. 解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得 ，28，28q 石，∴ ＋28＋28q＝98，∴q＝2或 .又0＜q＜1，∴q＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ ，求这四 个数. 解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则 解得 或 故所求四个数依次为－ ， ，－2，8或8，－ 2， ，－ . 数学·选择性必修第二册 目录 教材挖掘　等差、等比数列转化 目录 30 由教材P32例5我们可以看出：将等差数列{an}的每一项作为同底数的指数 所得到的新数列是等比数列；而将正项等比数列{an}的每一项取同底数的 对数所得到的新数列是等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 【问题探究】 已知b＞0且b≠1，如果数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{ } 是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正数且公比为q的等比数 列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？ 提示：（1） ＝ ＝bd，所以数列{ }是公比为bd的等比 数列； （2）logban＋1－logban＝logb ＝logbq，所以数列{logban}是公差为 logbq的等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 【迁移应用】 1. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝ log2an，则数列{bn}的通项公式为 ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝ ＝28.∵数列{an}是各 项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝ ＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1. 又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2（n≥2），b1＝log2a1＝1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1. bn＝2n－1 数学·选择性必修第二册 目录 2. 数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1（n∈N*），若a1＋a3＋…＋ ＝2n，求log2（a2＋a4＋a6＋…＋ ）的值. 解：由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，即log2 ＝－1， 得 ＝ ， ∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为 ， ∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝ （a1＋a3＋…＋a2n－1）＝2n－1，则log2（a2＋a4＋ a6＋…＋a2n）＝n－1. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：102分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 35 1. 由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列 a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　） A. 等差数列 B. 以q为公比的等比数列 C. 以q2为公比的等比数列 D. 以2q为公比的等比数列 解析：因为 ＝ ＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的 说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4 km的正方形 纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为a1，第2次对折后的纸 张厚度为a2，…，以此类推，设纸张未折之前的厚度为a，则a13＝（　　） A. 212a B. 412a C. 213a D. 413a 解析：由题意数列{an}是等比数列，公比是2，且a1＝2a，所以a13＝2a×212＝213a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1， a3，a2成等差数列，则 ＝（　　） A. ＋1 B. －1 C. 4＋2 D. 4－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，因为a1， a3，a2成等差数列，所 以2× a3＝a1＋a2，则 a1q2＝a1＋a1q，又因为a1≠0，所以 q2－q－1＝ 0，解得q＝1± ，而数列{an}的各项均为正数，所以q＝1＋ .所以 ＝q2＝（1＋ ）2＝4＋2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知等比数列{an}中，a2＝ ，a5＝ ，则数列{log2an}的前10项和为 （　　） A. －55 B. －33 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2＝ ，a5＝ ，可得a2q3＝ ×q3＝ ，解得q＝ ，又由a1q＝a1× ＝ ，解得a1＝ ，所以an＝（ ）n，则log2an＝log2（ ）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列{log2an}的前10项之和为S10＝ ＝－55. C. 33 D. 55 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30 ＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（　　） A. 210 B. 220 C. 216 D. 215 解析：设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得 A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 下列说法正确的是（　　） A. 若 ＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列 B. 若anan＋2＝ ，n∈N*，则{an}为等比数列 C. 若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列 D. 若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列 解析：由 ＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得 ＝2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之 和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（　　） A. 矩形块中所填数字构成的是以1为首项， 为公比的等比 数列 B. 由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 C. 按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 D. 由大到小排列， 是第七个矩形块中的数字 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题意可得{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，∴an＝ ×（ ）n－1＝ ，故A中结论错误；a8＝ ＝ ，故B中结论正确；第n－1个矩形块中所填数字是 ，故C中结论正确；a7＝ ＝ ，故D中结论正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 已知三个圆柱的体积成以10为公比的等比数列.第一个圆柱底面的直径 为65 mm，第二、三个圆柱底面的直径均为325 mm，第三个圆柱的高为 230 mm，则第一、二个圆柱的高分别为 和 ⁠. 解析：设第一个圆柱的高为h1，第二个圆柱的高为h2，则 ＝ ＝10，故h2＝23 mm，h1＝ mm. mm 23 mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 在 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个 数的积为 ⁠. 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即 ，a，b，c，8成等比数列， 由等比数列的性质可得b2＝ac＝ ×8＝4，因为a2＝ b＞0，所以b＝2 （舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （10分）〔一题多解〕有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成 等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这 四个数. 解：法一　设前三个数分别为 ，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq －a.由题意得 解得q＝2或q＝ . 当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18； 当q＝ 时，a＝ ，这四个数为 ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为 ， 因此这四个数为 ，a－d，a，a＋d. 由题意得 解得 或 故这四个数为3，6，12，18或 ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 已知数列{an}为正项递增等比数列，a1＋a2＋a3＝ ， ＋ ＋ ＝ ，则{an}的公比q＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析： 　由题意得a1＞0，q＞1，由a1＋a2＋a3＝ ， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ，得 ＝ ，所以a2＝3（a2＝－3舍去），所 以a1＋a3＝ ＋3q＝ －3＝ ，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2（q ＝ 舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公 比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的 是（　　） A. 0＜q＜1 B. a7＝1 C. K9＞K5 D. K6与K7均为Kn的最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：对于B，由K6＝K7，得a7＝ ＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝ ＞1，则q＝ ∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，因为a7＝1，所以a8＜1，则 ＝a6a7a8a9＝（a7a8）2＝ ＜1，所以K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 设有4项的数列{an}的前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数 列，其和为6，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－ d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项 为 ，∴数列{an}为 ，2－d，2，2＋d.∴m＝ ＋2－d＋2＝ d2－3d＋6＝ （d－3）2＋ ≥ . ［ ，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值； 解：设购买新车n年后，这辆车的价值为an万元， 依题意a1＝13.5（1－10%）， n＋1年后车的价值an＋1＝（1－10%）an＝0.9an， 由此知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5×0.9，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9×0.9n－1＝13.5×0.9n， 所以n年后车的价值为an＝13.5×0.9n万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：由（1）得a4＝13.5×0.94≈8.9（万元）， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋ 1）Sn＝ ，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由nSn＋1－（n＋1）Sn＝ ，得 － ＝ ， ∴数列{ }是首项为 ＝1，公差为 的等差数列， ∴ ＝1＋ （n－1）＝ （n＋1），∴Sn＝ . 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n. a1＝1也适合上式，∴an＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的 值；若不存在，请说明理由. 解：由（1）知an＝n，Sn＝ . 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则 ＝ak·a4k，即［ ］2＝k·4k. ∵k为正整数，∴（2k＋1）2＝4，得2k＋1＝2或2k＋1＝－2， 解得k＝ 或k＝－ ，与k为正整数矛盾. ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $