4.2.1 第2课时 等差数列的判定及性质-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.2.1　等差数列的概念 第二课时　等差数列的判定及性质 第四章　数列 1 课标要求 1.掌握等差数列的判定与证明的方法（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握等差数列的性质及应用（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有 16个球.通过上一节的学习我们已经知道了相邻两层球的 个数之间的规律，那么每隔一层的球的个数又有什么规 律呢？每隔二层呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　等差数列的通项公式与一次函数的关系 知识点二　等差数列的判定与证明 知识点三　等差数列的性质 小结与自测 课时作业 知识点一　等差数列的通项公式与一次函数的关系 目录 5 问题　我们知道，数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，你 认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数.由于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），故an是函 数f（x）＝dx＋（a1－d）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），点 （n，an）则是函数f（x）＝dx＋（a1－d）图象上均匀分布的孤立的 点，其中d是直线f（x）＝dx＋（a1－d）的斜率. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 等差数列的通项公式与一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f（n）＝a1＋（n －1）d＝nd＋（a1－d），n∈N*. （1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上； （2）这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加 ⁠. d　 数学·选择性必修第二册 目录 2. 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的 影响. （1）当d 0时，数列为递增数列，如图1； （2）当d 0时，数列为递减数列，如图2； （3）当d 0时，数列为常数列，如图3. ＞　 ＜　 ＝　 数学·选择性必修第二册 目录 〔多选〕下列判断正确的是（　　） A. 等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B. 若an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*），则数列{an}是等差数列 C. 等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D. 若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 解析：A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确. √ √ √ 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 　　熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋（a1－d）＝kn＋b是关于n的 一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数 列的单调性. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　（1）已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P （3，a3），Q（5，a5）的直线的斜率为 ⁠； 解析：由题意 则d＝4，所以斜率k＝d＝4. （2）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝ －4，求an. 解：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝ －4得，1＋2d＝（1＋d）2 －4，解得d＝±2，由于数列{an}为递增数列，所以d＝2，故an＝a1＋ （n－1）×2＝2n－1. 4 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等差数列的判定与证明 目录 12 问题　若数列{an}满足2a2＝a1＋a3，能说明{an}是等差数列吗？若满足 2an＝ ＋ ，n≥2呢？ 提示：由2a2＝a1＋a3可得a3－a2＝a2－a1，只能说明a1，a2，a3等差，不 代表整个数列；而2an＝ ＋ ，n≥2可以化为 －an＝an－ ，考虑n的任意性，说明an－ 为常数，符合等差数列的定义，可 以说明{an}是等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 等差数列的证明（判定）方法 （1）定义法：an－an－1＝ （n≥2）或 ＝d； （2）等差中项法：2an＝ ＋an＋1（n≥2）； （3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q为常数）. d　 an＋1－an　 an－1　 数学·选择性必修第二册 目录 〔一题多解〕在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，设bn＝ ， n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列. 证明：法一　由条件知， ＝ ＝ ＋1， 所以 － ＝1，所以bn＋1－bn＝1. 又b1＝ ＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 法一　由条件知， ＝ ＝ ＋1， 所以 － ＝1，所以bn＋1－bn＝1. 又b1＝ ＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 法二　由条件，得bn＋1－bn＝ － ＝ － ＝ ＝1.又b1＝ ＝ 1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 1. 判定一个数列是否为等差数列可以用定义法（作差法）、等差中项法及 通项公式法，前两个方法较为严谨，可用于解答题，通项公式法一般适用 于选择、填空题. 2. 要否定一个数列是等差数列，只要举出一个反例，即说明其中存在连续 三项不等差即可. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　（1）已知数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1（n∈N*），且a3＝2， a5＝8，则a7＝（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 解析：由an＋an＋2＝2an＋1得an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}为等差数列，设公差为d，所以 解得 所以a7＝a1 ＋6d＝－4＋18＝14. √ 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明{ }为等差数列，并求{an} 的通项公式. 解：由于an＋1＝2an＋2n＋1， 所以 － ＝1，又 ＝1， 所以{ }是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以 ＝1＋（n－1）×1＝n. 所以an＝n·2n. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　等差数列的性质 目录 19 问题　（1）已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公 式建立两者之间的关系吗？ 提示：由an＝a1＋（n－1）d，am＝a1＋（m－1）d，两式相减得an－ am＝（n－m）d，即an＝am＋（n－m）d. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n（m，n，p，q∈N*），那 么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋（p－1）d， aq＝a1＋（q－1）d，am＝a1＋（m－1）d，an＝a1＋（n－1）d，所 以ap＋aq＝2a1＋（p＋q－2）d，am＋an＝2a1＋（m＋n－2）d，因为 p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an. 数学·选择性必修第二册 目录 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 （1）an＝am＋ d，d＝ （m，n∈N*，且m≠n）； （2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝ ；特别地，若m＋n＝ 2p，则am＋an＝2ap ⁠； （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项 的 ，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋ ＝…； （4）下标成等差数列的项ak， ， ，…组成以 ⁠为公 差的等差数列. （n－m）　 as＋at　 （m，n，s，t，p∈N*）　 和　 md　 数学·选择性必修第二册 目录 【微思考】 在等差数列{an}中，由m＋n＝p（m，n，p∈N*）能得到am＋an＝ap 吗？由am＋an＝ap＋aq能得到m＋n＝p＋q吗？ 提示：不能；不能. 数学·选择性必修第二册 目录 角度1　an＝am＋（n－m）d的应用 〔一题多解〕已知{an}是等差数列，若a15＝8，a60＝20，则a75＝ ⁠. 解析：法一（利用an＝am＋（n－m）d）　设数列{an}的公差为d，则 a60＝a15＋（60－15）d＝8＋45d，所以d＝ ＝ ＝ ，所以a75＝a60 ＋（75－60）d＝20＋15× ＝24. 法二（基本量法）　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得 解得 故a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. 24 数学·选择性必修第二册 目录 法三（利用隔项成等差数列）　因为{an}为等差数列，所以a15，a30， a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 法四（函数法）　已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝ 8，a60＝20得 解得 所以a75＝75× ＋4＝24. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 　　灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am ＋（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担. 数学·选择性必修第二册 目录 角度2　等差数列性质的应用 （1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118， 则a4＋a10＝（　B　） A. 45 B. 50 C. 75 D. 60 解析：因为在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，所 以a2＝ ，a12＝ ，所以a4＋a10＝a2＋a12＝50. B 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32， 若am＝8，则m＝（　B　） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 解析：由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋ a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8. B 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 等差数列运算的两种常用方法及思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1， d，然后求其他量； （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r （m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝ （　B　） A. 7 B. 14 C. 21 D. 7（n－1） 解析：∵a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，∴a3＋a15＝ 2a9＝2×7＝14. B 数学·选择性必修第二册 目录 （2）〔一题多解〕已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8 ＝ ⁠. 解析：法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝ ＝ ＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8，∴b8＝2×8－8＝8. 法二　由 ＝ ＝d，得b8＝ ×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8. 8 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 32 数学·选择性必修第二册 目录 1. 在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝（　　） A. －1 B. 2 C. 4 D. 6 解析：由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 解析：　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所 以a7＝8. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. （2026·天津质检）已知数列{an}满足a1＝1，若点（n， ） （n∈N*）在斜率为1的直线上，则an＝ ⁠. 解析：由题意可得，{ }为等差数列，且公差d＝1.又a1＝1，所以 ＝ ＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2. n2 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*）， 试判断数列{an}是否是等差数列并说明理由. 解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3， 得an＋1－an＝ ，但a2－a1＝2－1＝1≠ ， 故数列{an}不是等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 38 1. 在数列{an}中，a1＝2，2 ＝2an＋1（n∈N*），则a101＝（　　） A. 52 B. 50 C. 51 D. 49 解析：由已知得， －an＝ ，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差为 的等差数列，所以a101＝2＋100× ＝52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 在等差数列{an}中，a1＋2a3＋a5＝16，则a6－3a4＝（　　） A. －8 B. －6 C. －4 D. －2 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋2a3＋a5＝16，得4a3＝16，所以a3＝4，所以a6－3a4＝a3＋3d－3（a3＋d）＝－2a3＝－8.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d＝ （　　） A. 4 B. 2 C. －2 D. 2或－2 解析：因为在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝a4＋a5＝－6，a4a5＝8，所以a4＝－4，a5＝－2，则公差d＝a5－a4＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（　　） A. 99 B. 123 C. 132 D. 145 解析：在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 〔一题多解〕已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两 点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝（　　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 解析：　法一　设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得 解得 即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中 项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 法二　由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以 ＝ ，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝ 10，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（　　） A. an＋1＝an＋d（d为常数） B. 数列{－an}是等差数列 C. 数列{ }是等差数列 D. an＋1是an与an＋2的等差中项 √ √ √ 解析：对于A，即an＋1－an＝d，故A正确；对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数，故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确；对于C，数列{ }是等差数列，则 － ＝d，d为常数，不能推导出{an}为等差数列，故C错误；易知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 〔多选〕已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0， 则（　　） A. a1＋a101＞0 B. a1＋a101＜0 C. a3＋a99＝0 D. a51＜a50 解析：根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 在等差数列{an}中，a2＋a12＝40，则a5－a6＋a7－a8＋a9＝ ⁠. 解析：在等差数列{an}中，因为a2＋a12＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝40，所 以a7＝20，所以a5－a6＋a7－a8＋a9＝（a5＋a9）－（a6＋a8）＋a7＝a7 ＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1 ＋a1 013＋a2 025＝ ⁠. 解析：∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 024＝10，由等 差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5，∴a1＋a1 013＋a2 025＝3a1 013＝ 15. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）（1）〔一题多解〕已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1， 求a4＋a8的值； 解：法一　根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1， 解得a6＝ ， ∴a4＋a8＝2a6＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 法二　设公差为d，根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d， 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝ . ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80， 求a11＋a12＋a13的值. 解：设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去）， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 在数列{an}中，已知2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），且a5＋a8＝16，则 a1＋a2＋…＋a12＝（　　） A. 256 B. 196 C. 144 D. 96 解析：由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，则{an}为等差数列.又a5＋a8＝16，所以由等差数列的性质知a1＋a2＋…＋a12＝6（a5＋a8）＝96.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12 ＋a13＋a14＝77，则a15 ＝ ，若ak＝15，则k＝ ⁠. 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝ 11a9＝77，∴a9＝7.故d＝ ＝ ＝ ，∴a15＝a9＋（15－9）d＝7 ＋6× ＝11.∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）× ，∴k ＝21. 11 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4 的取值范围为 ⁠. 解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3， ∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋ 2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－ 4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11]. （－4，11] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）已知数列{an}满足an＋1＝ （n∈N*），且a1＝0. （1）求a2，a3； 解：因为a1＝0，an＋1＝ （n∈N*）， 所以a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）是否存在一个实数λ，使得数列{ }为等差数列？请说明理由. 解：假设存在一个实数λ，使得数列{ }为等差数列，所以 ＝ ＋ ，即 ＝ ＋ ，解得λ＝1. 因为 － ＝ － ＝ － ＝ ＝－ ， 又 ＝－1， 所以存在一个实数λ＝1，使得数列{ }是首项为－1，公差为－ 的等 差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数 列{cn}满足cn＝an＋2bn. （1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明 理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解：数列{cn}是等差数列，理由如下： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以d1＝an＋1－ an，d2＝bn＋1－bn，n∈N*， 因为cn＝an＋2bn， 所以cn＋1－cn＝an＋1＋2bn＋1－（an＋2bn） ＝（an＋1－an）＋2（bn＋1－bn）＝d1＋2d2为常数， 所以数列{cn}是以d1＋2d2为公差的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，a1＝5，b1＝8，求数列 {cn}的通项公式. 解：因为a1＝5，b1＝8， 所以c1＝a1＋2b1＝5＋2×8＝21， 由（1）可知数列{cn}是等差数列，且公差为d1＋2d2， 因为{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3， 所以数列{cn}的公差d＝－2＋2×（－3）＝－8， 所以数列{cn}的通项公式为cn＝c1＋（n－1）d＝21－8（n－1）＝29－ 8n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $