精品解析：山西忻州市河曲县中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

河曲中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题“”的否定是. 3. 设，，则（ ）． A. B. C. D. a，b的大小与x的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B 4. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次不等式，得命题成立的充要条件，根据充分不必要条件的定义可得正确答案. 【详解】由，得，解得. 对于A，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以A错误； 对于B，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以B错误； 对于C，因为 ，所以是命题成立的一个充分不必要条件，所以C正确； 对于D，是命题成立的充要条件，所以D错误. 故选：C. 5. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 当时，不符合集合元素的互异性，舍， 当时，集合为，符合题意， 所以. 6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 7. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，利用不等式性质可得. 【详解】A选项，当且时，有，A错误； B选项，因为，所以，所以，不等式两边同除以得，，B正确； C选项，取，显然，C错误； D选项，当时，，D错误， 故选：B． 8. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按 、、 三种情形讨论.当 时由判别式求出两根，得解集 ，再由其中恰有 4 个整数列出关于 的不等式组，即得 的范围. 【详解】当 时，原不等式化为 ，即 ，解集中有无数个整数，不合题意. 当 时，二次函数 的图象开口向下，不等式解集为小于较小根或大于较大根的两段，含无数个整数，不合题意. 当 时，判别式 ，方程 的两根为 ，即 ，. 由于 ，抛物线开口向上，解集为 ，其中的整数自 起依次为 . 恰有 4 个整数需 ，即 ，解得 . 端点验证： 时解集为 ，恰含 共 4 个整数； 时解集为 ，只含 共 3 个整数，故 不能取. 所以 的取值范围是 . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，若，则实数的取值可能为（ ） A. －3 B. 0 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的基本关系分类讨论即可. 【详解】易知， ∵， ∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，当且仅当时取等，故ab的最大值为，A正确； 对于B，，因为，所以， 当且仅当时取等，故的最小值为，B正确； 对于C，，因为，所以， 当且仅当即时取等，故的最小值为9，C错误； 对于D，由得，则， 由得，所以当时有最小值1，D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 两式相加得. 故答案为： 13. 已知集合，则的真子集的个数为_______ 【答案】15 【解析】 【详解】由，可得或或或， 解得，集合中有4个元素，所以其真子集的个数为． 14. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】 先求解的情况： ①当集合为空集时，则， 解得，此时. ② 当集合非空时，需满足，则， 若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，由得，进而分、两种情况讨论求解即可； （2）由题设可得集合是集合的真子集，进而结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 由， 因为，所以，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 而，， 所以或， 解得或， 综上， 所以实数的取值范围为. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小为多少？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？最大为多少？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小为 （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大，最大为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式求和的最小值. （2）利用不等式求积的最大值. （3）先把化成，再利用“1”的妙用求和的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小为. 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大，最大为. 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 18. 已知命题恒成立，命题，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题求解即可； （2）先得到命题和命题为真命题时的取值范围，进而结合题设讨论求解即可. 【小问1详解】 若命题为真，则不等式对一切实数都成立， 当时，不等式为，恒成立，满足题意； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）知，若命题为真命题，则， 对于命题，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 若命题为真命题，则，即. 由于命题和中有且只有一个真命题， 当真假时， ，解得； 当假真时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为或. 19. 已知，关于的一元二次不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集求出和，再直接解不等式； （2）根据开口方向不同分为，，三类情况，当时，再根据和的大小关系分为 ，，三类情况. 【小问1详解】 因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河曲中学2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则（ ）． A. B. C. D. a，b的大小与x的值有关 4. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 7. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 8. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设集合，，若，则实数的取值可能为（ ） A. －3 B. 0 C. D. 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，则的取值范围是__________. 13. 已知集合，则的真子集的个数为_______ 14. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小为多少？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？最大为多少？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 18. 已知命题恒成立，命题，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 19. 已知，关于的一元二次不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $