精品解析：山西太原市第五中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高一数学 时间：2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是． 2. 设全集为，集合，，韦恩图如下图，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图确定集合与的关系，结合充分必要条件的定义进行判断即可 【详解】由韦恩图可知，集合包含于集合，即. 若，由可知，，故充分性成立； 若，由于中存在不属于的元素，则不一定属于，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，，所以两函数对应关系不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性及元素与集合的关系，由和逐步推导求出，的值，再代入目标式子进行指数幂的运算求解. 【详解】因为集合中含有三个实数，且元素具有互异性， 所以，且(即且). 因为，所以只能是，解得. 此时集合. 又因为，分两种情况讨论： 若，解得或. 当时，集合，不满足互异性，故舍去； 当时，集合，满足互异性，符合题意. 若，集合，不满足互异性，舍去. 综上所述，，. 所以. 6. 若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设，因“，”， 则，因函数开口向上， 则，则. 7. 已知，，且，则的（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式变形求出的表达式，代入中化简，利用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】，得. 则. 因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此. 即的最大值为. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，由赋值法结合题意可判断选项正误；对于C，由方程组法可得解析式，据此可判断选项正误；对于D，由换元法可得解析式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，由题可得，又， 则，则，故C正确； 对于D，因，则， 从而，则，故D错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项：由可知，即，不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变，可得，正确； 选项：举反例：取，满足， 但，，此时，错误； 选项：作差比较大小： ， ​由，可知，，因此差值大于0，即，正确； 选项：由，则，不等式两边同时乘以正数，得​，化简得​，正确. 10. 以下结论错误的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 已知，的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A：当时，由基本不等式得， 当且仅当时，即时等号成立， 但当时，， 当且仅当时，即时取等号， 由于选项中未限定，故结论不一定成立，所以A错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，此时需，无实数解，所以B错误； 对于选项C：因为，所以且， 则， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； 对于选项D：， 当且仅当即时取得最小值，所以D错误. 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为， 故AB正确，CD错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数 有意义，需满足， 解得，所以且， 所以函数 的定义域为. 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 14. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和. 【详解】集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图象． 【答案】（1） ； （2）2或0 （3）图象： 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象． 【小问1详解】 由，知. 【小问2详解】 由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 【小问3详解】 根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 17. 为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 18. 已知函数． （1）关于的不等式的解集为， ①求不等式的解集； ②讨论关于的不等式的解集； （2）已知，，当时，，若存在正实数，，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）①②由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，进而求出解集即可. （2）先根据题意得到，从而将条件转化为，再利用“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 ①因为关于的不等式的解集为， 所以，且，则， 则可转化为， 即，解得， ②由题意得可化为， 而，当时，可得，解得， 此时恒成立，解得， 当时，可得，解得， 可得，解得， 当时，可得，解得， 令，解得， 综上可得，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 因为当时，， 所以，即，所以， 若存在正实数a，b，使不等式有解，则， 又， 当且仅当，即，时，取等号，即， 所以，即，解得，或， 所以的取值范围是． 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）当时，求函数的值域； （2）求的解集； （3）若的解集为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意与取整函数定义求解即可. （2）解二次不等式得的范围，并结合表示不超过实数的最大整数再求范围即可. （3）不等式可化为，分，，三类情况讨论解集，由不等式解集为，求的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，当时，， 当时，，则函数的值域为. 【小问2详解】 由，即， ，则，所以. 所以的解集为. 【小问3详解】 不等式，即， 方程，可得或. 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 综上，或，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高一数学 时间：2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集为，集合，，韦恩图如下图，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 含有三个实数的集合，若且，求的值（ ） A. B. C. D. 或 6. 若命题：“，”为真命题，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的（ ） A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 8. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 以下结论错误的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 已知，的最小值为4 D. 的最小值为 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 14. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和．若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图象． 17. 为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数． （1）关于的不等式的解集为， ①求不等式的解集； ②讨论关于的不等式的解集； （2）已知，，当时，，若存在正实数，，使不等式成立，求的取值范围． 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，． （1）当时，求函数的值域； （2）求的解集； （3）若的解集为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $