山东省潍坊市寿光市第一中学2026-2027学年高二上学期10月测试数学试题

高二数学月考试卷10.21 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．点关于平面的对称点为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）． A． B． C． D． 3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）． A． B． C． D． 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知，，．若，，三向量共面，则实数等于（ ） A． B． C． D． 6．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9．以下说法正确的是（ ） A．在四面体中，若，，则 B．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得． C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，则是钝角 10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 11．已知等边三角形的边长为6，M，N分别为，的中点，如图所示，将沿折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A．当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角 B．在折起过程中，存在某位置使平面 C．当四棱锥体积的最大时，直线与平面所成角的正切值为 D．当二面角的余弦值为时，的面积最大 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 12．设x，，向量，，，且，，则_______． 13．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数_______． 14．如图，在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱外接球的表面积为_______；设P为线段上的动点，则的最小值为_______． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）若E是的中点，求证：平面． 16．（15分） 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，， （1）用，，表示和； （2）求直线与夹角的余弦值． 17．（15分）在正四棱柱中，，P为的中点． （1）求直线与平面所成的角； （2）求点B到平面的距离． 18．（17分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点M和N分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设E为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 19．已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）若，在线段上是否存在一点P使平面和平面所成角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学月考试卷答案 1.D2.B3.C4.B5.D6.A7.C8.A9.AC10.AC11.ACD 12.3 1 13.8 14.16πV19 15.【详解】(1)解：在正方体ABCD-AB,CD中，DD∥平面ABBA, D 所以点E在DD,上运动时，到平面ABB,4的距离为4，所以 1 3 (2)解：连接AB交AB,于点M连接EM,EF,DC, 因%FDC,R 2DC.MBac,且Ms-0 21 ,所以EFI∥MB且EF=MB, 所以四边形MEFB是平行四边形，所以BFME,又因为BFt平面AB,E,MEC平面AB,E, 所以BF∥平面ABE 16.【详解】(1)连接4B,AC,AC,如图：因为AB=a,AD=方，A4=C, 3 在△AAB, 根据向量减法法则可得：BA=AA-AB=c-a 因为底面ABCD是平行四边形，故AC=AB+AD=a+i, 因为4CAC且AC=AG,4C=AC=a+b,又M为线段AC中点 4亚=4G=a+)在△4MB中. Bi=+4W=c-a+6+列=a++c ,在平行四边形AACC中， AC=AC+AA=a+b+c (2)因为顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60° 数di-同ios6w-克，ae-同月eww-i,i-闪月ow0-号. 所AG可-(4Gj-0+6+a-(同+6++2a6+2a+25.2 =+6++20lcos60+2os60+26cos60 =111+2x+2×26,=6 所 4cB=aa+i-d-6+a+ad-l+2 AB.AC 2V6 √6 所以 所以直线AB与AC的夹角的余弦值为3 17.【详解】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系则4(2,0,0)，C(0,2,0),B(2,2,0), P(2,1),所4C=(-2,20）,AB=(0,20）,AP=(-12,) D mAB=0 2y=0 设平面ABP的法向量为m=(x,火2)，则mAP=0 化为-x+2y+z=0,令x=1,解得y=0, z=1.m=(1,0,1) m·AC sin=cos= 2 1 设直线AC与平面ABP所成的角为B,则 V2⑧2 园为02直线AC与平百4BP所成的角为30加 (2)设平面APC的法向量n=(x,%,). n·AP=0 「-x0+20+20=0 则aC=0,“1-2x+2%=0，今6=，解得%=1， 4 223 乙=-1.n=(11,-).∴点B到平面APC的距离 V33 18.【答案】（1)证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得4(0,0,0)，B(01,0,C(20,0),D(1,-2,0),4(0,0,2).B(0,12).C(20,2) D,(1,-2,2）)」 方4水粉别为8C2D5色.得兮 0-2 可得n=(0,01)为平面ABCD的法向量， w--0 由此可得MN.n=0. 又因为直线MN￠平面ABCD,所以MN∥平面ABCD, (2)D=(1,-2,2).AC=(2,0,0) n·AD=0 [x-2y+2z=0 设%=(x,y2)为平面4CD的法向量，则瓦·4C=0,即2x=0 不妨设z=1,可得%=(01,1) n2·AB=0 y+2z=0 设=(x少2)为平面4C8的法向量，则元·4C=0,又8=(0,12)，行2x=0 cosm,n2 nn v10 不妨设z=1,可得%=(0，-2,1）.因此有 10 10 所以，平面4CD与平面4CB,的夹角的余弦值为10. 【小问3详解】依题意，可设4正=14B,其中1∈[0，， 则E(02,2),从而证=(12+2,1)，又1=(00,1为平面ABCD的法向蚕， cos NE,n= NE.n 1 由已知，得 z丽-1+(+2y+P3 整理得2+4-3=0，又因为2e[0,1,解得元=V厅-2，所以，线段4E的长为V7-2。 19.【答案】(1)在三棱柱ABC-4B,C中，四边形A4CC是平行四边形， 而4C=A4,则口AACC是菱形，连接4C,如图， 则有AC⊥AC,因4BLAC,AB∩4C=A,AB,ACc平面ABC, 于是得4C上平面4BC,而BCC平面4BC,则AC L BC 由∠ACB=90°得AC⊥BC,ACNAG=A,AC,AC,C平面AACC, 从而得BC⊥平面A4CC,又BCC平面ABC,所以平面A4CC1平面ABC. (2)在平面44CC内过c作Cz⊥AC,由(1)知平面44CCL平面ABC,平面44CC∩平面 ABC=AC,则Cz⊥平面ABC,以C为原点，射线CA,CB,Cz分别为x,y,z轴正半轴建立空间 直角坐标系，如图，因∠A4C=60°，AC=A4=4,BC=2,则 C(0,0,0).A(4,0,0).B(0,2,0).4(2,0,23 假设在线段4C上存在符合要求的点P,设其坐标为P(20,0),(0≤元≤4)， 则有B=(2,-2,25),P=(元-20)】 设平面BAP的一个法向量”=(x,少2)， n.BA=2x-2y+2v3z=0 则有n~BP=x-2y=0 令x=2得 而平面44CC的一个法向量m=(0,10), nm 5 依题意， ,化简整理得：322+入-4=0 而0≤九≤4，解得九=1， 所以在线段AC上存在一点P,且P是靠近C的四等分点，使平面BAP和平面A4CC所成角的余弦值 5 为4