精品解析：山东省潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

山东省潍坊高二上学期10月月考数学试题 2025.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线：的倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程确定斜率即可求解. 【详解】直线：可化为， 所以直线的斜率为，即 ， 故选:C. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系列式求解即可. 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得， 当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去. 故选：B 3. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据基底向量的定义分析判断；对于B，根据线性运算可得，即可得结果；对于C，根据四点共面的结论分析判断；对于D，可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故A正确； 对于选项B：因为，即， 可得，所以M为AB中点，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以A，，，四点不共面，故C不正确； 对于选项D，平面α，β的法向量分别为，， 当时，则， 可得，解得，故D正确； 故选：C. 4. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图， 因为，所以，又， 所以， 又， 所以且，解得：． 故选：A 5. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量夹角的坐标公式计算后判断. 【详解】因为，， 所以向量与的夹角余弦值为. 故选：D. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 8. 过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的圆心，半径 ∵，是圆的两条切线， 则，且、、、四点共圆， ∴，即， ∵，所以， 当最小，即直线时，取得最小值， 此时直线方程为，即， 联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即， ∵圆，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 10. 设､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面．下列四个命题中正确命题是 A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】 直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对选项进行逐一判断，推出结果即可． 【详解】解：若，，则，是直线和平面垂直的判定，A正确； 若，，，则，推出，满足直线和平面垂直的判定，B正确； 若，，则，两条直线可能相交，也可能异面，C不正确． 若，，则中与可能相交或异面．考虑长方体的顶点，与可以相交．D不正确． 故选：AB． 【点睛】本题考查线线平行与垂直的判定，线面垂直的判定，面面平行的判定，是基础题. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标应用两点间距离，再结合单调性得出范围. 【详解】 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，设，由于，所以， 则， 则， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，取得最小值为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果. 【小问1详解】 圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则，解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 点，直线过点， 当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距，故，解得， 所以直线方程为，即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】（1） 如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，再由求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，为中点. （1）用空间的一个基底表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. 【答案】（1），； （2）； （3） 证明：因为， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体棱的向量关系，通过线性运算表示向量； （2）借助向量模长公式和点积运算，依次求解模长与异面直线所成角的余弦值； （3）通过向量数量积为0证明线线垂直. 【小问1详解】 ；. 【小问2详解】 ，故. ，故. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的值； （3）当取何值时，与平面所成的角最大? 【答案】（1）证明：如图，设，则是线段的中点，连接， 由得， 又矩形中，是线段的中点，则，， 所以为平行四边形，则， 因为四边形为矩形，则，故， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，连接，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的方程，即可解得的值； （3）设与平面所成的角为，利用空间向量法结合基本不等式可求得的最大值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，则平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，， 从而平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 整理得，而，所以. 【小问3详解】 由（2）可知，平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以当时，与平面所成的角最大，最大为. 19. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）是，定值为12；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据中点坐标表示点的坐标并代入圆的方程计算即可； （2）（Ⅰ）设出直线方程以及点的坐标，代入直线方程与圆的方程联立，根据向量可求得定值；（Ⅱ）设点的坐标，根据向量找到等式，即可求得结果. 【小问1详解】 设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是， 且M是线段的中点，所以，， 于是，① 因为点A在圆上上运动， 所以点A的坐标满足圆的方程，即②， 把①代入②，得，整理，得； 【小问2详解】 （Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， 则， ， ∴ ， 所以为定值，且定值为12； （Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， ∴， ∴或， 经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点， 即中，所以， 所以，直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊高二上学期10月月考数学试题 2025.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线：的倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 4. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若两直线平行，则与的距离是 10. 设､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面．下列四个命题中正确命题是 A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________ 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 14. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 16. 如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若，且点到平面的距离为，求的值． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，为中点. （1）用空间的一个基底表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. 18. 如图，在底面为正方形的多面体中，四边形为矩形，是线段的中点，且，，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的值； （3）当取何值时，与平面所成的角最大? 19. 已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． （1）求点M的轨迹方程； （2）过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $