期中真题重组卷（安徽专用，新教材人教版九上第25～28章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2.（25-26学年九上·安徽池州·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3.（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4.（25-26学年九上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） x A.  B.  C.  D.  5.（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  6.（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7.（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8.（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）已知二次函数的图象经过点，，，，．则下列四个结论①；②；③方程的解为，；④对于任意实数t，总有中，正确结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 9.（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  10.（25-26学年九上·安徽安庆·期中）点在二次函数图象上，的最大值是（       ）． A. 3 B.  C.  D.  二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线　　　　　． 12. （25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知为实数，若，则　　　　　　　　． 13.（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则　　　　　　　　． 14.（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 16.（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（2026·安徽阜阳·联考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是． （1）将绕点按逆时针方向旋转90°后得到，请画出； （2）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 18.（2026·安徽阜阳·联考）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 20.（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    （1）求反比例函数的表达式： （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 六、（本题满分12分） 21.（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足          函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为          ，排队人数与检票时间的函数关系式为          ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 七、（本题满分12分） 22.（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 八、（本题满分14分） 23.（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C D A D A C C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11． 12． 13．8 14．①      ······（2分） ②   ······（3分） 三、解答题（本大题共2小题，满分16分） 15．【答案】（1） 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根；  ······（4分） (2)解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． ······（4分） 16.【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为；     （2）      详解：(1)解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， ······（2分） 点在上，则， ， 把、代入， 得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为； ······（2分） (2) 解： 把代入，得， ， ， ． ······（4分） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； ······（3分） （2） 如图所示：即为所求， ······（3分） 点的坐标为．      ······（2分） 18.【答案】 （1） 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； ······（3分） (2) 解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． ······（5分） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.【答案】 详解（1）证明：如图，设与交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴．      ······（5分） (2) 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ······（5分） 20.【答案】(1) 解：把，代入中得： ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； ······（3分） (2) 解：联立 ，解得 或 ， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； ······（3分） (3) 解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴点P的坐标为或． ······（4分） 六、（本题满分12分） 21.【答案】[模型构建]（1）如图： ······（2分） （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； ······（1分） （3）设与之间的函数表达式为， 将，，代入，得 ， 解得 ∴与之间的函数表达式为； ······（2分） [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为， 故答案为：；； ······（2分） （2）， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； ······（2分） （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则， ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得， ∵，m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． ······（3分） 7、 （本题满分12分） 22.【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴．       ······（6分） 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． ······（6分） 八、（本题满分14分） 23.【答案】 (1) 解：当时，抛物线为：， 所以当时，y的最小值为． ······（3分） (2) 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴抛物线为：， 代入点得：，解得，． ······（5分） (3) 解：当时，抛物线为：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：； 当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有， ∴，解得：，与矛盾，舍去； 当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵时，总有， ∴，解得：． 综上：或． ······（6分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2.（25-26学年九上·安徽池州·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 ∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 3.（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：∵ 原抛物线 配方得 ， ∴ 顶点坐标为 ∵ 向右平移3个单位，横坐标加3： ， 向上平移2个单位，纵坐标加2： ， ∴ 新顶点坐标为 ， 故选：B． 4.（25-26学年九上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） x A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 5.（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． 验证选项：A．：当时，，不满足； B．：当时，，不满足； C．：当时，，不满足； D．：当时，，满足． ∴函数图象必经过点． 故选：D． 6.（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 7.（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转60°得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转60°得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 8.（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）已知二次函数的图象经过点，，，，．则下列四个结论①；②；③方程的解为，；④对于任意实数t，总有中，正确结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【详解】 解：∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∴，即， ∵点在图象上， ∴， 代入，得， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴函数为， 令，得， ∵， ∴， 解得，，故③ 正确； ∵对称轴，， ∴点到对称轴距离为4，点到对称轴距离为1， ∴ ，故① 正确； ∵， ∴最小值为， 但（∵ ）， ∴，不一定 ，故④ 错误； 综上，正确结论为① ② ③ ， 故选：A． 9.（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：∵菱形中，，， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下， ∴对称轴为直线； 如图所示，当时， ，， ∴ ∵ ∴抛物线开口向上， ∴对称轴为直线； 结合各选项的图像，与选项完全吻合． 故选：． 10.（25-26学年九上·安徽安庆·期中）点在二次函数图象上，的最大值是（       ）． A. 3 B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：把代入得：， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线　　　　　． 【答案】 解：由题意，抛物线与x轴的交点为和，则和关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 12. （25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知为实数，若，则　　　　　　　　． 【答案】 解：设,则原方程为因式分解得,，解得 当，无解，∴。 故答案为：1 13.（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则　　　　　　　　． 【答案】8． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， ∴的面积为，∴，∴. 故答案为8． 14.（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】①      ······（2分） ②   ······（3分） 【详解】 解：（1）点P，N是，的中点， ， 点P，M是，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根；  ······（4分） (2)解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． ······（4分） 16.（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为；     （2）      详解：(1)解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， ······（2分） 点在上，则， ， 把、代入， 得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为； ······（2分） (2) 解： 把代入，得， ， ， ． ······（4分） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.（2026·安徽阜阳·联考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是． （1）将绕点按逆时针方向旋转90°后得到，请画出； （2）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； ······（3分） （2） 如图所示：即为所求， ······（3分） 点的坐标为．      ······（2分） 18.（2026·安徽阜阳·联考）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】 （1） 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； ······（3分） (2) 解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． ······（5分） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】 详解（1）证明：如图，设与交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴．      ······（5分） (2) 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ······（5分） 20.（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．    （1）求反比例函数的表达式： （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 解：把，代入中得： ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数的表达式； ······（3分） (2) 解：联立 ，解得 或 ， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， ∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，或； ······（3分） (3) 解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴点P的坐标为或． ······（4分） 六、（本题满分12分） 21.（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足          函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为          ，排队人数与检票时间的函数关系式为          ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 【答案】[模型构建]（1）如图： ······（2分） （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； ······（1分） （3）设与之间的函数表达式为， 将，，代入，得 ， 解得 ∴与之间的函数表达式为； ······（2分） [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为， 故答案为：；； ······（2分） （2）， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； ······（2分） （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则， ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得， ∵，m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． ······（3分） 七、（本题满分12分） 22.（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴．       ······（6分） (2) 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． ······（6分） 八、（本题满分14分） 23.（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 【答案】 (1) 解：当时，抛物线为：， 所以当时，y的最小值为． ······（3分） (2) 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴抛物线为：， 代入点得：，解得，． ······（5分） (3) 解：当时，抛物线为：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：； 当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有， ∴，解得：，与矛盾，舍去； 当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵时，总有， ∴，解得：． 综上：或． ······（6分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $