3.3.2第2课时抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题. 数学逻辑 2.解决一些抛物线的综合问题． 数学逻辑 数学运算 复习回顾 图形 标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 轴 F ，0 x =- 轴 x = F ，0 轴 y =- F 0， 轴 y= F 0，- 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么 F A B x y O 类似地，你还能得到其他结论吗？ 探索新知 例1、过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2. 探索新知 B 解析　[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1). 因为|AF|＝2|BF|， 由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 探索新知 探究：弦长公式 y x F l A1 B1 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) θ 探索新知 解析　[通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)， C 探索新知 探究：面积问题 y x F l B( x2 , y2 ) A1 B1 O A( x1 , y1 ) θ 探索新知 练习1 ．过抛物线y2＝4x的焦点F，且倾斜角为 的直线交 抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积等于________． Q x y O P 探索新知 探究：焦点弦与韦达定理 y x F l A1 B1 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) θ 探索新知 例2、如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. (1)求y1y2的值； 解　依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. 注意公式使用条件 探索新知 (2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明： 为定值. 证明　设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 设直线AM的方程为x＝ny＋1， 代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0， 所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4， 探索新知 探究：与准线相切圆问题 以AB为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切 探索新知 探究：中点弦问题与弦长公式：已知抛物线上有一条直线与其相交，交点为A，B，且线段AB的中点M坐标为（x0，y0） y x F A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) M 斜率公式焦点弦也适用 探索新知 例3、已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于， 两点，试求弦 中点的轨迹方程． 解：设弦的中点为，并设，，的坐标分别为 ， ， ． 当直线的斜率不存在时，易得 ． 当直线的斜率存在时，，由题意得， 得 ， 又 ，所以 . 探索新知 因为，即,所以 ， 即，所以（除去点 ）． 又点的坐标满足上式，故弦 中点的轨迹方程为 . 例3、已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于， 两点，试求弦 中点的轨迹方程． 探索新知 ［素养小结］ “中点弦”问题的两种解题策略 （1）点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由 <m></m>求斜率，再由点斜式求解. （2）传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去<m></m>（或<m></m>） 得关于<m></m>（或<m></m>）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和 即为中点纵（或横）坐标的2倍，进而求解. 探索新知 [跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 探索新知 [跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 课堂小结 回顾本节知识，自主完成以下问题： 和抛物线有关的轨迹问题： 抛物线的综合问题: 方法归纳：直接法、定义法、代数法. 常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 课堂检测 B 课堂检测 2、(1)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　. (2)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　. 4p 4 课堂检测 3、求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 课堂检测 3、求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 课后作业 课本第138页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 解析　直线AB的方程为y＝x－， 与抛物线方程联立消去y得x2－3px＋p2＝0， 变式1、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A.4 B. C.5 D.6 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，① 由①②解得xA＝2，xB＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. [优解]因为|AF|＝2|BF|， 所以＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 变式2、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝(　　) A. B.4 C.8 D.24 ∴kAB＝＝＝. ∵线段AB中点的纵坐标为，∴y1＋y2＝2， 又直线AB的倾斜角为，∴kAB＝，即＝，得p＝3. ∴抛物线C的方程为y2＝6x， 则焦点F，直线AB的方程为y＝， 与抛物线方程y2＝6x联立并整理，得3＝6x，即x2－5x＋＝0， ∴x1＋x2＝5，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8. [优解]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的弦长l＝，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角. 在求出p＝3后，可直接利用此二级结论得出|AB|＝＝＝8. [优解]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点三角形面积为 ，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角. 在求出p＝2后，可直接利用此二级结论得出 ＝×＝×＝， ＝＝＝， 由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值. $