3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握抛物线的简单几何性质，会判断直线与抛物线的位置关系. 数学抽象 2.能用抛物线的几何性质解决焦点弦问题. 逻辑推理 数形结合 复习回顾 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px (p＞0) y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) 四种抛物线及其标准方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据它们的标准方程，得到了椭圆与双曲线的简单几何性质. 在上节课，我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么 y2＝2px (p＞0)，① 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应该研究抛物线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 探索新知 当x＞0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同； 当x的值增大时，|y|的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. l F M K O y x 由 可知，对于抛物线上的点M(x,y)， x≥0,y∈R. 抛物线是无界曲线． 1.范围 探索新知 2.对称性 (x,y) (x,-y) 所以抛物线关于x轴对称. l F M K O y x 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. x轴 抛物线只有一条对称轴，无对称中心． 探索新知 l F K O y x 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点． 当时x=0时，y=0，因此抛物线的只有一个顶点就是原点. 顶点 探索新知 3 4 4.离心率 物线上的点M 到焦点F的距离和它到准线的距离d的比 叫做抛物线的离心率,用e表示. 由抛物线的定义可知,e = 1． l F M K O y x d 探索新知 问题：以抛物线 为例，写出其焦点、准线、范围、对称性、顶点、离心率、通径等. 1.焦点 2.准线 3.范围 4.对称性 5.顶点 6.离心率 关于 x 轴对称 原点(0，0) e=1 x ≥0，y∈R F ，0 x = - 探索新知 追问:类似地，能得到其他形式的抛物线标准方程的几何性质吗？ 图形 标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 轴 F ，0 x =- 轴 x = F ，0 轴 y =- F 0， 轴 y= F 0，- 探索新知 归纳总结 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，e=1. 小试牛刀 1、判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线关于原点对称.( ) × [解析] 抛物线不关于原点对称. （2）抛物线只有一个焦点、一条对称轴，无对称中心.( ) √ [解析] 抛物线只有一个焦点、一条对称轴，抛物线没有对称中心. （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ [解析] 抛物线的离心率均为1. 典例分析 例1:已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 ，求它的标准方程. 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 因此，所求抛物线的标准方程是 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以 解得p=2， 探索新知 归纳总结 用待定系数法求抛物线方程的步骤 寻关系 得方程 根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向 定位置 设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程 根据条件列出关于p的方程 解方程，将p代入所设方程为所求 探索新知 变式1、顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 的抛物线有几条？这些抛物线的标准方程是什么？ 有两条． (1)当焦点在x轴上时，焦点只能在x轴的正半轴上，正是例3中的情况，求得的标准方程为 y2＝4x； 由于点M(2,－2)在第四象限， (2)当焦点在y轴上时，焦点只能在y轴的负半轴上，设标准方程为x2=－2py (p＞0)，则22＝－2p·(－2),所以p= , 此时抛物线的标准方程为 x2＝－y. 探索新知 例2:斜率为1的直线l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 方法一 解：设 直线l方程y=x-1与抛物线的标准方程 联立可得 解方程得 所以 因为 因此 探索新知 方法二 解：由题意可知， 焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=-1. 于是 如图，设 A,B两点到准线的距离分别为 由抛物线的定义，可知 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为 y=x-1 ① 将 ①代入方程 得 化简，得 所以 所以，线段AB的长是8. 探索新知 归纳总结 （1）利用两点间的距离公式的方法最直接，具有一般性，但是计算稍显复杂； （2）数形结合方法充分运用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离，使运算的复杂性大大简化. 探索新知 思考：如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于x1+x2吗？ F A B x y l O 设直线l经过x轴上任意一点(m,0)，其中m≠1，则直线l的方程为y=x-m. 直线与抛物线的y2＝4x的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 显然|FA|+|FB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2>|AB|. 联立直线l的方程y=x-m与抛物线的标准方程y2＝4x可得x2-(2m+4)x+m2=0 AB的长为 因为(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(2m+4)2-4m2=16m+16， 所以(y2-y1)2=(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=16m+16 因此 长度与m紧密关联. 探索新知 拓展：抛物线的焦点弦的概念： 如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦. F A B x y O 焦点弦公式 探索新知 拓展：抛物线的通径的概念： 通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，如图所示. p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄. F A B x y O 通径是所有焦点弦中最短的弦 探索新知 变式2、已知抛物线 的焦点为，过作倾斜角为 的直线交抛物线于，两点. 若 ，则 ( ) A.6 B.3 C. D. √ [解析] 抛物线的焦点为，则直线 的方程 为. 由 消去得 ， 显然， 设, ，则， 所以，所以 .故选B. 探索新知 变式3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求线段的长. 解：由抛物线的方程得 所以根据抛物线的定义可得 课堂小结 根据本节所学，自主回答下列问题： 1.抛物线有哪些几何性质？ 2.抛物线的开口大小由什么决定？ 3.如何求与抛物线有关的弦长？ 4.什么是焦点弦、通径？ 课堂检测 √ 课堂检测 A 课堂检测 B 课堂检测 4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于 A.2 B.3 C.5 D.7 √ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2. ∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7. 课后作业 课本第136页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 探究1：观察直角坐标系中的抛物线 ，它的范围是什么？ 探究2：观察方程 的曲线，开口向右的抛物线有对称轴，对称中心吗？ 探究3：抛物线有几个顶点？为什么？ 1.抛物线 上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) A. B. C.0 D. 抛物线 的准线方程为 ，设点M的纵坐标是y. 因为抛物线上一点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离为1， 即 ，所以 ，所以点M的纵坐标是 .故选B. 由得x2－5x＋4＝0， $