练案33 第三章 3.3.2 第1课时抛物线的简单几何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[33]第三章3.33.3.2 [第1课时抛物线的简单几何性质] A组·基础巩固 9.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点， 1.抛物线x=8y2的通径长为 0为原点，若IOA|=IOBI,△AOB的垂心恰为 抛物线的焦点F,求直线AB的方程. A.8 B.4 D0.4 2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于 它到顶点的距离，则，点P的坐标为 (好±经》 R(g±牙) c(冬) D.( 3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线1交抛物线 于P1(x1,y),P2(x2,y2)两点，若y1+y2=6, 则IPP2I= ( ) A.5 B.6 C.8 D.10 4.（多选)点M(1,1)到抛物线y=ax(a≠0)的 准线的距离为2，则α的值可以为 10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦 A. n-4 点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一 5.已知，点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点 点，且|AMI=√17,1AF1=3. P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若 (1)求抛物线的标准方程； 3 △OFP的面积为2√2，则该抛物线的准线方程 (2)若焦点在直线y=2的上方，通径为CD, 为 ( 求△OCD的面积S. Ax=-习 B.x=-1 C.x=-2 D.x=-4 6.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过 点M(√3，-2√3)的抛物线的方程为 7.已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,过F 且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有 两条，写出一个满足条件的抛物线的方程 8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与 双曲线写-菁=1相交于A,B两点，若△ABF 为等边三角形，则p= —193 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的15.（多选)抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F, 直线与抛物线交于A,B两点，满足1AB|=6, AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB 则线段AB的中点的横坐标为 的中点，过A,B,M作抛物线的准线1的垂线 A.2 B.4 C.5 D.6 AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交 12.在同一平面直角坐标系中，方程a2x2+b2y2= 抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说 1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为 法正确的是 () A.NI-14B B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF 16.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,直线1过 13.已知F是抛物线y2=16x的焦点，M是抛物 点P(-2,0). 线上一点，FM的延长线交y轴于点N,若 (1)若直线1与抛物线C有且仅有一个公共 3FM=2MN,则IFWI= 点，求1的方程； 14.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴 (2)若直线1与抛物线C交于不同的两点A, 的正半轴上，设A,B是抛物线C上的两个动 B,求IFAI+IFBI的取值范围. 点(AB不垂直于x轴)，且IAFI+IBFI=8, 线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求 抛物线的方程. 194过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q, 交抛物线于点P(如图) B3,2) 由抛物线的定义， 知IPQ1=IPFI, 则IPBI+IPFI≥IPBI+IPQI= 1B01=3+1=4. 即IPBI+IPFI的最小值为4. 练案[33] 1C抛物线=8y,即y=g,可得2印=8，因此通径长 为8 2.B设抛物线的焦点为F,原点为O,P(x,yo),由条件及抛物 线的定义，知PF1=O1,又F(子0），所以6=g,所以 方=名所以%=±县 4 3.C抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P(1,y),P2(2, y2)两点是过抛物线焦点的直线1与抛物线的交点，所以 P(x1,y),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1. 所以IPP2I=y+y2+2=8. ，因为点 4AB抛物线y=a2(a≠0)的准线方程为y=-4a, M(1,)到抛物线y=a2的准线的距离为2，所以卫+（与 2,解得a=4或a=-2 5B抛物线广=2r(p>0)的焦点F(号，0，将点P的横坐 标代人抛物线得y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p), 则5m=×分×4万=p万=2万，解得p=2,则抛物线方 程为y2=4x,其准线方程为x=-1. 6尸=4Bx或=-M在第四象限，分别设y=2和 =-2py,将(5，-25)代人得12=2p·5或3=-2印· (-25),解得p=25或抛物线方程为)产=4厅x或 2 7.y2=x(不唯一)过焦点的最短弦为通径，其长度为2印.根据 抛物线的对称性，只需2p<2,即p<1.故答案可以为y=x. 86抛物线的焦点坐标为F(0,号)准线方程为y=-子将 y-代入号-号1得1-√5+子 ·要使△ABF为等 边三角慰，则m音：以Y+ 6 P -解得p=36, p=6. -28 9.【解析】由抛物线的对称性可知，A,B两点关于x轴对称. 设点A的坐标为(1，y), 则点B的坐标为(x1,-1) 揽物线)=2px(p>0)的焦点坐标为F（5,0), 由F是△AOB的垂心，可知AF⊥OB 因此k4F·kB=-1, 即y。·-4=-1.① x1一2 由点A在抛物线上得y斤=2x1.② 将②代入①得x=头，放直线B的方程为x=弓 10.【解析】(1)设所求抛物线的标准方程为 x2=2py(p>0), 设A(,%),由题意知M(0,-)） 因为1AF1=3,所以6+号=3， 因为IAM川=17， 所以号+(o+）=17, 所以x后=8，代入方程x后=2py0得， 8=2p3-子)，解得p=2或p=4 所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y (2)由(1)知x=8y符合题意. 通径ICD川=8，原点到通径的距离为2， Sa0w=2×8×2=8. 11.A由抛物线方程可知F(1,0),设A,B的横坐标分别为x1, x2,由抛物线的性质可知IAB1=x1+x2+2=6,即x1+x2=4, 所以4B中点的横坐标为了(x+)=2 12.D将方程㎡2+by=1与ax+b=0转化为号+二=1 1 1 与)：云因为a>6>0,所以方>行>0.所以椭圆的焦 点在y轴上，抛物线的焦点在x轴负半轴上，且开口向左，故 选D. 13.16易知焦点F的坐标为(4,0)，准线1 的方程为x=-4,如图，抛物线准线与x 轴的交点为A,作MBLI于点B,NC⊥l BXM 于点C,AF∥MB∥NC,则IX= INFL B,由3网-2m,得W =号，又1G1=4,0F1=4,所以1B-4=子，1BMI 4 5 IMP1=M-号=号所以I=16 5 14.【解析】设抛物线的方程为y2=2x(p>0),则其准线方程 为x=-号 设A(x1,y1),B(x2,y2), IAFI +IBFI =8. 六离+号++号=8， 即x1+2=8-卫 :Q(6,0)在线段AB的中垂线上， .IQAI 10BI, 即√/(6-x1)2+(-y)2=√(6-x2)2+(-y2)2, 又y斤=2px1,2=2pw2, .(1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ,AB与x轴不垂直， .x1≠x2 故x1+:2-12+2印=8-p-12+2p=0, 即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x 15.ABD如图，由抛物线的定义，得IAC1=IAFI,IBDI=IBFI, 又IN1=MC1;BD,则1MNM=HI主BE-之AB1,A 2 2 正确；由MNI=之AB1,AM1=IMB1,得1MN1=AM,所 以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN= ∠CAN,所以△ANC≌△AWF,可知∠ACN=∠AFN=90°，所 以FN⊥AB,B正确；在Rt△MWF中，IQWI=IQFI,可知 ∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确；由∠QFM= ∠QMF,可知IQF1=IQM1,所以1NQ1=1QMI,即Q是MW 的中点，故C不正确。 16.【解析】(1)当直线1的斜率为0时，直线1的方程为y=0: 当直线1的斜率不为0时， 设直线方程为y=k(x+2), 联立=红+2得2+（4-4)x+4状=0 y2=4x. 由4=(4k2-4)2-16k4=-32k2+16=0, 解得k=±巨 所以直线方程为y=±(x+2.综上，若直线1与抛物线C 2 有且仅有一个公共点，直线1的方程为)=0或y=±2(x+ 2) (2)联立方程y=(x+2), y2=4x, 得2x2+(42-4)x+42=0. -28 设A(x1,),B(x23) 当k≠0时，由4=-32k2+16>0, 得-号号 所以-5<k<0或0<k<2 2 2 4-4h2 x1+x2= k2 1FA1=x+2=x1+1, IFB1=+号=名+1， 则1FA1+1FB1=,+5+2=4-4+2=-2+4 2 因为0<<分所以日>2. 4 则-2+年>6 所以IFAI+IFBI的取值范围是(6，+∞). 练案[34] 1.D设P为抛物线上任意一点，则P到焦点的距离等于到准 线：x=-?的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的 距离取得最小值号，所以号>1，即P>2 2.D抛物线了=2x(p>0)的焦点F的坐标为（号，0），可取 过F与x轴垂直的直线x=号，把x=号代人户=2m,得y= p,假设M(号，P）N(号，-p）,放1M1=p,f1=p,所 以+占+女子.即淡定值为号 3.B因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，因为z=x2+ 分2+3=2+2x+3=(c+1+2,所以当x=0时：最小，最 小值为3. 4.D易知抛物线的熊点为F(子，0），设P(),由PFL 轴可得”=4，代入抛物线方程得”=2或”=一2（舍 去)，把P(子，2)代人曲线方程y=点(>0)得=日 5.B设A),B(),联立{+得22+2(R 2y2=4x, -2)x+2=0,则x1·x2=1.所以4AFI+1BF1=4(x1+1)+ x2+1=4x1+2+5≥2/4x1·62+5=9.当且仅当4x1=2, 即名=之，名=2时，取等号，故(4AF1+1BFI)m=9. 6AB设P()≠±1,6=-2，故本六=-2，变 形为+号=1，且x≠士1，放P点的轨迹为除去A,B两点的 66